Espaço de Fourier. Processamento de Imagens Médicas. Prof. Luiz Otavio Murta Jr. Depto. de Física e Matemática (FFCLRP/USP)

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1 Processamento de Imagens Médicas Espaço de Fourier Prof. Luiz Otavio Murta Jr. Depto. de Física e Matemática FFCLRP/USP

2 Teorema da Amostragem quist. - O teorema da amostragem de quist diz que devemos amostrar um sinal analógico real com uma taa freqüência de amostragem de no mínimo duas vezes a sua freqüência para evitar o fenômeno de aliasing. F amostragem F sinal. - A freqüência correspondente ao dobro da máima freqüência de um sinal é denominada taa de amostragem de quist.

3 Aliasing". As figuras a b e c mostram amostragens corretas de três ondas senoidais. Em c não parece captar a forma de onda corretamente apesar de cada período ser amostrado mais de duas vezes. Em d a freqüência da onda senoidal analógica é maior que a freqüência de quist metade da freqüência de amostragem. Isto resulta em aliasing onde a freqüência do dado amostrado é diferente da freqüência do sinal analógico portanto o sinal não pode ser reconstruindo porque está corrompido 3

4 Aliasing". Sub-amostragem Quando ocorre aliasing devido a uma freqüência de amostragem muito baia o efeito pode ser descrito por uma superposição errônea do sinal analógico em freqüências acima da freqüência de quist. 4

5 Sinais Senoidais no Tempo Contínuo Uma oscilação harmônica é descrita matematicamente por: Este sinal é caracterizado por:. a t é periódico a t + T p = a t onde T p = /F é o período fundamental.. O aumento da freqüência F resulta no aumento da taa de oscilação dentro de um intervalo. 5

6 Sinais Senoidais no Tempo Discreto Um sinal senoidal em tempo discreto pode ser escrito como: n = A cosπfn + θ - < n < Uma senoide em tempo discreto é periódica somente se sua freqüência f é um número racional Eemplo: Definição: n + = n para todo n. Eemplo: cos[πf+n + θ] = cosπfn + θ Eemplo de um sinal senoidal no tempo discreto = / 6 e = / 3 6

7 Sinais Senoidais no Tempo Contínuo Senoides no tempo discreto onde suas freqüências são separada por um número inteiro múltiplo de são idênticas cos[ω +πn + θ] = cos [ω n+πn + θ] A taa de oscilação mais elevada de um sinal senoidal no tempo discreto é alcançada quando = ou = - ou equivalentemente f=½ ou f = -½. freqüências negativas para sinais senoidais no tempo discreto n=acos[ωn + θ] = A/.e jωn+θ + A/.e -jωn+θ A faia de freqüência é finita entre - -½ f ½. 7

8 Domínio do Tempo e Freqüência. Domínio do tempo Domínio da freqüência 8

9 Transformada de Fourier. Ilustração da decomposição de Fourier. Um sinal de pontos decomposto em + sinais cada um tendo pontos. Metade destes sinais são senos e a outra metade são co-senos. As freqüências são fias e as amplitudes são proporcionas às componentes de freqüências. 9

10 Transformada de Fourier. Eemplo de decomposição de Fourier. Um sinal de 6 pontos decomposto em 9 ondas seno e 9 ondas co-seno. A freqüência de cada senoide e co-senoide é fia e a amplitude é dependente da amplitude da forma de onda para a dada freqüência

11 Transformada de Fourier. Funções deltas impulsos unitários

12 Transformada de Fourier. Transformada discreta de Fourier eemplos

13 Domínio de Freqüências frequenc range. Homogeneidade da transformada de Fourier. Se a amplitude é mudada em um domínio é mudada também no outro domínio na mesma proporção. Em outras palavras uma mudança de escala em um domínio corresponde a uma mudança de escala no outro domínio. 3

14 Domínio de Freqüências frequenc range. Soma da transformada de Fourier. Somando-se dois ou mais sinais em um domínio resulta em uma soma correspondente no outro domínio. esta figura os sinais no domínio do tempo a e b são somados para produzir o sinal em c. Isto resulta na soma dos espectros. 4

15 Domínio de Freqüências frequenc range. f n a an coskfn bnsen kfn n n 5

16 Domínio de Freqüências frequenc range. Utilidades da Transformada de Fourier -Remover freqüências indesejáveis de um sinal -Certas operações são eecutadas mais facilmente e com maior rapidez no domínio da freqüência - Filtragem de freqüências indesejáveis - A transformada de Fourier pode ser aproimada por uma soma de senos e cossenos ep[± jπu] = cosπu ± j sinπu - Fu é apenas uma função ponderada para as diferentes freqüências presentes em f - Para remover certas freqüências ajuste os valores correspondentes de Fu para zero!!! 6

17 Domínio de Freqüências frequenc range. Como as freqüências aparecem em uma imagem? - Altas freqüências: variações rápidas e. bordas -Baias freqüências: variações lentas e. superfícies contínuas Original Filtro passa-alta Filtro passa-baia 7

18 Domínio de Freqüências frequenc range. Estendendo FT para duas dimensões Transformada de Fourier F Transformada inversa de Fourier F j uv f Fu v f e j uv Fu v f Fu ve dd dudv 8

19 Eemplo de Transformada de Fourier D F uv u v f e j dd A X e Y ju jv d e d AXY senux ux senvy e vy j uxvy 9

20 Eemplo de Transformada de Fourier D

21 Eemplo de Transformada de Fourier D

22 Transformada de Fourier D discreta Transformada Discreta de Fourier DFT DFT: F u f e DFT inversa: f F u e Fu é discreta: F u ju ju ; ; u F uu; u... ; u

23 3 Transformada de Fourier D discreta Estendendo a DFT para duas dimensões DFT: DFT inversa: Assuma que f seja uma imagem DFT: DFT inversa: M v M u j e f M v u F M v M u j e v u F f v u j e f v u F v u j e v u F f

24 Eemplo de Transformada de Fourier D Reconstrução com os primeiros coeficientes menores freqüências 4

25 Eemplo de Transformada de Fourier D Reconstrução com os maiores coeficientes 5

26 Eemplo de Transformada de Fourier D Reconstrução primeiros coeficientes 6

27 Eemplos de Transformada de Fourier D 7

28 Transformada de Fourier D discreta Propriedades DFT D: - Separabilidade - Translação - Escala - Periodicidade e Simetria Conjugada - Rotação - Convolução 8

29 9 Transformada de Fourier D discreta v j u j e f e v u F v F e f v j Separabilidade A FT D pode ser calculada usando FTs D apenas!! DFT: DFT inversa: Fuv pode ser epressa em forma separável: Fazendo: Temos: v u j e f v u F v u j e v u F f u j v F e v u F

30 Transformada de Fourier D discreta Separabilidade A DFT de uma matriz pode ser obtida através de Primeiro aplique a DFT-D em cada linha ou coluna Em seguida aplique a DFT-D em cada coluna ou linha no resultado do passo anterior a prática se você for aplicar a mesma função nos dois passos o resultado do primeiro passo deve ser transladado. O resultado final deve ser transladado novamente. ão importa a ordem da operação! 3

31 Transformada de Fourier D discreta Visualizando DFT D com translação e f f j u v e F u u v v F u v A transformada original Fuv pode ser deslocada para o centro da matriz quadrada multiplicando primeiro f por -+ e depois calculando a transformada de Fourier O deslocamento não afeta a magnitude da transformada 3

32 Transformada de Fourier D discreta Visualizando DFT - translação Componentes de baia freqüência 3

33 Transformada de Fourier D discreta f Fuv Ff + = Fu /v / 33

34 34 Transformada de Fourier D discreta Escala: v u af af f o o v u sen v u F j v u v u F F 8 8 cos

35 Transformada de Fourier D discreta Eibição do espectro de Fourier: translação + escala -será mostrada apenas a magnitude de Fuv transladada -a faia da magnitude de Fuv é muito grande [.56] -aplicar escala: D u v c.log F u v c é uma constante 35

36 Transformada de Fourier D discreta Periodicidade e Simetria Conjugada A FT e sua inversa são periódicas com período Para eibir um período inteiro é necessário mover a origem da transformada para o ponto u=/ ou em // no caso D 36

37 37 Transformada de Fourier D discreta u v v u r tan tan Rotação A rotação de f de Θ implica em uma rotação de Fuv de Θ Distributividade..cos v u F sen r r f f.cos.cos r r f g..cos sen F v G u g F g F f F g f F g F f F g f F

38 Transformada de Fourier D discreta Rotação Eemplo 38

39 39 Transformada de Fourier D discreta f f Valor Médio f F F f v u j e f v u F lembrando que:

40 Transformada de Fourier D discreta Definição Teorema da Convolução Convolução f * g f a g a da note que f * g = g * f f * g Fu Gu convolução no domínio direto significa multiplicação no domínio da freqüência f g Fu * Gu multiplicação no domínio direto significa convolução no domínio da freqüência 4

41 Transformada de Fourier D discreta Calculando f *g com eficiência. Calcule: Ff = Fu e Fg = Gu. Multiplique: FuGu 3. Calcule a FT inversa: F - Fu Gu = f * g Convolução discreta. A integral é substituída pela soma. A variável de integração se torna um índice 3. Os deslocamentos ocorrem segundo incrementos discretos f * g f m g m M m 4

42 Transformada de Fourier D discreta Eemplo Seqüências de entrada: {ff fa-}{gg gb-} Comprimento da seqüência de saída: M = A+B- 4

43 Filtros no domínio da freqüência Domínio da freqüência Guv = Huv Fuv Domínio espacial g = h * f 43

44 Filtro Passa-baia Filtros no domínio da freqüência 44

45 Filtro Passa-baia Ideal Filtro Passa-baias H u v se D u v se D u v D D u v são coordenadas de freqüência Duv = u +v / 45

46 Filtro Passa-baias 46

47 Filtro Passa-baias 47

48 Filtro Passa-baias 48

49 Fitro de Butterworth passa-baias H u v D u v / D n H u v [ ] D u v / D n 44 D u v / D n 49

50 Fitro de Butterworth passa-baias 5

51 Filtro Passa-altas Filtro Ideal H u v se D u v se D u v D D Filtro de Butterworth H u v D u v D / n 5

52 Filtro Passa-altas 5

53 Filtro Passa-altas 53

54 Filtragem homomórfica Modelo de iluminação: i iluminação; r refletância f = i r A transformada de Fourier não ajuda muito F{ f } F{ i } F{ r } Mas transformando f em z: z = ln f =ln i + ln r 54

55 Filtragem homomórfica É possível então separar as duas componentes: F{ z } = F{ln f } = F{ln i } + F{ln r } Então a variável Z é: Zuv = Iuv + Ruv Supondo S a solução no espaço de Fourier: Suv = HuvZuv = HuvIuv + HuvRuv 55

56 Filtragem homomórfica E s no espaço direto: s = F - { Suv} = F - {HuvIuv} + F - {HuvRuv} Então a iluminação: i = F - {HuvIuv} E a refletância: r = F - {HuvRuv} s = i + i 56

57 Filtragem homomórfica E finalmente i e r : g = ep[s] = ep[i ].ep[r ] = i r i = ep[i ] r = ep[r ] 57

58 Filtragem homomórfica 58

59 59 Geração de máscaras espaciais Equação do filtro no domínio da freqüência: Guv = Huv Fuv Filtro no domínio espacial: H é a transformada de Fourier de h: i k k i f k i h g v u j e h v u H

60 6 Geração de máscaras espaciais ˆ ˆ v u j e h v u H Se h é restrito a zero para valores > n e > n com > n. Máscara de convolução h de tamanho n n. O objetivo e encontrar os coeficientes h que tenha menor erro: ˆ v u H v u H e

61 6 Geração de máscaras espaciais ˆ v u H v u H e Ch H ˆ ˆ ˆ ˆ i H v u H Considerando o erro: A função de resposta estimada pode ser obtida como o produto da matriz de base pela função espacial:

62 6 Geração de máscaras espaciais k i C e v u j ˆ ˆ k h h ˆ * ˆ H H H H e ˆ H H ˆ H h C Impondo a base de funções:

63 Geração de máscaras espaciais Fazendo a derivada do erro quadrático igual a zero e hˆ C * Ch ˆ H Resulta no produto da matriz de base por H C * C C * H C H ˆ h * 63

64 Geração de máscaras espaciais 64

65 Restauração de imagens introdução Modelo de degradação: η f H + g 65