ANÁLISE DO MÉTODO DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA

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1 VIII- CAPÍTULO VIII ANÁLISE DO MÉTODO DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA 8.- INTRODUÇÃO O método da resposta em freqüência, nada mais é que a observação da resposta de um sistema, para um sinal de entrada senoidal, cuja freqüência é variada dentro de uma faixa preestabelecida. A vantagem do uso do método da resposta em freqüência, reside no fato de que a mesma pode ser obtida experimentalmente, sem a necessidade do conhecimento prévio da função de transferência. 8.- PRINCÍPIO BÁSICO Considere o seguinte sistema: Y( s) G( s) X ( s) Q( s) ( S + P )( S + P ) Q( s)... P( s) Onde: Q(s), P(s) Polinômios em S. Seja: χ( t) A.sent A. X( s) S + Y( s) X ( s) G( s) Q( s) A Y( s) X s Y s P( s). ( ) ( ). S + Q( s) A.. Q( s). P( s) (S + )(S + P )(S + P ) a a b b Y( s) S + S ( S + P ) ( S + P ) 3 { } Y( s) y( t) a. e + a. e + b. e + b. e +... L j t j t P t P t 4 Para t : y t a e j ( ) t + a e + t 5 a A G s S +.. ( ) j + ( ). ( S )( S ) S a A. G( ) j 6 a A G S.. (S) j + ( ). ( S )( S ) S a A. G ( j ) 7 j Sabe-se que: ( ) ( ) ( ) ( ) G j G j. G j G j. Prof. Hélio Leães Hey - 997

2 VIII- ( ) ( ) G j G j e j. 8 ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) G j G j G j G j G( ) G( ) 0 Substituindo, 6, 7, 8, 9 e 0 em 5, resulta: A. G( ) A. G( ) j t y( t). e +. e j j + t A A y( t). G( ). e. e +. G( ). e. e j j j j t + j + t G j G j e j. 9 e y( t) A. G( ). j( t+ ) j( t+ ) e j y( t) A. G( ).sen( t + ) y( t) B.sen( t + ) Com isto, pode-se concluir que a resposta em regime permanente de um sistema linear e invariante no tempo sujeito a uma entrada senoidal, também será senoidal na mesma freqüência com amplitude e fase diferentes. Portanto: Onde: Y( ) Y( ) G( ) e G( ) 3 X( ) X( ) G() FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA SENOIDAL. Uma vez que G() é complexa, são necessárias duas grandezas para especificá-la, como por exemplo, módulo e fase ou parte real e parte imaginária. Ex: a) G s ( ) G( ) tg (. ) S Representação Gráfica Prof. Hélio Leães Hey < < G( ) fl G( ) fl

3 VIII-3 De acordo com a expressão de G(), verifica-se que a medida que o valor de cresce, tanto o módulo como a fase de G() decrescem.. G( s) G( ) b) ( S + )( S + ) + j j + G( ) tg (. ) tg (. ) Representação Gráfica 0 < < G( ) fl G( ) fl c) G( s) G( ) ( S + a )( S + a ) ( + a )( + a ) Representação gráfica Onde: a, a São pólos complexos e conjugados. 0 < < G( ) fl G( ) fl OBSERVAÇÕES: Obs : Obs : Se G() tem um pólo real, o módulo deste pólo cresce com o aumento de, podendo compensar o decréscimo do módulo de um vetor complexo. Pela representação gráfica mostrada, nota-se que quanto mais próximo do eixo imaginário estiverem os pólos complexos, maior será o pico produzido em G( ). A representação da função de transferência senoidal de um determinado sistema, é geralmente Prof. Hélio Leães Hey - 997

4 VIII-4 caracterizada pelo seu módulo e sua fase, tendo como parâmetro de variação a freqüência (). Existem 3 representações utilizadas para a função de transferência senoidal, que são: DIAGRAMA DE BODE; GRÁFICO POLAR; GRÁFICO DO LOG-MÓDULO x FASE. Destes, o mais utilizado é o Diagrama de Bode seguido do Gráfico Polar DIAGRAMA DE BODE Conforme obtida em e 3, a função de transferência senoidal de um sistema, pode ser representada por um gráfico MÓDULO x FREQÜÊNCIA e outro ÂNGULO DE FASE x FREQÜÊNCIA. O Diagrama de Bode é esta representação, porém com a seguinte característica: 0. LOG (MÓDULO) x FREQÜÊNCIA EM ESCALA LOGARÍTMICA; ÂNGULO DE FASE x FREQÜÊNCIA EM ESCALA LOGARÍTMICA. A principal vantagem do Diagrama de Bode é que a multiplicação dos módulos dos fatores de G() é transformada em soma simples. Além disto, pode-se obter uma representação rápida da resposta em freqüência através das aproximações assintóticas. Estas aproximações são válidas somente quando se deseja obter informações superficiais a respeito da característica da resposta em freqüência de um determinado sistema. Ex : Seja a seguinte função de transferência: G( s) K( + S) ( + S)( + S) 3 3 Onde: ; ; 3 S i CONSTANTE DE TEMPO ASSOCIADA AOS PÓLOS E ZEROS. K + 3 G( ) G( ) + + K K. + 3 log G( ) log +. + Para a representação do módulo de G(), utiliza-se como unidade o DÉCIBEL. db 0.log G( ) Prof. Hélio Leães Hey - 997

5 VIII-5 Portanto: Ex : 0.log G( ) 0.log K + 0.log + 0.log + 0.log + Seja G( s) + is G( ) + i : 0.log G( ) 0.log + i 3 Atribuindo-se valores para a freqüência, obtém-se os valores do módulo de G(). 0 0,5i i 5i 0i 0i 00i db 0 0,97 3,0 4,5 0,04 6,03 40 i FREQÜÊNCIA DE CORTE. Obs: Esta aproximação é válida para pólos e zeros reais, porém para valores complexos podem ocorrer erros significativos dependendo do coeficiente de amortecimento ζ. Sejam os seguintes fatores formadores de uma função de transferência genérica: GANHO CONSTANTE; PÓLOS E ZEROS NA ORIGEM; PÓLOS E ZEROS REAIS E DIFERENTES DE ZERO; PÓLOS E ZEROS COMPLEXOS GANHO CONSTANTE K - Módulo: - Fase: - Módulo: db 0.log K - Fase: PÓLOS E ZEROS NA ORIGEM G( ) G( ) - Zeros: Módulo: db 0.log Fase: tg 0 tg 90 0 Constante Prof. Hélio Leães Hey - 997

6 VIII-6 - Pólos: 0, 0 00 db Módulo: db 0.log Fase: tg 0 tg Constante Representação G ráfica: Observação: PÓLOS E ZEROS MÚLTIPLOS NA ORIGEM N G( ) db 0.log. N 0. N.log Fase N PÓLOS E ZEROS REAIS E DIFERENTES DE ZERO - Zeros: G( ) + i G( ) + i G( ) + i Módulo: db G j + 0.log. ( ) 0.log i Fase: G( ) tg i i 0,05 0, 0,5,0 5,0 0,0 50,0 00,0 tg i,9 0 5,7 0 6, ,7 0 84,3 0 88,8 0 89,4 0 Aprox G( ) Prof. Hélio Leães Hey - 997

7 VIII-7 - Pólos: Módulo: db + 0log i Fase: G( ) tg i Representação Gráfica: Zeros Pólos Observação: Pólos e Zeros Reais Múltiplos: N G( ) + db N + i 0..log i Fase N. tg i PÓLOS E ZEROS COMPLEXO - Pólos: Módulo: db 0.log j j + + n ζ n ; j j G( ) ζ + + n n G( ) j j ζ + + n n db + n 0.log ζ n Prof. Hélio Leães Hey - 997

8 VIII-8 <<< n db 0.log 0 >>> + n db 0.log db 0.log n n n 4 db 40.log n Fase: tg ζ n ( ) n As curvas do módulo e fase de Pólos e Zeros complexos mostrados, demonstram que a aproximação destas curvas por retas assintóticas podem levar a erros grosseiros na região n. A freqüência n é chamada de freqüência de canto. Nesta freqüência, a fase é para os pólos e no caso de Zeros, independente do coeficiente de amortecimento ζ. Observação: Existe um outro termo que está presente em alguns sistemas de controle. É o ATRASO DE TRANSPORTE. Este, é caracterizado por um tempo morto entre a medida de uma determinada variável a Prof. Hélio Leães Hey - 997

9 VIII-9 ser controlada, e a ação do controlador e/ou atuador no sentido de corrigir esta variável. Os Atrasos de Transporte existem principalmente em sistemas Térmicos, Hidráulicos e Pneumáticos. C( t) e( t t ).. ( t t ) ( s) E( s). e t 0 µ C S 0 0 C( s) e t S E( s) 0 A função de transferência do atraso de transporte é diferente das estudadas até aqui. As funções de transferência com atraso de transporte não podem ser analisadas pelos métodos vistos, como por exemplo, o critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz. C( s) t S j t E( s) e ( j ) e E( s) 0 G 0 G( ) t 0 Módulo: 0.log Fase: t rad 53, 7 t graus CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST O Critério de Estabilidade de Nyquist relaciona a resposta em freqüência de malha-aberta G()H() ao número de pólos e zeros de + G(s)H(s) que estão no semiplano direito do plano S. Com o uso de critério, a estabilidade absoluta do sistema em malha-fechada pode ser determinada graficamente a partir da resposta em freqüência de malha-aberta. O Critério de Estabilidade de Nyquist, é baseado no mapeamento de uma função F(s) do plano complexo S para o plano F(s). Desta forma, cada ponto do plano S é mapeado no plano F(s). Considere o seguinte sistema: O ponto S + j é então mapeado no Plano F(s). F( s) + G( s). H( s) F( s) 6 + (S + )(S + ) F( + j), j0, 58 Seja agora a função F(s) S S 0. Deseja-se mapear uma curva centrada em S 0, do plano S para o plano F(s). Prof. Hélio Leães Hey - 997

10 VIII-0 Seja agora, F( s) ( S S ).( S S ) F(s) S S 0 F( s) S S. S S 0 : F ( s ) S S0 F s ( ). S S ( ) 0 0 S S0 0 ( ) ( ) F( s) 0 ( S S ). ( S S ) F( s) S S. S S 0 Pelos mapeamentos mostrados, pode-se concluir que quando o contorno C do plano S envolve X zeros de F(s), o contorno B do plano F(s), envolve a origem X vezes no sentido horário. Caso o contorno C envolva Y pólos de F(s), o contorno D do plano F(s), envolve a origem Y vezes no sentido anti-horário. Portanto, existe uma relação definida entre o número de pólos e zeros dentro do contorno C do plano S e o número e a direção do envolvimento da origem no plano F(s). Esta discussão sobre mapeamento de funções é baseada no Teorema de Cauchy (Princípio do Argumento). Teorema de Cauchy: C Seja F(s) uma relação de Polinômios em S. Seja um contorno C no plano S mapeado num contorno B no plano F(s). Se F(s) é analítica dentro do contorno C, exceto para um número finito de pólos e se F(s) não possui pólos e zeros sobre C, então: N Z P N > 0 Sentido Horário N < 0 Sentido Anti-Horário Z N o de zeros de F(s) dentro do contorno C ; P N o de pólos de F(s) dentro do contorno C ; N N o de envolvimentos da origem do plano F(s) no mesmo sentido de C (sentido horário). O Critério de Estabilidade de Nyquist é baseado no teorema de Cauchy e na abordagem do mapeamento de funções. Suponha que F(s) + G(s).H(s) (equação característica). Suponha também que a curva do plano S a ser mapeada, é composta do eixo imaginário () e um arco com raio infinito. Desta forma todas as raízes com parte real positiva do plano S são envolvidas pela curva C. Prof. Hélio Leães Hey - 997

11 VIII- F(s) + G(s).H(s) G(s).H(s) CAMINHO NYQUIST DIAGRAMA NYQUIST Neste exemplo, o mapeamento envolve a origem (ou o ponto ) vezes no sentido horário, portanto N. Z + P Portanto: Z e o sistema é instável VANTAGEM DO CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST SOBRE O CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ Para a analise de estabilidade de um sistema pelo critério de estabilidade de Routh-Hurwitz é necessário que se conheça a expressão da equação característica do sistema, a qual sempre considera algumas simplificações em algum componente do sistema. Já para análise da estabilidade pelo critério de Nyquist, o diagrama de Nyquist pode se obtido experimentalmente pela resposta em freqüência do sistema físico APLICAÇÕES DO CRITÉRIO DE NYQUIST 5 ) Seja a Função G( s). H( s) ( S + ) G( ). H( ) ( + ) 5 Se 0 G(0).H(0) 5 (ganho CC) G( ). H( ) 5 ( + )( + ) Cada fator do denominador aumenta o seu módulo de zero para, ( 0 ) e o ângulo de cada fator aumenta de 0 0 para Desta forma o módulo de G( ). H( ) diminui de 5 para 0 e o ângulo G( ). H( ) diminui de 0 0 para Como o diagrama de Nyquist não corta o eixo Real, visto que o menor ângulo é 80 0, o sistema é estável para qualquer valor positivo do ganho K, que se adicione ao sistema. Prof. Hélio Leães Hey - 997

12 VIII- 50 Seja a Função G( s). H( s) ( S + ) ( S+ 0) Se 0 G(0).H(0) 5 G( ). H( ) 50 ( + ) ( + 0) Da mesma forma que no caso anterior cada termo do denominador aumenta o seu módulo de 0 e o seu ângulo de para Portanto o módulo de G( ). H( ) diminui de 5 para 0 e o ângulo G( ). H( ) diminui de 0 0 Obs: Para a definição do ponto em que o diagrama de N corta o eixo real, existe procedimentos: - Pela obtenção da Resposta em freqüência experimental; - Pelo critério de Routh-Hurwitz. Pelo critério de Routh-Hurwitz, utiliza-se o seguinte procedimento: - Adiciona-se um ganho K na equação característica do sistema: + K. G( s). H( s) 0 - Por Routh-Hurwitz determina-se o valor de K K para o qual o sistema é marginalmente estável, e desta forma: + K. G( ). H( ) 0 G( ). H( ) K - Para saber-mos o valor de, recorre-se a equação auxiliar de Routh-Hurwitz ESTABILIDADE RELATIVA E DIAGRAMA DE BODE Já foi mencionado que o modelo matemático representativo de um dado sistema nunca é exato. As vezes o modelo de um sistema pode indicá-lo como estável e na realidade o sistema físico é instável. Por esta razão, geralmente exige-se que além do sistema ser estável deve haver uma margem de segurança a respeito da estabilidade. Isto vem a ser a estabilidade relativa de um sistema, a qual é definida pela proximidade entre o cruzamento do diagrama de Nyquist com o eixo real e o Ponto -. A estabilidade relativa de um sistema é medida através de três definições: MARGEM DE GANHO; MARGEM DE FASE; Prof. Hélio Leães Hey - 997

13 VIII-3 Margem de Ganho: É o fator pelo qual o ganho de malha aberta do sistema deve ser aumentado para tornar o sistema marginalmente estável. Se G( ) -α então a margem de ganho será α. Margem de Fase: É o menor ângulo com o qual o diagrama de Nyquist, deve ser rotacionado para intersectar o ponto -. θ m o 80 + Fase de G( j ) MARGEM DE FASE Sistema ESTÁVEL MARGEM DE FASE Sistema INSTÁVEL MARGEM DE GANHO > Sistema ESTÁVEL MARGEM DE GANHO < Sistema INSTÁVEL Prof. Hélio Leães Hey - 997

14 VIII DIAGRAMAS DE NYQUIST - CASOS ESPECIAIS Uma das condições para a aplicação do Teorema de Cauchy, é que a função F(s) a ser mapeada não pode apresentar pólos e zeros no contorno a ser mapeado. Portanto, este Teorema não pode ser aplicado a sistemas com pólos e zeros na origem, caso o contorno envolva esta origem. Para solucionar este problema, utiliza-se o seguinte artifício. Ex: Na Região I, substituí-se " S" S pelo lim lim + e j 0 ρ ρ θ Somente na Região I + e j ρ 0 ρ θ, sabendo-se que 0 0 θ K G( s) S e j ρ + θ ρe j θ ρ 4 34 j θ ( + e ) K K G( s) S ρ + j e j θ ρ θ e ρ θ Prof. Hélio Leães Hey - 997

15 VIII-5 lim G ρ ( ρ j θ e ) 0 0 K lim θ ρ P Portanto, entre 0 0 θ 90 0 o mapeamento será um arco de raio, devido ao fator desprezado no denominador, este arco ultrapassa um pouco os Ex: K G( s) S(S +) Prof. Hélio Leães Hey - 997