Filtros Digitais. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello

Transcrição

1 Filtros Digitais Carlos Alexandre Mello

2 Filtros Digitais Manipulação de Sinais Implementados em Hardware ou Software Componentes: Somadores, multiplicadores e elementos de retardo 2

3 Filtros Digitais Componentes Somador Multiplicador (ganho) Multiplicador Retardo 3

4 Filtros Digitais Exemplo Suponha um filtro com equação de diferenças definida por: y[n] = a 1.y[n 1] + a 2.y[n 2] + b.x[n] A representação em diagrama de blocos é dada por: 4

5 Filtros Digitais Função de Sistema ou Função de Transferência Relação entre a entrada e a saída de um sistema Para uma equação de diferenças: A função de sistema é: 1 5

6 Filtros Digitais Podemos re-escrever a equação de diferenças na forma: que pode ser representada em diagrama de blocos das seguintes formas... 6

7 Filtros Digitais Forma Direta I 7

8 Filtros Digitais Forma Direta II (menos retardos) 8

9 Filtros Digitais Classificação Os filtros são classificados quanto à sua resposta ao impulso em: Filtros FIR Finite Impulse Response Filtros IIR Infinite Impulse Response 9

10 Filtros FIR

11 Filtros FIR A estrutura de um filtro FIR é bastante regular e, uma vez definidos os coeficientes do filtro, ele pode ser completamente especificado Também chamado de feed-forward 11

12 Filtros FIR De uma maneira geral, filtros FIR podem ser escritos da forma: Com função de transferência: 12

13 Filtros FIR Assim, a resposta ao impulso h(n) é: e a representação em equação de diferenças é: 13

14 Filtros FIR Exemplo: Se a entrada é: x[n] = [1, 0], considerando o sistema causal y[0] = Da mesma forma: y[1] =

15 Filtros FIR Logo, no diagrama anterior, temos: y[0] = 0,5.x[0] + 0,5.x[-1] y[1] = 0,5.x[1] + 0,5.x[0] Ou, de forma geral: y[n] = 0,5.x[n] + 0,5.x[n - 1] 15

16 Filtros FIR Exemplo: y[n] = 0,2.x[n] + 0,6.x[n 1] 16

17 Filtros FIR Por simplicidade, podemos representar o filtro apenas com seus coeficientes: Esse diagrama representa o filtro de equação: y[n] = 1.x[n] - 1.x[n - 1] 17

18 Filtros FIR Tipos de Filtros FIR: Passa-Baixa e Passa-Alta Filtros ideais Na prática, esses filtros apresentam características diferentes como ondulações e transições mais suaves... 18

19 Filtros FIR Tipos de Filtros FIR: Passa-Baixa e Passa-Alta 19

20 Filtros FIR Tipos de Filtros FIR: Passa-Baixa e Passa-Alta ripples transição suave ripples 20

21 Filtros FIR Tipos de Filtros FIR: Notch e Passa-Faixa 21

22 Filtros FIR Para ver como é o comportamento de um filtro, devemos ver sua resposta em frequência através da Transformada de Fourier de seus coeficientes 22

23 Filtros FIR Exemplo: >> B2 = fir1(100, 0.3, low'); >> x = zeros (1, 1000); >> x(50) = 1; % x é um impulso >> Y2 = fft(conv(x, B2)); % apresentamos metade apenas pois % o resto é simétrico >> half = 1:ceil(length(Y2)/2); >> plot(half/max(half), abs(y2(half)), 'b'); 23

24 Filtros FIR Exemplo: 24

25 Filtros FIR Exemplo: >> B2 = fir1(100, 0.3, high'); >> x = zeros (1, 1000); >> x(50) = 1; % x é um impulso >> Y2 = fft(conv(x, B2)); % apresentamos metade apenas pois % o resto é simétrico >> half = 1:ceil(length(Y2)/2); >> plot(half/max(half), abs(y2(half)), 'b'); 25

26 Filtros FIR Exemplo: 26

27 Filtros FIR Exemplo: >> fdatool 27

28 Filtros FIR 28

29 Filtros FIR 29

30 Filtros FIR Fase linear 30

31 Filtros FIR 31

32 Filtros FIR 32

33 Filtros FIR 33

34 Filtros FIR 34

35 Filtros FIR /* * Filter Coefficients (C Source) generated by the Filter Design and Analysis Tool * Generated by MATLAB(R) 7.7 and the Signal Processing Toolbox * Generated on: 02-Apr :47:53 */ /* * Discrete-Time FIR Filter (real) * * Filter Structure : Direct-Form FIR * Filter Length : 51 * Stable : Yes * Linear Phase : Yes (Type 1) */ /* General type conversion for MATLAB generated C-code */ #include "tmwtypes.h" /* * Expected path to tmwtypes.h * D:\MATLABR2008b\extern\include\tmwtypes.h */ const int BL = 51; const real64_t B[51] = { , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , }; 35

36 Filtros FIR Código VHDL 36

37 Filtros FIR Exemplo: >> [som, Fs] = wavread('a_casa.wav'); >> Fs Fs = >> soundsc(som, Fs) >> h = [1-1]; % h = 1 z -1 >> y = filter(h, 1, som); >> soundsc(y, Fs) 37

38 Filtros FIR Magnitude Fase 38

39 Filtros FIR Exemplo: >> [som, Fs] = wavread('a_casa.wav'); >> Fs Fs = >> soundsc(som, Fs) >> h = [ ]; % h = z -1 >> y = filter(h, 1, som); >> soundsc(y, Fs) 39

40 Filtros FIR Magnitude Fase 40

41 Filtros FIR Sinal original 41

42 Filtros FIR Filtro de fase linear 42

43 Filtros FIR Filtro de fase não-linear 43

44 Filtros FIR Fase Linear Em diversas aplicações como processamento de voz ou som, filtros digitais são usados para implementar operações seletivas de frequência Assim, especificações são necessárias no domínio da frequência em termos de magnitude desejada e resposta em fase do filtro Em geral, uma resposta em fase linear na banda de passagem é desejada 44

45 Filtros FIR Fase Linear 45

46 Filtros FIR Fase Linear Considere um sistema LTI cuja resposta em frequência sobre um período é: onde é um número real Tal sistema tem magnitude e fase linear: 46

47 Filtros FIR Fase Linear A transformada de Fourier inversa de H id (e jw ) é a resposta ao impulso 47

48 Filtros FIR Fase Linear 48

49 Filtros FIR Fase Linear A saída desse sistema para uma entrada qualquer x[n] é: 49

50 Filtros FIR Fase Linear Se = n d, com n d inteiro, pela propriedade do deslocamento do tempo da transformada de Fourier e lembrando que { [n]} = 1 então: e Ou seja, a entrada deslocada apenas... 50

51 Filtros FIR Fase Linear De forma geral, um sistema será dito de fase linear generalizada se sua resposta em frequência puder ser expressa na forma: onde e são constantes e A(e jw ) é uma função real em w 51

52 Filtros FIR Fase Linear Por exemplo, para o filtro de fase linear: temos = 0 e resposta ao impulso: Se c =, então temos a equação anterior. 52

53 Filtros FIR Fase Linear Quando é um inteiro, por exemplo n d : Nesse caso, temos um sistema de fase zero 53

54 Filtros FIR Fase Linear Se 2 é um inteiro (lembrando que = n d ), o que implica que é um inteiro ou um inteiro mais 0,5, a resposta ao impulso tem simetria sobre, i.e.: h[2 - n] = h[n] 54

55 Filtros FIR Fase Linear Um sistema cuja resposta em frequência tem a forma: é chamado de sistema de fase linear generalizada já que a fase de tal sistema consiste de termos constantes adicionados à função linear - 55

56 Filtros FIR Fase Linear Ou seja, a fase linear é de forma mais geral: onde e são constantes reais 56

57 Filtros FIR Fase Linear Como: 57

58 Filtros FIR Fase Linear Então: 58

59 Filtros FIR Fase Linear Logo: 59

60 Filtros FIR Fase Linear Com isso: 60

61 Filtros FIR Fase Linear 61

62 Filtros FIR Fase Linear Resumindo, se = 0 ou, 2 = M inteiro, podemos ter: h[2 - n] = h[n] Se = /2 ou 3 /2, 2 = M inteiro, podemos ter h[2 - n] = -h[n] Essas duas condições garantem um sistema de fase linear generalizada 62

63 Filtros FIR Fase Linear Causalidade implica que: h[n] = 0, n < 0 e n > M, M inteiro i.e., sistemas FIR causais têm fase linear generalizada se eles têm resposta ao impulso de comprimento (M + 1) e satisfazem: ou h[2 - n] = h[n] h[2 - n] = -h[n] 63

64 Filtros FIR Fase Linear Dependendo da sua resposta ao impulso, os filtros FIR podem ser divididos em quatro classes: Sistemas FIR com fase linear do Tipo I Sistemas FIR com fase linear do Tipo II Sistemas FIR com fase linear do Tipo III Sistemas FIR com fase linear do Tipo IV 64

65 Sistemas FIR com fase linear do Tipo I Um sistema do tipo I tem resposta ao impulso simétrica h[n] = h[m n], com M um inteiro par O atraso M/2 é um inteiro 0 n M A resposta em frequência é: 65

66 Sistemas FIR com fase linear do Tipo II Um sistema do tipo II tem resposta ao impulso simétrica h[n] = h[m n], 0 n M com M um inteiro ímpar 66

67 Sistemas FIR com fase linear do Tipo III Um sistema do tipo III tem resposta ao impulso anti-simétrica h[n] = -h[m n], 0 n M com M um inteiro par 67

68 Sistemas FIR com fase linear do Tipo IV Um sistema do tipo IV tem resposta ao impulso anti-simétrica h[n] = -h[m n], 0 n M com M um inteiro ímpar 68

69 Sistemas FIR com fase linear Exemplos Tipo I, M par h[n] = 1, 0 n 4, e 0, caso contrário Magnitude Fase 69

70 Sistemas FIR com fase linear Exemplos Tipo II, M ímpar h[n] = 1, 0 n 5, e 0, caso contrário Magnitude Fase 70

71 Sistemas FIR com fase linear Exemplos Tipo III, M par h[n] = [n] - [n 2] Magnitude Fase 71

72 Sistemas FIR com fase linear Exemplos Tipo IV, M ímpar h[n] = [n] - [n 1] Magnitude Fase 72

73 Filtros IIR

74 Filtros IIR Permitem retro-alimentação (feedback) y[n] = 0.6*x[n] + 0.2*x[n-1] + 0.4*y[n 1] Resposta a um Impulso... Diminui, nunca acaba, mas tende a zero... 74

75 Filtros IIR y[n] = 0.6*x[n] + 0.2*x[n-1] + y[n 1] Resposta a um Impulso... A saída nunca zera... 75

76 Filtros IIR y[n] = 0.6*x[n] + 0.2*x[n-1] + 1.1*y[n 1] Resposta a um Impulso... A saída cresce mesmo com entrada nula

77 Filtros IIR De uma maneira geral, os filtros IIR são expressos como: Função de Transferência 77

78 Forma Direta I Filtros IIR 78

79 Forma Direta II Filtros IIR 79

80 Filtros IIR Exemplo 1: Forma Direta I 80

81 Filtros IIR Exemplo 1: Forma Direta II 81

82 Filtros IIR Exemplo 2: Conexão em Cascata Como os pólos e zeros são reais, uma estrutura em cascata tem seções com coeficientes reais. Duas estruturas em cascata equivalentes podem ser criadas para essa função: 82

83 Filtros IIR Exemplo 2: Conexão em Cascata 83

84 Filtros IIR Exemplo 2: Conexão em Cascata 84

85 Filtros IIR Exemplo 3: Conexão em Paralelo Seção de ordem 2 85

86 Filtros IIR Exemplo 3: Conexão em Paralelo 86

87 Bibliografia Complementar Vinay K. Ingle, John G. Proakis, Digital Signal Processing, Thomson Learning, Michael Weeks, Digital Signal Processing Using MatLab and Wavelets, Infinity Science Press, Alan V. Oppenheim, Ronald Schafer, Discrete Time Signal Processing, Prentice Hall,