Resposta em Frequência de Sistemas LTI

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1 Resposta em Frequência de Sistemas LTI Vimos que a resposta y(n) de um sistema LTI em estado zero é dada pela convolução linear do sinal de entrada x(n) com a sua resposta ao impulso h(n). Em particular, para a entrada senoidal complexa x n = e jω0n, para n =,,, temos: y n = h k x(n k) = h k e jω 0(n k) k= k= = e jω 0n h k e jω 0k = e jω 0n H(e jω 0) k= Portanto, a resposta de um sistema LTI a uma sequência senoidal complexa de frequência ω 0 aplicada em n =, e igual ao produto da senóide complexa pela DTFT da resposta ao impulso do sistema avaliada em ω = ω 0.

2 Resposta em Frequência de Sistemas LTI Por isso, a DTFT da resposta ao impulso de um sistema LTI é conhecida como resposta em frequência do sistema. Escrevendo H(e jω ) na forma polar: y n = H(e jω 0) e j(ω 0n+ H e jω 0 ) onde H(e jω ) é a resposta em frequência de módulo e H e jω é a resposta em frequência de fase. Portanto, conhecendo as resposta em frequência de módulo e fase, saberemos de quanto cada componente senoidal do sinal de entrada será atenuada/amplificada e defasada pelo sistema.

3 Resposta em Frequência de Sistemas LTI Para uma entrada senoidal real x n = Acos (ω 0 n + φ), para n =,,, temos: y n = A 2 H(ejω 0) e j(ω 0n+φ+ H e jω 0 ) + A 2 H(e jω 0) e j( ω 0n φ+ H e jω 0 ) Para h(n) real, H(e jω ) = H(e jω ) e H e jω = H e jω. Portanto: y n = A 2 H(ejω 0) e j ω 0n+φ+ H e jω 0 + e j ω 0n+φ+ H e jω 0 = A H(e jω 0) cos ω 0 n + φ + H e jω 0 Portanto, a saída será uma senóide de mesma frequência da entrada, ω 0, com amplitude A H(e jω 0) e fase φ + H e jω 0.

4 Resposta em Frequência de Sistemas LTI Exemplo: Para o sistema causal descrito pela equação a diferenças: y n αy n 1 = x n, α < 1 A resposta ao impulso h(n), por definição, é a resposta em estado zero para a entrada δ n. Portanto:, h 1 = 0, h 0 = 1, h 1 = α, h 2 = α 2, ou seja: h n = α n u n A resposta em frequência deste sistema é: H e jω jω n = αe n=0 1 = 1 αe jω

5 Resposta em Frequência de Sistemas LTI Gráficos da resposta em frequência de módulo e de fase para α = 0,8 (Matlab: freqz(1,[1-0.8])) 15 Magnitude (db) Normalized Frequency ( rad/sample) 0 Phase (degrees) Normalized Frequency ( rad/sample) As componentes de baixas frequências serão amplificadas e as de altas serão atenuadas (sistema passa-baixas).

6 Resposta em Frequência de Sistemas LTI Gráficos da resposta em frequência de módulo e de fase para α = 0,8 (Matlab: freqz(1,[1 0.8])) 15 Magnitude (db) Normalized Frequency ( rad/sample) 60 Phase (degrees) Normalized Frequency ( rad/sample) As componentes de frequências altas serão amplificadas e as de baixas serão atenuadas (sistema passa-altas).

7 Função de Transferência A transformada z da resposta ao estado zero de um sistema LTI é: Y z = h k x(n k) n= k= Fazendo a troca de variáveis n = m + k: z n Y z = h(k)x(m) m= k= z (m+k) ou seja: = x(m)z m h(k)z k m= k= Y(z) = X z H(z) onde H(z) é a transformada z da resposta ao impulso h(n).

8 Função de Transferência Reescrevendo a equação anterior: H z = Y(z) X(z) ou seja, H(z) é a razão entre a transformada z da resposta ao estado zero e a transformada z da entrada. Por ser um fator de escala que multiplica X z para obter a saída, H(z) é chamada de função de transferência do sistema. Se a ROC de H(z) incluir o círculo unitário, podemos escrever H(z) z=e jω = H(ejω ) que é a resposta em frequência do sistema.

9 Função de Transferência No exemplo anterior: y n αy n 1 = x n, α < 1 A equação acima no domínio da transformada Z é: Y z αz 1 Y z = X z A função de transferência deste sistema é: H z = Y(z) = 1 X(z) 1 αz 1, ROC: z > α Como a ROC de H(z) inclui o círculo, a resposta em frequência do sistema é: H e jω = H z z=e jω = 1 1 αe jω

10 Funções de Transferência Racionais Uma importante subclasse de sistemas LTI tem relação entradasaída definida por uma equação a diferenças do tipo: k=0 onde a k e b k são constantes. N M a k y n k = b k x n k Aplicando a transformada Z a ambos os lados da equação, temos: N k=0 k=0 M a k z k Y z = b k z k X z k=0 A função de transferência é, portanto, a função racional: H z = Y(z) X(z) = M k=0 b k z k N k=0 a k z k

11 Funções de Transferência Racionais Podemos reescrever H(z) como: H z = M k=0 b k z k N a k k=0 z k = b 0 z N M k=1(z ζ k ) a N 0 (z ψ k M k=1 ) onde ζ k são os zeros de H z, ou seja, os valores de z tais que H z = 0 ψ k são os polos de H z, ou seja, os valores de z tais que H z = Se N > M, H z tem N M zeros em z = 0 Se N < M, H z tem M N polos em z = 0 Se a ROC incluir o círculo unitário (sistema estável), a resposta em frequência do sistema é dada por: H e jω = b 0 e jω(n M) k=1(e jω ζ k ) a N 0 (e jω ψ k M k=1 )

12 Estabilidade de Sistemas LTI descritos por Equações a Diferenças Sabemos que: Para um sistema LTI descrito por uma equação a diferenças, a função de transferência H(z) é racional. H(z) é a transformada Z da resposta ao impulso h(n). Para sistemas causais, h n é uma sequência lateral direita (h n = 0 para n < 0). Portanto, a ROC de H(z) é a região externa ao círculo de raio igual ao módulo mais afastado da origem do plano Z. A condição necessário e suficiente para que um sistema LTI seja BIBO estável é que h n seja absolutamente somável. h n absolutamente somável h n e jωn absolutamente somável. h n e jωn absolutamente somável ROC de H(z) inclui círculo unitário. Um sistema LTI causal será estável se e somente se todos os polos da sua função de transferência H(z) estiverem dentro do círculo unitário.

13 Estabilidade de Sistemas LTI Exemplo 1: o sistema causal com função de transferência H z = 1 + z 1 + z z z 2 tem polos ψ 1 = 1/4 e ψ 2 = 1/2. A ROC de H z, dada por z > 1/2, inclui o círculo unitário e, portanto, o sistema é estável. Exemplo 2: o sistema causal com função de transferência H z = z z z 2 tem polos ψ 1 = 1/2 e ψ 2 = 3/2. A ROC de H z, dada por z > 3/2, não inclui o círculo unitário e, portanto, o sistema é instável. Observe, no entanto, que o sistema não-causal cuja ROC de H z é 1 < z < 3/2 é estável. 2

14 Avaliação da Resposta em Frequência a partir dos Polos e Zeros de H(z) A resposta em frequência de um sistema estável com H z racional (ROC inclui o círculo unitário) é dada por: H e jω = b 0 e jω(n M) k=1(e jω ζ k ) a N 0 (e jω ψ k M k=1 ) Cada fator do numerador (ou denominador), e jω ξ i, pode ser interpretado como um vetor, no plano Z, que vai do zero (ou polo) ξ i ao ponto e jω do círculo unitário. Escrevendo cada um destes fatores na forma polar: e jω ζ i = r i e jα i e e jω ψ i = ρ i e jβ i A resposta em frequência de módulo é dada por: H e jω = b 0 a 0 M k=1 r k N k=1 ρ k

15 Avaliação da Resposta em Frequência a partir dos Polos e Zeros de H(z) A resposta em frequência de fase é dada por: H e jω = b 0 a 0 + ω N M + α i M i=1 N i=1 β i Exemplo: H z = z z z z 2 H(e jω ) = r 1r 2 ρ 1 ρ 2 H e jω = α 1 + α 2 (β 1 + β 2 ) Imaginary Part Real Part

16 Conceito de Filtragem Seja um sistema LTI com resposta em frequência de módulo, para π < ω π, é dada por H e jω = 1, ω ω P 0, ω P < ω π Para a entrada x n = Acos ω 1 n + Bcos ω 2 n com 0 ω 1 ω P e ω P < ω 2 π, a saída será y n = A H e jω 1 cos ω 1 n + H e jω 1 + B H e jω 2 cos ω 2 n + H e jω 2 ou seja: y n = Acos ω 1 n + H e jω 1

17 Tipos de Filtros (a) Passa-baixas; (b) Passa-altas; (c) Passa-faixa; (d) Rejeita-faixa

18 Filtros com Fase Zero Passa-baixas ideal de fase zero: Resposta ao impulso: h n = 1 2π π π H e jω e jωn dω = 1 2π ω P ω P e jωn dω = sen ω P n πn, < n < Sistema não-causal com resposta ao impulso de comprimento infinito (não realizável)

19 Filtros com Fase Linear Passa-baixas ideal de fase linear: H e jω = n 0 ω Resposta ao impulso: h n = 1 2π π π H e jω e jωn dω = 1 2π ω P ω P e jωn 0e jωn dω = sen ω P (n n 0 ) π(n n 0 )

20 Filtros com Fase Linear Para a entrada x n = Acos ω 1 n + Bcos ω 2 n com 0 ω 1, ω 2 ω P, a saída será y n = A H e jω 1 cos ω 1 n + H e jω 1 + B H e jω 2 cos ω 2 n + H e jω 2 ou seja: y n = Acos ω 1 (n n 0 ) + Bcos ω 2 (n n 0 ) As duas componentes são atrasadas de um mesmo número de amostras

21 Atraso de Grupo Um parâmetro frequentemente usado para especificar sistemas de filtragem é o atraso de grupo, definido como τ ω = d H ejω dω Esse parâmetro fornece o atraso, em número de amostras, introduzido em uma componente senoidal de frequência ω ao passar por um sistema com resposta de fase H e jω. Para um filtro com fase linear H e jω = n 0 ω: τ ω = n 0 (constante)