Controlo 4.ª AULA. Critério de Routh-Hurwitz Análise da Resposta em Frequência Entrada Sinusoidal Diagramas de Bode (Construção e Análise) Docente

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1 Escola Superior de Tecnologia de Setúbal Controlo 4.ª AULA Critério de Routh-Hurwitz Análise da Resposta em Frequência Entrada Sinusoidal Diagramas de Bode (Construção e Análise) Docente Prof.ª Sónia Marques

2 Instituto Politécnico de Setúbal - Controlo - /3 Critério de Routh-Hourwitz Para as seguintes equações características -D(s)- determine a sua estabilidade com base no teste de Hurwitz: 4 3 D = s + 4s s + s + 5 Sistema instável ou criticamente estável Verificação das raízes no Matlab:» roots([ 4-5]) ans = i i -.99» 4 D = s + 3s + s + Verificação das raízes no Matlab:» roots([ 3 ]) ans = i i i i» 3 D = s + 6s + s + 8 Sistema instável ou criticamente estável A estabilidade só se pode verificar por aplicação do critério de Routh-Hurwitz S 3 S S 3/3 S 4 Dividir por Não há trocas de sinal na coluna pivot logo os 3 pólos situam-se no semiplano complexo esquerdo => Sistema estável Verificação das raízes no Matlab:» roots([ 6 8]) ans = -. +.i -. -.i -.» Por Engª Sónia Marques

3 Instituto Politécnico de Setúbal - Controlo - / D = s + 3s + s + 9s + 5s + s + S 6 5 S S 4 - S S 7 S /7 S Dividir por 3 Dividir por 4 Duas trocas de sinal na coluna pivot logo dois pólos situam-se no semiplano complexo direito => Sistema Instável Verificação das raízes no Matlab:» roots([ ]) ans = i i i i -.6 Casos Particulares 4 3 D = s + 3s + 3s + 3s + S 4 3 S S S ε S Não há trocas de sinal na coluna pivot e imediatamente antes e depois do zero têm o mesmo sinal => uma par de pólos imaginários puras e os restantes dois pólos situam-se no semiplano complexo esquerdo. Sistema Criticamente Estável Verificação das raízes no Matlab:» roots([ ]) ans = i -. -.i -.» D = s + s + 5s + 5s + 4s + 4 S S S 3 Linha de zeros na matriz de Routh- Hurwitz, logo existem pólos simétricos relativamente ao eixo imaginário Por Engª Sónia Marques 3

4 Instituto Politécnico de Setúbal - Controlo - /3 Sistema criticamente estável Sistema instável Derivação da equação auxiliar: Q(s)= s +5s+4 => S S S 3 4 S 5/ 4 S 8/5 S 4 Coeficientes da equação auxiliar Q = 4s 3 s s + Existem dois pares de imaginários puros e os restantes pólos situam-se no semiplano complexo esquerdo. Sistema Criticamente Estável Verificação das raízes no Matlab:» roots([ ]) ans = -. +.i -. -.i i. -.i Análise da Resposta em Frequência SINUSÓIDE A entrada sinusoidal é dada por x( t) = Xsen( ϖt) Definindo o tempo t [ ;] Frequência w =.5 Amplitude X =» t=:.5:;» x=*sin(.5*t);» plot(t,x) Por Engª Sónia Marques 4

5 Instituto Politécnico de Setúbal - Controlo - /3 Um sistema linear, invariante e sujeito a uma entrada sinusoidal possuirá, em regime estacionário, uma saída sinusoidal com a mesma frequência da entrada desfasado de de fase igual ao argumento da função de transferência e com amplitude é igual ao módulo da função de transferência. y ( t) = Y sen( ϖ t + φ) onde Y = X G( jω) e φ = G( jω) e G(jw) é a função de transferência sinusoidal. Considere a seguinte função de transferência de ª ordem, a G( s) = s + b com uma entrada x( t) = Xsen( ϖt) a saída so sistema vem, yt) = X a ( ω ) + ( b) w sin ωt arctg b Considere a seguinte função de transferência, G = s + aplicando uma entrada sinusoidal x ( t) = sen(.5 * t) a saída será dada por, y ( t) = sen.5 * t arctg» t=:.5:;» x=*sin(.5*t);» y=(/sqrt(4+.5^))*sin(.5*t-atan(.5/));» plot(t,x,t,y) Considere a seguinte função de transferência, G = s +.5 Por Engª Sónia Marques 5

6 Instituto Politécnico de Setúbal - Controlo - /3 aplicando uma entrada sinusoidal x ( t) = sen(.5 * t) a saída será dada por, y( t) = sen(.5 * t arctg(.5 /.5) ).5 +.5» t=:.5:;» x=*sin(.5*t);» y=(*/sqrt(.5^+.5^))*sin(.5*t-atan(.5/.5));» plot(t,x,t,y) Diagrama de Bode Construção O comando bode(sys) desenha o diagrama de Bode de um sistema (criado tanto com TF, ZPK). A gama de frequências e o número de pontos é escolhido automaticamente. Considere a seguinte função de transferência, 5 GH = s + 4s + 5» num=5;» den=[ 4 5]» bode(num,den)» title('diagrama de Bode de G(s)=5/(s^+4s+5)') Diagrama de Bode de G(s)=5/(s +4s+5) Por Engª Sónia Marques 6

7 Instituto Politécnico de Setúbal - Controlo - /3 ou então,» a=tf(num,den) Transfer function: s^ + 4 s + 5» bode(a) ou então,» Z=[];» P=roots(den);» K=5;» b=zpk(z,p,k) Zero/pole/gain: (s^ + 4s + 5)» bode(b) Para se obter a margem de fase e margem de ganho, frequência de cruzamento de ganho e frequência de cruzamento de fase utiliza-se o comando margin(sys)» [mag,mphase,wcf,wcg]=margin(a) mag = Inf mphase = wcf = NaN wcg = 5.83 Para alterar o diagrama de bode de a para - a 3 então utiliza-se o comando logspace(-,3).» w=logspace(-,3)» bode(a,w) Por Engª Sónia Marques 7

8 Instituto Politécnico de Setúbal - Controlo - /3 Se quisermos comparar diagramas de bode de diferentes funções de transferência basta colocá-los em argumento, bode(a,b,c,d...)» a=tf(5,[ 4 5]) Transfer function: s^ + 4 s + 5» b=tf(9,[.6 9]) Transfer function: s^ +.6 s + 9» bode(a,b) Pelo comando ltiview( bode,a) obtêm-se também o diagrama de bode com a margem de ganho e de fase e as respectivas frequências. Considere a seguinte função de transferência, GH = s +» a=tf(,[ ]) Transfer function: s +» ltiview('bode',a) Por Engª Sónia Marques 8

9 Instituto Politécnico de Setúbal - Controlo - /3 5 From: U() To: Y () Se formos ao menu Tools e depois Viewer Configuration tem-se a hipótese de colocar, por exemplo, o diagrama de Bode e a resposta do sistema a um escalão unitário na mesma página, To: Y () From: U() Step Response From: U() 5 4 Amplitude To: Y () Time (sec.) Análise Considere as seguintes funções de transferência, G a H a = e G b H s + b = s + Qual é o ganho estacionário GH()? Qual a posição dos pólos no PC?» a=tf(,[ ]);» b=tf(,[ ]);» ltiview('bode',a,b)» Por Engª Sónia Marques 9

10 Instituto Politécnico de Setúbal - Controlo - /3 From: U() - To: Y () O que é que acontece ao gráfico do ângulo? Considere as seguintes funções de transferência, G a H a = e G b H s + b = s + Qual é o ganho estacionário GH()? Qual a posição dos pólos no PC?» a=tf(,[ ]);» b=tf(,[ ]);» ltiview('bode',a,b) From: U() To: Y () O que é que acontece ao gráfico da amplitude? Por Engª Sónia Marques

11 Instituto Politécnico de Setúbal - Controlo - /3 Introduza um zero em s= 5 em G b H b (s), a função vem,» a=tf([ 5],[ ]) Transfer function: s s +» ltiview('bode',a) G b H b ( s + 5) = s + 35 From: U() 3 To: Y () Troque agora a posição dos pólos e zeros!» ltiview('bode',tf([ ],[ 5]))» G b H b ( s + ) = s + 5 Por Engª Sónia Marques

12 Instituto Politécnico de Setúbal - Controlo - /3 From: U() 5 To: Y () Compare com o sistema com só um pólo em s=-. O que é que acontece à inclinação das curvas?? Por Engª Sónia Marques