Projeto de Filtros FIR

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1 Projeto de Filtros FIR Estudaremos três técnicas de projeto de filtros FIR de fase linear: Método de Janelas: baseado no janelamento da resposta ao impulso de um filtro ideal; Método da Amostragem em Frequência: amostra-se a resposta em frequência desejada e aplica-se uma IDFT; Método Parks-McClellan: utiliza um algoritmo de otimização para minimizar o desvio máximo da resposta em frequência de magnitude do filtro em relação à resposta desejada. Especificação da resposta em frequência de módulo de um filtro passa-baixas:

2 Um filtro passa-baixas ideal com resposta em frequência desejada tem resposta ao impulso H d e jω = 1, ω < ω C 0, ω C < ω < π h d n = sen(ω Cn) πn, < n < correspondendo a um filtro IIR não-causal. Um filtro FIR causal de ordem N pode ser obtido deslocando-se h d n de N 2 amostras e multiplicando a sequência resultante por uma sequência w n de comprimento N + 1, ou seja: h n = h d n N 2 w(n)

3 Vimos que a multiplicação de duas sequências no domínio do tempo corresponde à convolução linear das suas DTFTs no domínio da frequência, ou seja: H e jω = 1 2π π π H d e jθ W e j(ω θ) dθ Em particular, o simples truncamento de h d n N 2 corresponde à multiplicação desta sequência por w n = 1, 0 n N 0, outro n Esta sequência é conhecida como janela retangular e sua DTFT é sen ω N + 1 W e jω = e jω N 2 2 sen ω 2

4 A resposta em frequência do filtro resultante será, então: H e jω = 1 2π π π H d e jθ W e j(ω θ) dθ

5 Podemos concluir que: As oscilações (ripples) nas faixas de passagem e de rejeição do filtro resultante H e jω estão diretamente relacionadas às amplitudes dos lóbulos secundários de W e jω ; A largura da faixa de transição está relacionada à largura do lóbulo principal de W e jω ; Quando aumentamos o comprimento da janela, N + 1, as alturas dos lóbulos secundários não se alteram, enquanto que a largura do lóbulo principal diminui. Portanto, um aumento do tamanho da janela leva a oscilações mais rápidas, mas com mesmas amplitudes. Ou seja, diminui-se a largura da faixa de transição, mantendo-se os ripples nas faixas de passagem e de rejeição.

6 Para reduzir os ripples, outras janelas foram propostas: Hanning: Hamming: w n = 0,5 0,5cos 2πn N w n = 0,54 0,46cos 2πn N, 0 n N, 0 n N Blackmann: w n = 0,42 0,5cos 2πn N + 0,08cos 4πn N, 0 n N

7 Formas, no domínio do tempo, das janelas para N = 65: Suas DTFTs:

8 Atenuação na faixa de rejeição e largura da faixa de transição dos filtros obtidos para cada janela: onde ω = ω r ω p e A = 20 log 10 δ 2 Obs.: No método de janelas: δ 1 = δ 2 ; freq. corte (-6dB) ω C = (ω p + ω r )/2 O ripple na faixa de passagem em db é dado por 20 log δ 1

9 Exemplo: Encontre um filtro passa-baixas de ordem N = 64 com frequência de corte ω c = 0,3π usando o método de janelas. h n = sen 0,3π n 32 π n 32 w(n) w(n) deve ser escolhida para atender a especificação de ripple

10 Por exemplo, para obter 50 db de atenuação na faixa de rejeição, poderíamos utilizar a janela Hamming ou a Blackmann. A janela Hamming é vantajosa por apresentar faixa de transição mais estreita. Usando a janela de Hamming, o ripple na faixa de rejeição é δ 2 = 10 53/20 = 0,0022 O ripple na faixa de passagem é igual ao da faixa de rejeição, ou seja, δ 1 = δ 2 = 0,0022 correspondendo, em db, a: 20 log 10 (1 + δ 1 ) = 0,0194 db

11 Janela de Kaiser: Concentra energia no lóbulo principal para uma dada amplitude do lóbulo secundário; Sua forma é controlada por um parâmetro β de acordo com a expressão: w n = I 0 β 1 n N 2 /(N 2) 2, 0 n N onde I 0 (. ) é a função de Bessel modificada de ordem 0 dada por I 0 x = 1 2π 0 2π e xcos(θ) dθ = 1 + m=1 x/2 m m! 2

12 Para um dado ripple δ, o valor de β é determinado pela seguinte fórmula empírica: β = 0,1102 A 8,7, A > 50 0,5842(A 21) 0,4 +0,07886 A 21, 21 < A 50 0, A 21 A ordem do filtro de Kaiser é estimada por: N = A 8 2,285 ω A amplitude dos lóbulos secundários e a largura do lóbulo principal são ajustados de acordo com a ordem N e o parâmetro β.

13 O método de janelas pode ser usado para projetar outros tipos de filtros, através do janelamento das respostas ao impulso ideais, dadas a seguir. Passa-altas ideal: Resposta em frequência de fase zero: H HP e jω = 0, ω < ω c 1, ω c ω π Resposta ao impulso (IDTFT de H HP e jω ): h HP n = 1 ω c π, n = 0 sen(ω cn) πn, n > 0

14 Passa-faixa ideal: Resposta em frequência de fase zero: H BP e jω = 0, ω < ω c1 1, ω c1 ω ω c2 0, ω c2 < ω π Resposta ao impulso (IDTFT de H BP e jω ): h BP n = sen(ω c2n) πn sen ω c1n πn, n 0

15 Rejeita-faixa ideal: Resposta em frequência de fase zero: H BS e jω = 1, ω ω c1 0, ω c1 < ω < ω c2 1, ω c2 ω π Resposta ao impulso (IDTFT de H BS e jω ): h BS n = 1 (ω c2 ω c1 ), n = 0 π sen(ω c1 n) sen(ω c2n), n > 0 πn πn

16 Filtro Multibanda ideal: Resposta em frequência de fase zero: H ML e jω = A k, ω k 1 ω ω k Resposta ao impulso (IDTFT de H ML e jω ): h ML n = (A l A l+1 ) sen(ω ln) πn l=1 com ω 0 = 0, ω L = π e A L+1 = 0. L

17 Projeto de Filtros FIR por Amostragem em Frequência A partir da especificação da resposta em frequência desejada H d e jω, obtém-se a sequência H k = H d e jω ω=2πk/n, k = 0,, N 1 e aplica-se a IDFT, ou seja, h n = IDFT{H k } Para que h n seja real, é necessário que H k satisfaça a propriedade de simetria: H k = H N k, k = 1,, N 1

18 Projeto de Filtros FIR pelo Método de Parks-McClellan Método de otimização que minimiza o desvio máximo da resposta em frequência H e jω, em relação à ideal H d e jω, nas faixas de passagem e de rejeição (Otimização Minimax) Filtro resultante, de fase linear, é chamado de equiriple Como vimos anteriormente, a resposta em frequência de um filtro FIR de fase linear tem a forma: H e jω = e jn 2 ω H R e jω sendo H R e jω uma função real, que pode ser escrita como um polinômio em cos (ω).

19 Projeto de Filtros FIR pelo Método de Parks-McClellan Define-se a função erro ponderado: E ω = W(ω) H R e jω H d e jω sendo H d e jω a resposta em frequência desejada de módulo e W ω uma função peso que controla os ripples relativos nas diferentes faixas de frequência. O algoritmo de Parks-McClellan é baseado no ajuste iterativo dos coeficientes do filtro até que o valor máximo do módulo de E ω é minimizada. Se o valor máximo de E ω na banda ω a ω ω b for ε 0, então o erro absoluto satisfará H R e jω H d e jω ε 0 W ω, ω a ω ω b

20 Projeto de Filtros FIR pelo Método de Parks-McClellan Em aplicações típicas de projeto de filtros: H d e jω = 1, na faixa de passagem 0, na faixa de rejeição Para satisfazer a especificação de ripples, δ p na faixa de passagem e δ s na faixa de rejeição, escolhemos a função peso como W ω = 1, na faixa de passagem δ p /δ s, na faixa de rejeição ou W ω = δ s/δ p, na faixa de passagem 1, na faixa de rejeição

21 Projeto de Filtros FIR pelo Método de Parks-McClellan Os picos de E ω ocorrem nas frequências ω i em que de ω dω = 0 Como H d e jω e W ω são funções constantes por partes, temos: de ω = dh R e jω dω ωi dω ω i = 0 Como H R e jω pode ser escrita como um polinômio em cos (ω), temos: N/2 H R e jω = r 0 + r(n) (cos ω ) n n=1

22 Projeto de Filtros FIR pelo Método de Parks-McClellan Sua derivada tem a forma: dh R dω e jω N/2 = sen(ω) nr(n) (cos(ω)) n 1 n=1 Esta derivada será 0 em ω = 0, ω = π e nas N/2 1 frequências correspondentes às raízes do polinômio em cos (ω). Além disso, E ω terá valor máximo nas frequências ω p e ω s. O projeto ótimo de um filtro FIR equirripple com fase linear é alcançado se e somente se E ω apresenta pelo menos N/2 + 2 extremos com amplitudes iguais e sinais alternados (teorema das alternâncias).

23 Projeto de Filtros FIR pelo Método de Parks-McClellan Portanto, para encontrar a solução ótima, precisamos resolver as N/2 + 2 equações: W ω i H R e jω i H d e jω i = ( 1) i ε 0, 0 i N O algoritmo iterativo de Remez é usado para localizar as frequências dos extremos e ε 0. A ordem do filtro pode ser estimada pela fórmula empírica: N 10 log 10 δ p δ s ( ω 2π )