DERIVADAS PARCIAIS. Seção 14.3

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1 DERIVDS PRCIIS Seção 14.3

2 Section 14.3 Seja I o índice de temperatura aparente do ar (humidex) I = f(t, H), sendo T: temperatura real e H: umidade relativa (%) Digite a equação aqui. 2

3 Section 14.2 Seja f uma função de duas variáveis x e y. Tomemos no ponto a, b E consideramos a seguinte situação: x é variável e y = b fixo f a + h, b f x a, b = lim h 0 h, se o limite existir. f(a, b) 3

4 Section 14.2 y é variável e x = a (fixo) f y a, b = lim h 0 f a, b + h f(a, b) h, se o limite existir. 4

5 Section 14.3 Seja f uma função de duas variáveis x e y, suas derivadas parciais são: Derivada Parcial em relação a x: f(x, y) = f x x, y = lim h 0 f x + h, y f(x, y) h Derivada Parcial em relação a y: f(x, y) f x, y + h f(x, y) = f y y x, y = lim h 0 h, se os limites existirem. Exemplo: Seja f x, y para determinar = 3x 2 y. Use a definição de derivadas parciais f(1,2) e f(1,2) y 5

6 Section 14.3 NOTÇÕES: f x x, y f y x, y = f x = = f y = f(x, y) f(x, y) y = f = D xf = f y = D yf Técnica para determinar as derivadas parciais de z = f(x, y) 1. Para determinar f x x, y, trate y como uma constante e derive f x, y em relação a x. 2. Para determinar f y x, y, trate x como uma constante e derive f x, y em relação a y.. 6

7 Section 14.3 Figures 2, 3 Interpretação geométrica das derivadas parciais Sendo a superfície S o gráfico da função z = f x, y,um ponto P a, b, c S, isto é, f a, b = c, C 1 o corte de S quando y = b e C 2 o corte de S quando x = a. 7

8 Section 14.3 Interpretação geométrica das derivadas parciais s derivadas parciais f x (a, b) e f y (a, b) podem ser geometricamente como as inclinações das retas tangentes em P aos cortes C 1 e C 2 de S, respectivamente. Ou ainda, f x (x, y) é igual a taxa de variação z em relação a x quando y é mantido fixo. f y (x, y) é igual a taxa de variação z quando x é mantido fixo. y em relação a y 8

9 Derivadas Parciais 9

10 Exemplo 1: Determine as derivadas parciais da função f x, y = 5x 3 5x 3 y 2 Exemplo 2: Seja f x, y = 4 x 2 2y 2. Determine f x (1,1) e f y (1,1) e interprete esses números como inclinações. Propostos: Determine as derivadas parciais a seguir: a) z = f x, y = x 2 + y 2 b) z = f x, y = x 2 + y 2 cos(xy) no ponto 1, π c) f x, y) = ln (x 2 + y 2 d) g x, y = arc tg ( x ) y e) f x, y, z = e xy lnz 10

11 Section 14.3 Funções de Três Variáveis Seja f(x, y, z), a derivada parcial em relação à x é definida como f(x, y, z) = lim h 0 f x + h, y, z f(x, y, z) h Funções de n Variáveis Seja u = f(x 1, x 2,, x n ) a sua derivada parcial em relação a i ésima variável x i é: u f x 1, x 2,., x i + h,, x n f(x 1, x 2,., x i,, x n ) = lim i h 0 h * Considerando que os limites existam. 11

12 Section Derivadas Parciais de segunda ordem: f x x = f xx = f y y = f yy = y f f y = 2 f 2 = 2 f y 2 f x y = f xy = y f = 2 f y - Derivadas Parciais de ordem superior f xyy = f xy y = y 2 f y = 3 f y 2 12

13 Section 14.3 Teorema de Clairaut Seja f definida em uma bola aberta D que contenha o ponto (a, b). Se as funções f xy e f yx forem ambas contínuas em D, então: f xy a, b = f yx a, b Equações Diferenciais Parciais Equação de Laplace: Seja u(x, y) 2 u u y 2 = 0 s soluções destas equações são denominadas funções harmônicas. 13