A Transformada de Fourier

Transcrição

1 A Transformada de Fourier Disciplina: Tópicos em Computação (Processamento Digital de Imagens) 1 / 30

2 A Função Impulso Fundamental no estudo dos sistemas lineares e da transformada de Fourier; Um impulso unitário de uma variável contínua t localizada em t = 0, é definido como: δ(t) = { se t = 0 0 se t 0 e restrito para satisfazer a identidade δ(t)dt = 1 2 / 30

3 A Função Impulso Um impulso pode ser visto como um pico de amplitude infinita e duração zero, tendo área unitária; Pela propriedade de peneiramento f(t)δ(t)dt = f(0) considerando que f(t) é contínua em t = 0, o peneiramento nos informa o valor da função f(t) na posição do impulso. 3 / 30

4 A Função Impulso Discreta Seja x uma variável discreta, o impulso unitário discreto, δ(x), atende a todos os propósitos ao trabalhar com sistemas discretos: δ(x) = e restrito também para satisfazer { 1 se x = 0 x= 0 se x 0 δ(x) = 1. Além disso: x= f(x)δ(x) = f(0) 4 / 30

5 A Transformada de Fourier A contribuição de Fourier: qualquer função periódica pode ser expressa como a soma de senos e/ou cossenos de diferentes frequências, cada uma multiplicada por um coeficiente diferente. 5 / 30

6 A Transformada de Fourier Dada uma função contínua f(t), a transformada de Fourier de f(x) é dada por: I{f(t)} = f(t)e j2πµt dt. Podemos obter novamente f(t) utilizando a transformada inversa de Fourier, f(t) = I 1 {F(µ)} é dada por: f(t) = F(µ)e j2πµt dµ. 6 / 30

7 A Transforma de Fourier: exemplo 7 / 30

8 Convolução A convolução de duas funções de variável contínua é definida como: f(t) h(t) = f(τ)h(t τ)dτ O sinal de - representa a rotação de 180 o ; t é o deslocamento necessário para reposicionar uma função passando pela outra; τ é uma variável local eliminada pela integração. Importante propriedade: I {f(t) h(t)} = H(µ)F(µ) O mesmo resultado seria obtido se a ordem de f(t) e h(t) fosse invertida: a convolução é comutativa. 8 / 30

9 Teorema da Convolução A transforma de Fourier da convolução de duas funções de variável contínua é igual à multiplicação de suas transformadas: f(t) h(t) H(µ)F(µ) A transforma de Fourier da multiplicação de duas funções de variável contínua é igual à convolução de suas transformadas: f(t)h(t) H(µ) F(µ) 9 / 30

10 Amostragem Funções contínuas devem ser convertidas em uma sequência de valores discretos antes de poderem ser processadas em um computador; Esta tarefa é realizada utilizando a amostragem e a quantização; Suponha uma função f(t) que desejamos obter amostras em intervalos uniformes de (t) da variável independente t; A função se estende de a em relação a t 10 / 30

11 Amostragem: exemplo 11 / 30

12 Transformada de Fourier de Funções Amostradas Sobreamostragem Amostragem crítica Subamostragem 12 / 30

13 O Teorema da Amostragem Como definir se uma função contínua pode ser unicamente recuperada a partir do conjunto de suas amostras?? Função de Banda Limitada: igual a zero fora de uma faixa; Valores baixos do período de amostragem faz com que os períodos em F(µ) (Transf. Fourier da função amostrada) se mesclem; Valores altos proporcionam uma separação mais clara entre os períodos; A função f(t) pode ser recuperada se pudermos isolar uma cópia de F(µ) a partir da sequência periódica em F(µ). 13 / 30

14 O Teorema da Amostragem Uma função de banda limitada, contínua, pode ser totalmente recuperada a partir de um conjunto de suas amostras se estas forem adquiridas em uma taxa maior que o dobro da frequência mais alta contida na função. Uma taxa de amostragem equivalente a exatamente o dobro da frequência mais alta é chamada de taxa de Nyquist. 14 / 30

15 O Teorema da Amostragem A função H(µ) é chamada de filtro passa-baixa passa frequências na extremidade inferior do intervalo de frequência, mas elimina todas as mais altas 15 / 30

16 Aliasing O que acontece se uma função de banda limitada for amostrada em uma taxa menor que o dobro de sua frequência mais alta?? Subamostragem A transformada inversa geraria uma função corrompida de t; Tal efeito é chamado de aliasing. 16 / 30

17 Aliasing 17 / 30

18 Aliasing 18 / 30

19 O Impulso 2D O impulso, δ(t, z) de duas variáveis contínuas, t e z, é definido como { se t = z = 0 δ(t, z) = 0 c.c. Propriedade do peneiramento (como no caso 1D) f(t, z)δ(t, z)dtdz = f(0, 0). 19 / 30

20 O Impulso Discreto 2D O impulso, δ(x, y) de duas variáveis discretas, x e y, é definido como { 1 se x = y = 0 δ(x, y) = 0 c.c. Propriedade do peneiramento (como no caso 1D) f(x, y)δ(x, y)dxdy = f(0, 0). x= y= 20 / 30

21 O Impulso Discreto 2D: exemplo 21 / 30

22 O Par Contínuo de Transformadas de Fourier 2D F(µ, ν) = f(t, z)e j2π(µt+νz) dtdz f(t, z) = F(µ, ν)e j2π(µt+νz) dµdν 22 / 30

23 Transformada de Fourier 2D: exemplo 23 / 30

24 O Trem de Impulsos Discretos 2D 24 / 30

25 Sobreamostragem e Subamostragem em 2D 25 / 30

26 Aliasing em Imagens Reamostradas 26 / 30

27 Aliasing em Imagens Reamostradas 27 / 30

28 O Par Discreto de Transf. de Fourier 2D F(µ, ν) = M 1 N 1 x=0 y=0 f(x, y)e j2π(µx/m+νy/n) f(x, y) = 1 MN M 1 N 1 µ=0 ν=0 F(µ, ν)e j2π(µx/m+νy/n) 28 / 30

29 Propriedades da Transf. Discreta de Fourier 2D Separabilidade: 2DFT = 1DFT(linhas) + 1DFT(colunas); Translação e Rotação: transladar e rotacionar a função significa transladar e rotacionar a transformada (e vice-versa); Periodicidade: a transformada e sua inversa são ifinitamente periódicas; Simetria: em relação a um dos eixos; Teorema da Convolução 2D f(x, y) h(x, y) F(µ, ν)h(µ, ν) f(x, y)h(x, y) F(µ, ν) H(µ, ν) 29 / 30

30 Convolução de Sinais: exemplo 30 / 30