Processamento de sinais digitais

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1 Processamento de sinais digitais Aula 1: Filtros digitais

2 Tópicos Definição de um filtro digital Anatomia de um filtro digital Descrição no domínio da frequência de sinais e sistemas Aplicações típicas de filtros digitais Substituição de filtros analógicos por filtros digitais Tópicos especiais 2

3 Filtro digital O que é? Propriedades da sequência de saída dependem da aplicação. Exemplos: aplicações de radar e processamento de voz. 3

4 Filtro digital Como gerar as sequências de entrada? Amostrar um sinal contínuo no tempo em um conjunto de intervalo de tempo igualmente espaçado: Onde Ts é o período da amostra. 4

5 Anatomia de um filtro digital Interconexão de três elementos: somadores (adders), multiplicadores (multipliers) e retardadores (delays). 5

6 Anatomia de um filtro digital Somadores e multiplicadores: componentes simples implementados na ULA do computador. Delays: componentes que permitem acessos a valores futuros e passados na sequência: delay positivo (delay): implementado por um registrador de memória que armazena o valor atual de uma sequência para um intervalo da amostra, logo, tornando-a disponível para cálculos futuros. delay negativo (avanço): usado para antecipar o próximo valor na sequência. Geralmente usados para aplicações, como processamento de imagens, em que a sequência de todos os dados a ser processada está disponível no início do processamento, e o delay negativo serve para acessar a próxima amostra dos dados na sequência. 6

7 Anatomia de um filtro digital Exemplo de filtro digital não recursivo que faz uma média de três amostras: A saída atual y(n) é igual a média dos valores de entrada: próximo, atual e anterior. O 'avanço' serve para acessar o próximo valor da sequência, enquanto o 'delay' serve para armazenar o valor corrente. 7

8 Anatomia de um filtro digital Ordem: indica o número mínimo de delays e avanços que são necessários para implementar um filtro digital. Um filtro de média de 3 amostras é um filtro de segunda ordem. Filtro não-recursivo (saída é uma função apenas da entrada) Filtro recursivo (saída também depende dos valores de saída anteriores) Exemplo de filtro digital recursivo de primeira ordem. 8

9 Descrição de domínio de frequência de sinais e sistemas Sequência senoidal discreta no tempo: Sequência {cos(ωn)} para ω=π/12. Onde ω é a frequência da sequência, dada em radianos. 9

10 Descrição de domínio de frequência de sinais e sistemas Expansão em série de Fourier de uma forma de onda periódica: soma de sequências senoidais de frequências diferentes. Espectro de magnitude de uma sequência discreta no tempo. Indica a magnitude dos vários componentes senoidais. Exemplo de uma aplicação de um filtro digital: separar sinais baseado no seu conteúdo espectral. 10

11 Exemplos 11

12 Recuperação de sequências usando a filtragem FILTRO PASSA BAIXA (elimina as componentes de alta frequência) Resposta em magnitude do filtro. 12

13 Recuperação de sequências usando a filtragem FILTRO PASSA ALTA (elimina as componentes de baixa frequência) Resposta em magnitude do filtro. 13

14 Recuperação de sequências usando a filtragem Há dois outros filtros importantes: FILTRO PASSA BANDA (passa os componentes da entrada que estejam dentro de uma banda desejada de frequências); FILTRO REJEITA BANDA (elimina os componentes da entrada que estejam em uma banda específica de frequências). 14

15 Aplicações típicas de filtros digitais O campo de estudo de filtros digitais fornece um entendimento fundamental de processamento de dados discretos no tempo, essencial para manipular dados de computadores digitais e para aplicar os procedimentos de processamento de sinais, tais como: robótica, sensores inteligentes e processamento de sinais sísmicos. Também são importantes para modelar sistemas lineares, tais como modelos de produção de voz e canais de transmissão. 15

16 Processamento de sinais Sinal de voz e seus espectros: Sequência Espectro: A sequência {x1(n)} consiste em 512 amostras do som de voz \a\ (como em father) 16

17 Processamento de sinais Sinal de voz e seus espectros: Sequência Espectro: A sequência {x2(n)} consiste em 512 amostras do som de voz \e\ (como em see) Os espectros exibem picos que podem ser usados para diferenciar os sons. 17

18 Processamento de sinais Estes dois sinais periódicos são mais fáceis de serem diferenciados pelo espectro de magnitude de um período. Os dois espectros anteriores consistem de picos que correspondem às ressonâncias da forma do trato vocal que foi usado para gerar o som. Em sistemas de reconhecimento de voz, vários sons de voz podem ser diferenciados com base nas localizações em frequências desses picos. 18

19 Processamento de imagens A varredura de uma linha de uma imagem produz uma função de intensidade de posição através do plano imagem, descrito por i(p). Onde Ds é o intervalo de distância da amostragem. 19

20 Simulação no computador de um sistema físico A simulação é empregada para determinar o desempenho e as sensibilidades do sistema analógico antes de ser construído realmente. Exemplo: quando um sistema físico, tal como um robô é muito complicado ou de alto custo para ser construído. Vantagens: - Obtenção de dados sem desenvolver experimentos caros e demorados; - Forma flexível de variar a entrada e os parâmetros do sistema e de observar o efeito dessas alterações. - Qualquer sinal no modelo pode ser observado. 20

21 Exemplo: Simulação no computador de um sistema físico Simulação de um braço do robô aplicando uma sequência de excitação {e(n)} e calculando a sequência de resposta {r(n)}. 21

22 Simulação de um sistema físico Sinal de excitação {e(n}} Filtro digital Resposta do sinal {r(n)} onde {e(n)} representa valores instantâneos de algum parâmetro físico, tal com: tensão, torque, temperatura, etc. 22

23 Substituição de filtros analógicos por filtros digitais Filtros analógicos: compostos de resistores, capacitores e indutores. Superar algumas limitações e desvantagens dos componentes analógicos, tais como: Flutuação dos valores dos componentes com a temperatura e idade. Valor e tamanho elevados dos indutores e capacitores (para sinais com componentes de frequência muito baixa, como em aplicações geofísicas e biomédicas). Dificuldade em se trocar os valores dos componentes. 23

24 Filtro analógico Sinal de Entrada Filtro Passa Baixa RC Sinal de Saída Como substituir este filtro analógico por um filtro digital equivalente? 24

25 Conversor Analógico-Digital ADC: Conversor Digital-Analógico (DAC): 25

26 Substituição de filtros analógicos por filtros digitais Conversor analógico-digital ADC: Produz uma sequência de entrada discreta no tempo {x(n)} a partir de x(t). Esta sequência de entrada é então processada com um filtro digital, implementado com um hardware específico ou como um programa de computador para produzir a sequência de saída {y(n)}. Conversor digital-analógico (DAC): usado para reconstruir o sinal contínuo no tempo. 26

27 Tópicos especiais em filtros digitais e em processamento de sinais Análise Síntese Transformada Rápida de Fourier (FFT) Efeitos de precisão finita Filtros inversos 27

28 Análise Algoritmos de processamento de sinais digitais: Analisados por suas características no domínio do tempo e da frequência: permite entender suas capacidades e limitações. O desempenho no domínio do tempo de filtros digitais: descrito em termos da sequência de resposta da amostra unitária do filtro (unitsample response sequence) denotada por {h(n)}. Esta sequência é análoga à resposta impulso dos filtros analógicos. Operação de convolução: permite determinar a sequência de saída {y(n)} a partir da sequência de entrada {x(n)} e da resposta da amostra unitária {h(n)}. {x(n)} e {h(n)} Operação de Convolução {y(n)} A sequência {h(n)} também permite determinar se um filtro é estável. Equações de diferença linear: descrição alternativa no domínio do tempo. 28

29 Análise Domínio de Fourier: Expressa as especificações do filtro no domínio da frequência; Define as propriedades no domínio da frequência de sinais e filtros. A Transformada de Fourier da resposta da amostra unitária: função de transferência do filtro. Amostra unitária Transformada de Fourier Função de transferência A Transformada de Fourier descreve o ganho do filtro em diferentes frequências. 29

30 Análise Transformada de Fourier de uma sequência de dados: Sequência de dados Espectro Transformada de Fourier Define o conteúdo em frequência do sinal. A Transformada Discreta de Fourier (DFT) permite encontrar a transformada de Fourier. 30

31 Análise Transformada Z Técnica alternativa e mais geral do que a transformada de Fourier; A função de sistema: definida como a transformada z da resposta da amostra unitária {h(n)} e é usada para análise e síntese de filtros digitais. Amostra unitária Transformada z Função de sistema Domínio de interesse: plano z complexo - Representação de polos e zeros. Fornece uma representação útil da resposta em frequência do filtro. 31

32 Síntese Envolve a combinação de elementos do filtro digital e a especificação de valores dos coeficientes do multiplicador para satisfazer uma especificação desejada. A transformação que deve ser desempenhada pelo filtro digital é especificada em termos de resposta em magnitude Curvas de resposta em magnitude para um filtro passa baixa digital ideal 32

33 Síntese Resposta de filtros passa baixa real: A especificação desejada permite desvios muito pequenos da resposta ideal: ε no passa-banda (passband), δ no stopband, e um intervalo de frequência não zero para a transição entre o passband e o stopband. Um projeto de filtro digital correto produz uma resposta em magnitude que obedece essas regiões permitidas. 33

34 Síntese Tipos de filtros digitais: IIR (Infinite Impulse Response): Filtros de resposta impulso infinita. FIR (Finite Impulse Response): Filtros de resposta impulso finita. 34

35 Filtros digitais IIR Geralmente projetados baseados nos procedimentos de projeto de filtros analógicos. A resposta impulso infinita é uma propriedade que se aplica a muitos sistemas lineares invariantes no tempo. Três passos para projetar um filtro IIR: 1-projeta-se um filtro passa-baixa analógico para atender a especificação de passabanda desejada. Exemplos: Butterworth, Chebyshev e elíptico. 2-Faz-se uma transformação analógico-digital para obter um filtro passa-baixa digital. Exemplo: através de métodos de invariância a impulso e método de transformada z bilinear. 3- Emprega-se uma transformação em frequência a fim de se obter um filtro passaalta, passa-banda ou rejeita banda. 35

36 Filtros digitais FIR Não levam em consideração os filtros analógicos. PRIMEIRA ESTRUTURA: Implementação da resposta desejada de amostra unitária do filtro em uma estrutura conhecida como tapped-delay line. A resposta desejada geralmente tem um número infinito de elementos não-zero. Logo, uma janela de duração finita deve ser aplicada para eliminar tudo menos um número finito desses elementos. Os efeitos desse truncamento serão vistos na função de transferência do filtro resultante. 36

37 Filtros digitais FIR SEGUNDA ESTRUTURA: Estrutura de amostragem em frequência, a qual emprega um filtro de pente filtro comb - seguida por um banco de ressonadores e implementa o filtro especificando a resposta em magnitude em um número finito de pontos de frequência. filtro comb: Em processamento de sinais, um filtro comb opera adicionando uma parte levemente defasada do sinal a si mesmo, gerando interferências construtivas e destrutivas, de modo similar à modulação em anel. Ressonador: dispositivo ou sistema que exibe comportamento ressonante - oscila naturalmente para algumas frequências, denominadas de frequências de ressonância. Uma comparação entre os dois procedimentos de projeto é feita para determinar sob quais condições um é mais eficiente do que o outro. 37

38 Transformada Rápida de Fourier FFT (Fast Fourier Transform) Algoritmo para processamento de dados e análise espectral. Método eficiente para o cálculo da transformada de Fourier discreta (DFT) que permite a operação de filtragem a ser feita no domínio da frequência. 38

39 Efeitos de precisão finita Precisão finita: representação de sequências e valores de coeficientes no computador. Para se processar dados no computador, os valores dos dados devem ser primeiro quantizados a um número finito de bits, geralmente igual ou menor ao tamanho de palavra no computador. Quais são os efeitos? Algumas fontes de erro: Quantização dos coeficientes usados nos multiplicadores de filtro digital. Uma alteração leve nesses valores de coeficientes modifica a resposta em frequência do filtro. Adição ou multiplicação de vários números no computador e o resultado excede os limites do computador. Os resultados devem ser escalados e truncados - introduzindo outra fonte de erro que pode produzir oscilações indesejadas na saída de alguns filtros IIR. Serão considerados métodos analíticos de caracterização desses problemas comuns de quantização. 39

40 Filtros inversos Integram muitos conceitos de processamento de sinais digitais para resolver o problema de remoção de distorções dos sinais observados que são introduzidos por instrumentos de medida ou por meios de transmissão física. 40

41 Referência Introduction to Digital Signal Processing Author: Roman Kuc. BS Publication,

42 Obrigada e até a próxima aula. 42