Crescimento Populacional

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1 Crescimento Populacional ( )

2 Taxa de variação Suponha que y é uma quantidade que depende de outra quantidade x. Assim, y é uma função de x e escrevemos y = f(x). Se x variar de x 1 para x 2, então a variação de x é x = x 2 x 1 e a variação correspondente de y é y = f(x 2 ) f(x 1 ) O quociente y x = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 designa-se por taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [x 1,x 2 ].

3 Consideremos as taxas médias de variação em intervalos cada vez menores (fixando x 1 e fazendo x 2 tender para x 1, logo x tende para 0). O limite das taxas médias de variação é designado por taxa (instantânea) de variação de y em relação a x em x = x 1. y lim x 0 x = lim f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 1 + h) f(x 1 ) = lim = f (x 1 ) x 2 x 1 x 2 x 1 h 0 h se f (x 1 ) existir.

4 Crescimento populacional Um modelo para o crescimento de uma população baseia-se na premissa de que uma população cresce a uma taxa proporcional ao tamanho da população. (É razoável presumir isso para uma população em condições ideais, i.e, meio ambiente ilimitado, alimento adequado, ausência de predadores, etc.) Sejam t tempo P(t) n o de indivíduos da população no instante t A taxa de crescimento da população é a derivada dp dt = P (t). Assim, segundo esta premissa temos P (t) = kp(t), onde k é a constante de proporcionalidade.

5 P (t) = kp(t) Se desconsideramos uma população nula então P(t) > 0, para todo o t. Assim, se k > 0 então P (t) > 0, para todo o t. Isso significa que a população está a aumentar. As únicas funções P(t) que satisfazem P (t) = kp são da forma onde C é uma constante. P(t) = Ce kt Como as populações têm apenas valores positivos, estamos apenas interessados nas funções P(t) = Ce kt, C > 0

6 P(t) = Ce kt, C > 0 Fazendo t = 0 obtemos P(0) = Ce 0 = C, logo a constante C representa a população inicial. Exercício Numa cultura de bactérias o seu comportamento é dado por f(t) = 500e kt, onde t representa o tempo em minutos e k é uma constante. 1 Determine o número inicial de bactérias. 2 Calcule k, sabendo que ao fim de 27 minutos, o número de bactérias é Determine o tempo necessário para obter 1595 bactérias.

7 O modelo para o crescimento de uma população que descrevemos anteriormente é apropriado para modelar o crescimento populacional sob condições ideais. Um modelo mais realista deve reflectir o facto de que um meio ambiente tem recursos limitados. Algumas populações têm um crescimento inicial do tipo exponencial, contudo o nível da população estabiliza quando ela se aproxima da sua capacidade de suporte S (ou diminui em direcção a S se ela excede o valor S).

8 De modo a um modelo considerar ambos os casos, consideramos duas premissas: kp se P for pequeno (em comparação com S) (inicialmente a taxa de crescimento é proporcional a P) dp dt dp dt < 0 se P > S (P diminui se excede S) Uma equação que contempla ambas as premissas é: dp dt = kp(1 P S ) e designa-se por equação logística.

9 dp dt = kp(1 P S ) Observações Se P for muito pequeno (em comparação com S), então P S está próximo de 0, logo, dp dt kp. Se P > S, então 1 P S é negativo e dp dt < 0

10 dp dt = kp(1 P S ) 1 As funções P(t) = 0 e P(t) = S são soluções desta equação. Significa que, se a população for 0 ou estiver na capacidade de suporte, permanecerá dessa maneira. 2 Se a população estiver entre 0 e S, então dp dt > 0, e a população aumenta. 3 Se a população ultrapassa a sua capacidade de suporte (P > S), então dp dt < 0, e a população diminui.

11 Solução Geral da Equação Logística [ dp dt = kp(1 P S )] S P(t) = 1 + Ae kt onde A = S P(0) P(0)

12 dp dt = kp(1 P S ) Exemplo Suponha que o comportamento de uma população P com inicialmente 100 indivíduos é descrita pela equação dp dt = 0,08P(1 P ) onde t representa o número de meses. Determine o tamanho desta população passados 40 meses. Quando é que a população alcançará 900 indivíduos?

13 Exemplo (cont.) Resolução: A equação é uma equação logística com k = 0,08, capacidade de suporte S = e população inicial P(0) = 100. Assim, a solução geral é dada por P(t) = onde A = = 9. Logo, P(t) = Ae 0,08t e 0,08t

14 Exemplo (cont.) Resolução (cont.): P(t) = e 0,08t Assim, o tamanho desta população passados 40 meses é dado por P(40) = , e 0,08 40 A população alcançará 900 indivíduos para t tal que 900 = e 0,08t 900(1 + 9e 0,08t ) = e 0,08t = 10 9

15 Exemplo (cont.) Resolução (cont.): 1 + 9e 0,08t = e 0,08t = e 0,08t = 1 9 e 0,08t = ,08t = ln 1 81

16 Exemplo (cont.) Resolução (cont.): 0,08t = ln ,08t = ln81 1 0,08t = ln81 t = ln81 0,08 t 54,9 Assim, a população atinge 900 indivíduos aos 55 meses (aproximadamente).

17 Exercício Suponha que uma população se desenvolve de acordo com a equação logística dp dt = 0,05P 0,0005P 2 onde t é medido em semanas. 1 Determine a capacidade de suporte e o valor de k. 2 Suponha que a população inicial tem 20 indivíduos. Determine o número de indivíduos passado 2 semanas.