Controle 2 - Introdução

Transcrição

1 Guilherme Luiz Moritz 1 1 DAELT - Universidade Tecnológica Federal do Paraná 28 de outubro de 2013

2 Permanência 5 as e 6 as pela manhã Agendar com antecedência moritz@utfpr.edu.br

3 Avaliação As avaliações consistirão de 2 provas escritas (P1, P2), sendo a P2 uma prova substitutiva (todo o conteúdo), nota de laboratório (ML) e nota da implementação da planta de temperatura (T 1). A fórmula para cálculo da nota parcial é: MP = 0.3P ML + 0.3PM + 0.1MA (1) P2 é uma prova de recuperação de nota. Desta maneira, PM pode ser de acordo com a vontade do aluno: PM = P1 ou PM = (P1 + P2)/2. P2 também pode substituir T 1 A nota de laboratório equivale a 30% da nota total e será constituída de 60% referentes aos relatórios, e 40% atribuídos à frequência e desenvolvimento das tarefas realizadas em laboratório.

4 Cópia de listas e atrasos na entrega Caso seja detectada cópia na lista de exercícios, toda a lista será invalidada, tanto do(a) aluno(a) que forneceu o material quanto do(a) aluno(a) que copiou. O prazo de entrega das listas será de 1 semana. Listas atrasadas serão aceitas caso o atraso não exceda uma semana, mas haverá desconto de 50% na nota. Listas com atrasos superiores a uma semana não serão aceitas.

5 Plano de aula Plano de Aula

6 Introdução Resposta em frequência Resposta em regime estacionário de um sistema submetido a um sinal senoidal. (Nyquist, Bode, Evans, 1953) Figura : Harry Nyquist Figura : Hendrik Wade Bode

7 Metodologia Varia-se a frequência de um sinal senoidal de entrada e estuda-se os efeitos resultantes. O sinal variará em amplitude e fase. Vantagens: Análise de estabilidade através do critério de Nyquist Determinação experimental de funções de transferência via análise da resposta em frequência Projetos de sistemas de controle robusto a presença de ruído

8 Resposta em regime permanente Considere o seguinte sistema: A função de transferência é: G(s) = Y (s) X(s) (2)

9 Resposta em regime permanente Num sistema estável, se a entrada for: x(t) = Xsen(ωt) (3) a saída será: com y(t) = Ysen(ωt + φ) (4) Y = X G(jω) (5)

10 Resposta em regime permanente Neste caso, o ângulo da função de transferência é: [ ] Imag(G(jω)) φ = G(jω) = arctg Real(G(jω)) (6)

11 Resumindo e G(jω) = Y (jω) X(jω) G(jω) = Y (jω) X(jω) Desta maneira, para determinar-se a resposta em frequência, deve-se calcular: G(jω) = Y (jω) (9) X(jω) (fazer s = jω na função de transferência) (7) (8)

12 Representação gráfica da resposta em frequência Podemos representar a resposta em frequência graficamente. Controle 1: Bode Controle 2: Adiciona-se Nyquist

13 Porque estudar a resposta em frequência do sistema Apesar das especificações transitórias aparecerem indiretamente, é fácil obter a resposta experimentalmente. A resposta em frequência de um sistema LTI é uma descrição completa do sistema Os sistemas desenvolvidos tem dependência fraca do o modelo, ao contrário da técnica do lugar das raízes.

14 Sistema de Fase Mínima e Não Mínima Funções de transferência que não possuam pólos ou zeros no semiplano direito do plano complexo s são funções de transferência de fase mínima. Funções de transferência que possuam pólos e/ou zeros no semiplano direito do plano complexo s são funções de transferência de fase não-mínima

15 Diagrama de Nyquist Gráficos Polares O gráfico polar, ou diagrama de Nyquist, é um gráfico do módulo de G(jω) versus o ângulo de fase de G(jω) em coordenadas polares, quando ω varia de zero a infinito. Ângulos de fase positivo Sentido horário

16 Características do Diagrama de Nyquist Cada ponto do diagrama de Nyquist de G(jω) representa o ponto terminal de um vetor, para um valor particular de ω. No diagrama de Nyquist é importante indicar a graduação da frequência do lugar geométrico. As projeções de G(jω) no eixo real e imaginário corresponde as suas componentes reais e imaginária. Uma vantagem do gráfico polar é que o mesmo ilustra as características da resposta em frequência em um único gráfico. Uma desvantagem é que o gráfico polar não indica claramente as contribuições de cada um dos fatores individuais da função de transferência de malha aberta.

17 Diagrama de Nyquist via Matlab nyquist(num, den) nyquist(num, den, w) [re, imag] = nyquist(num, den) [re, imag] = nyquist(num, den, w) nyquist(a, B, C, D) num e den é o numerador e denominador da função G(s) respectivamente. A, B, C, D são as matrizes de um dado sistema descrito na forma de espaço de estado.

18 Critério de estabilidade de Nyquist Peliminares: O critério de Nyquist analisa a estabilidade de um sistema em malha fechada analisando a função de transferência de malha aberta.

19 Critério de estabilidade de Nyquist Seja: e então e e G(s) = N G D G H(s) = N H D H G(s)H(s) = N GN H D G D H 1 + G(s)H(s) = 1 + N GN H D G D H = D GD H + N G N H D G D H T (s) = G(s) 1 + G(s)H(s) = N G D H D G D H + N G N H

20 Mapeamento de planos Mapeamento Se pegarmos um numero complexo no plano S e substituirmos seu valor numa função F(s), teremos outro número complexo. Este processo é chamado mapeamento. Exemplo) Se substituirmos s = 4 + j3 na função F(s) = (s 2 + 2s + 1) temos 16 + j30. Então dizemos que 4 + j3 se mapeia em 16 + j30 através de F (s) = s 2 + 2s + 1

21 Mapeamento de Pontos

22 Mapeamento de contornos

23 Efeitos da posição dos pólos e zeros no contorno Exemplo...

24 Efeitos da posição dos pólos e zeros no contorno

25 Efeitos da posição dos pólos e zeros no contorno

26 Efeitos da posição dos pólos e zeros no contorno

27 Desenvolvimento do critério de Nyquist Suponha que o contorno escolhido para o mapeamento seja todo o plano S direito Qual será o formato do mapeamento? Porque este método é considerado um método de resposta em frequência? N = P Z (10) Onde N é o número de voltas anti horárias do mapeamento em torno da origem, P são os pólos de 1 + G(s)H(s) e Z são os zeros de 1 + G(s)H(s)

28 Recapitulando Seja: e então e e G(s) = N G D G H(s) = N H D H G(s)H(s) = N GN H D G D H 1 + G(s)H(s) = 1 + N GN H D G D H = D GD H + N G N H D G D H T (s) = G(s) 1 + G(s)H(s) = N G D H D G D H + N G N H

29 Critério de Nyquist

30 Exemplo 60 Nyquist Diagram 40 Imaginary Axis Real Axis

31 Margem de fase e ganho 3 2 Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis

32 Margem de fase e ganho 3 Nyquist Diagram 2 Imaginary Axis Real Axis

33 Margem de fase e ganho 3 Nyquist Diagram 2 Imaginary Axis Real Axis