Processamento de Imagens COS756 / COC603

Transcrição

1 Processamento de Imagens COS756 / COC603 aula 04 - reconstrução de sinais digitais Antonio Oliveira Ricardo Marroquim 1 / 42

2 aula de hoje e reconstrução overview amostrando um sinal reconstruindo um sinal aliasing filtro gaussiano 2 / 42

3 discreto/contínuo o que é amostrar? o que é reconstruir? 3 / 42

4 discreto/contínuo o que é amostrar? colher o valor da função em alguns momentos passar do contínuo para o discreto o que é reconstruir? 3 / 42

5 discreto/contínuo o que é amostrar? colher o valor da função em alguns momentos passar do contínuo para o discreto o que é reconstruir? computar o valor do sinal entre amostras passar do discreto para o contínuo 3 / 42

6 discreto/contínuo quando queremos amostrar? quando queremos reconstruir? 4 / 42

7 discreto/contínuo quando queremos amostrar? câmera digital exibir uma imagem no monitor pixels são amostras!!... quando queremos reconstruir? 4 / 42

8 discreto/contínuo quando queremos amostrar? câmera digital exibir uma imagem no monitor pixels são amostras!!... quando queremos reconstruir? processar uma imagem ex. inferir superfícies ou arestas contínuas a partir das amostras 4 / 42

9 impulso função impulso, dirac, ou delta { δ(x) = 0, se x 0, + δ(x)dx = 1 o que retorna a seguinte operação? 5 / 42

10 impulso função impulso, dirac, ou delta { δ(x) = 0, se x 0, + δ(x)dx = 1 o que retorna a seguinte operação? + δ(x)f (x)dx =? 5 / 42

11 impulso função impulso, dirac, ou delta { δ(x) = 0, se x 0, + δ(x)dx = 1 o que retorna a seguinte operação? + + δ(x)f (x)dx =? f (x)δ(x)dx = f (0) 5 / 42

12 impulso como podemos usar o impulso para amostrar a função em um determinado instante? 6 / 42

13 impulso como podemos usar o impulso para amostrar a função em um determinado instante? + f (x)δ(x a)dx = f (a) 6 / 42

14 impulso em teoria, um sinal f (x) pode ser representado como infinitos impulsos deslocados e escalados + f (a)δ(x a)da 7 / 42

15 impulso em teoria, um sinal f (x) pode ser representado como infinitos impulsos deslocados e escalados o que estamos fazendo? + f (a)δ(x a)da 7 / 42

16 impulso em teoria, um sinal f (x) pode ser representado como infinitos impulsos deslocados e escalados o que estamos fazendo? + f (a)δ(x a)da convolução estamos deslizando a função impulso pelo sinal original T {f (x)} = g(x) = (f h)(x) = + f (a)h(x a)da convolução com um impulso gera a própria função centrada no impulso 7 / 42

17 função pente são impulsos igualmente espaçados x x = T onde T é o período + Comb T (x) = δ(x it ) i= -3T -2T -T 0 T 2T 3T 4T 5T 8 / 42

18 multiplicação da função pente pelo sinal original f c(x) f(x) i(x) sinal contínuo x sinal discreto x função pente T x 9 / 42

19 aumentando a resolução... f c(x) f(x) i(x) sinal contínuo x sinal discreto x função pente T x 10 / 42

20 função pente no espaço de frequência função pente no domínio da frequência inversamente proporcional ao período T T 11 / 42

21 função pente no espaço de frequência aumentando o período diminuímos a frequência e vice-versa T 12 / 42

22 note que (isso será visto mais a fundo nas aulas de transformadas) multiplicação no domínio espacial é equivalente a convolução no domínio de frequência convolução no domínio espacial é equivalente a multiplicação no domínio de frequência 13 / 42

23 note que (isso será visto mais a fundo nas aulas de transformadas) multiplicação no domínio espacial é equivalente a convolução no domínio de frequência convolução no domínio espacial é equivalente a multiplicação no domínio de frequência amostrar um sinal no domínio espacial multiplicar pela função pente no domínio espacial 13 / 42

24 note que (isso será visto mais a fundo nas aulas de transformadas) multiplicação no domínio espacial é equivalente a convolução no domínio de frequência convolução no domínio espacial é equivalente a multiplicação no domínio de frequência amostrar um sinal no domínio espacial multiplicar pela função pente no domínio espacial equivalente a realizar a convolução com a função pente no domínio de frequência 13 / 42

25 convolução g(x) = (f h)(x) podemos pensar como deslizar uma função sobre a outra 14 / 42

26 convolução g(x) = (f h)(x) podemos pensar como deslizar uma função sobre a outra então o que é realizar a convolução com a função pente? 14 / 42

27 convolução g(x) = (f h)(x) podemos pensar como deslizar uma função sobre a outra então o que é realizar a convolução com a função pente? replicar o sinal! lembre que convolução com um impulso gera a própria função centrada no impulso então com vários impulsos gera várias vezes a função F c(ω) I(ω) ω f ω ωs ω 14 / 42

28 convolução convolução é comutativa (f h)(x) = (h f )(x) deslizando o sinal invertido sobre a função pente uma réplica centrada em cada impulso F c(ω) I(ω) ω f ω ωs ω 15 / 42

29 reconstrução e se quisermos voltar para o espaço contínuo? 16 / 42

30 reconstrução e se quisermos voltar para o espaço contínuo? precisamos reconstruir o sinal amostrado I(ω) ω 16 / 42

31 reconstrução e se quisermos voltar para o espaço contínuo? em outras palavras queremos retirar uma réplica do sinal amostrado em espaço de frequência como fazer isso? I(ω) ω 17 / 42

32 reconstrução filtro caixa passa somente o que está dentro da caixa elimina todo o resto I(ω) I(ω) ω B(ω) ω ω 18 / 42

33 reconstrução filtro caixa o que é uma função caixa no domínio espacial? F 1 (rect(x)) =? 19 / 42

34 reconstrução filtro caixa o que é uma função caixa no domínio espacial? F 1 (rect(x)) =? função sinc sinc(x) = sin(πx) πx / 42

35 re f c (x) F c (ω) sinal contínuo x ω f ω o processo inteiro - parte 1 sinal original contínuo (domínio espacial e de frequência) 20 / 42

36 f c(x) sinal contínuo x F c(ω) ω re i(x) I(ω) ω f função pente T x ωs ω o processo inteiro - parte 2 função pente () 21 / 42

37 f c(x) i(x) sinal contínuo função pente T x x F c(ω) I(ω) ωs ω ω re f(x) F(ω) ω f sinal amostrado x ω o processo inteiro - parte 3 sinal amostrado 22 / 42

38 f c(x) i(x) f(x) sinal contínuo função pente T sinal amostrado x x x F c(ω) I(ω) F(ω) ωs ω ω ω re sinc(x) BI(ω) ω f x ω filtro de reconstrução sinc o processo inteiro - parte 4 filtro de reconstrução 23 / 42

39 f c(x) i(x) f(x) sinal contínuo função pente sinal amostrado sinc(x) filtro de reconstrução sinc T x x x x F c(ω) I(ω) F(ω) BI(ω) ωs ω ω ω ω re ω f (f sinc)(x) F(ω)BI(ω) sinal reconstruído x ω o processo inteiro - parte 5 sinal reconstruído 24 / 42

40 re re existem dois problemas neste processo 25 / 42

41 re re existem dois problemas neste processo 1. aliasing 2. filtro de reconstrução (sinc) 25 / 42

42 aliasing o que é? incapacidade de reproduzir frequências altas frequências altas são mascaradas pelas frequências baixas 26 / 42

43 aliasing em baixa resolução quando a função pente é esparsa no domínio espacial ela é compacta no domínio de frequência ou seja, as réplicas estão mais próximas o aliasing se caracteriza pela sobreposição das réplicas f(x) F(ω) sinal original amostrado x ω 27 / 42

44 aliasing em baixa resolução o sinal reconstruído é modificado f(x) F(ω) x ω sinc(x) BI(ω) x ω (f sinc)(x) F(ω)BI(ω) x ω 28 / 42

45 aliasing em termos de imagens a resolução de (pixels) é mais baixa que a variação das frequências (tonalidades) 29 / 42

46 aliasing o que fazer? amostrar mais! Teorema de Nyquist frequência de deve ser superior a duas vezes maior frequência ω > ω Nyquist = 2ω f 30 / 42

47 aliasing o que fazer? nem sempre é possível amostrar mais e nunca resolverá o problema para descontinuidades então, se não conseguimos reconstruir as frequência altas precisamos eliminá-las 31 / 42

48 aliasing o que fazer? nem sempre é possível amostrar mais e nunca resolverá o problema para descontinuidades então, se não conseguimos reconstruir as frequência altas precisamos eliminá-las filtro anti-aliasing no domínio de frequência, a função caixa serve como um filtro anti-aliasing limitamos espectro removendo as frequências altas porém, qual é o problema desta função? 31 / 42

49 aliasing o que fazer? nem sempre é possível amostrar mais e nunca resolverá o problema para descontinuidades então, se não conseguimos reconstruir as frequência altas precisamos eliminá-las filtro anti-aliasing no domínio de frequência, a função caixa serve como um filtro anti-aliasing limitamos espectro removendo as frequências altas porém, qual é o problema desta função? tem suporte infinito como fazer uma convolução com esta função? 31 / 42

50 aliasing função caixa podemos truncar a função 32 / 42

51 aliasing função caixa podemos truncar a função porém, isto gera um artefato ringing artifact fenômeno de Gibbs 32 / 42

52 aliasing função caixa podemos truncar a função porém, isto gera um artefato ringing artifact fenômeno de Gibbs aproximação da série de Fourier consequência de aproximar a série de Fourier pelas N primeiras somas não é mais possível representar a descontinuidade 32 / 42

53 Gaussiano filtro sem descontinuidade na prática existem filtros melhores para realizar esta operação filtro Gaussiano g σ (x) = 1 σ 1 2π e 2 x 2 σ 2 transformada de Fourier do filtro Gaussiano g σ (x) G σ (ω) = e σ2 ω 2 2 = σ 2πg 1 σ (ω) 33 / 42

54 Gaussiano filtro Gaussiano variando σ no domínio espacial g σ (x) = 1 σ 1 2π e 2 x 2 σ 2 σ 0 > σ 1 34 / 42

55 Gaussiano filtro Gaussiano variando σ no domínio de frequência g σ (x) G σ (ω) = e σ2 ω 2 2 = σ 2πg 1 σ (ω) 35 / 42

56 Gaussiano filtro Gaussiano convoluir um filtro Gaussiano no domínio espacial é igual a multiplica o espectro de sinal pela transformada de Fourier do filtro 36 / 42

57 Gaussiano filtro Gaussiano convoluir um filtro Gaussiano no domínio espacial é igual a multiplica o espectro de sinal pela transformada de Fourier do filtro porém esta função tem suporte infinito precisamos novamente truncá-la também funciona como um filtro passa-baixa (elimina frequências altas) 36 / 42

58 Gaussiano filtro Gaussiano porém, ao eliminar aliasing causado pelas frequências altas é introduzido um borramento Borramento Aliasing 37 / 42

59 Gaussiano filtro Gaussiano como implementar em domínio espacial Gaussiana 2D g ( x, y) = 1 x 2 +y 2 2πσ 2 e 2σ 2 o tamanho da janela define o truncamento do filtro / 42

60 Gaussiano filtro Gaussiano e melhorando um pouco a eficiência podemos passar para inteiros com um fator de normalização / 42

61 Gaussiano filtro Gaussiano e melhorando um pouco a eficiência podemos passar para inteiros com um fator de normalização separabilidade passar o filtro 2D equivale a passar o filtro 1D na direção x e depois na direção y 39 / 42

62 Gaussiano original Gaussian blur 5x5 40 / 42

63 Gaussiano 41 / 42

64 Gaussiano 42 / 42