Capítulo 6 Filtragem, Amostragem e Reconstrução

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1 Capítulo 6 Filtragem, Amostragem e Reconstrução 6. Filtragem 6.2 Amostragem e reconstrução de sinais

2 Capítulo 6 Filtragem, Amostragem e Reconstrução 6. Filtragem 6.2 Amostragem e reconstrução de sinais 2

3 6. Filtragem Nos SLIs se a entrada é descrita através de uma soma de sinusóides, então a saída é uma soma de sinusóides da mesma frequência Cada componente sinusoidal é tipicamente escalada de forma diferente e sujeita a uma alteração de fase, mas a saída contêm apenas as componentes sinusoidais que estão presentes na entrada rata-se de uma operação de filtragem O SLI pode filtrar componentes de frequência da entrada, pode ampliar outros componentes, mas não pode introduzir componentes que não estejam na entrada 3

4 6. Filtragem 4

5 6. Filtragem Sistemas FIR Finite Impulse Response hn0 se n<0 e hn0 se n L y n + m x n m h m L m 0 x n m h m Fácil de realizar computacionalmente Sistemas IIR Infinite Impulse Response Estamos a falar de sistemas discretos Nos sistemas contínuos raramente encontramos respostas impulsiva finitas Difíceis de realizar computacionalmente 5

6 6 6. Filtragem Exemplo Consideremos um sistema de média móvel de L pontos rata-se de um sistema FIR com resposta impulsiva A resposta em frequência é dada por + j L j L m m j m m j e e L e L m e h H 0 < outros L n se L n h 0 0 / 0 L m m n x L n y

7 Desenho de filtros 6. Filtragem 7

8 6. Filtragem Ganho em decibel db H G 20log0 8

9 9 6. Filtragem Filtros IIR am e bm são os coeficientes do filtro, normalmente valores reais Se os coeficientes am são nulos, então trata-se de um filtro FIR com resposta impulsiva hnbm + 0, M m L m m n y m a m n x m b n y Inteiros n

10 Exemplo 6. Filtragem Considere um SLI causal definido pela equação às diferenças y n x n + 0.9y n Podemos determinar a resposta impulsiva h n 0.9 u n n 0

11 6. Filtragem O desenho de filtros IIR passa pela escolha dos coeficientes am e bm Métodos para a criação de filtros Butterworth Chebyshev Chebyshev 2 Elliptic...

12 6. Filtragem Realização de filtros Desenho de filtros: escolha dos parâmetros apropriados Realização de filtros: realização em hardware ou software Matlab JAVA DSP Circuito electrónico... 2

13 Grafo de fluxos 6. Filtragem 3

14 Capítulo 6 Filtragem, Amostragem e Reconstrução 6. Filtragem 6.2 Amostragem e reconstrução de sinais 4

15 6.2 Amostragem e reconstrução de sinais O mundo físico dá-no sinais que são contínuos no tempo Um sinal discreto pode ser construído pela amostragem de um sinal contínuo Um sinal contínuo pode resultar da reconstrução, através de interpolação, de um sinal discreto 5

16 6.2 Amostragem e reconstrução de sinais Amostragem Um sistema que realiza uma operação de amostragem baseia-se nos seguintes domínios Amostragem :[Reais Complexos] [Inteiros Complexos] n Inteiros, ynxn onde é o período de amostragem A frequência de amostragem f s / dá-nos o número de amostras por segundo ou Hertz eorema da amostragem ou de Nyquist-Shannon A frequência de amostragem deve ser o dobro da frequência máxima do sinal Problemas resultantes do Aliasing 6

17 6.2 Amostragem e reconstrução de sinais Exemplo Amostragem de um sinal sinusoidal Seja x:reais Reais o sinal sinusoidal t Reais, xtcos2πft Então n Inteiros, ynxncos2πfn t 7

18 6.2 Amostragem e reconstrução de sinais Operação de Amostragem xt x wt Conversão para sequência ynxn pt 0 8

19 9 6.2 Amostragem e reconstrução de sinais + k k P π δ π Ω Ω Ω d P X P X W 2 2 π π Ω Ω Ω Ω Ω Ω k k k k X d k X d k X W π π δ π δ π π W Y + k k X Y π 2

20 6.2 Amostragem e reconstrução de sinais Aliasing X X π/ π/ π/ π/ Y / Y / 3π 2π π π 2π 3π 3π 2π π π 2π 3π Y + k X 2πk 20

21 6.2 Amostragem e reconstrução de sinais Domínio discreto Operações genéricas sobre o sinal discreto Filtragem no domínio discreto xn hn Hjw yn 2

22 6.2 Amostragem e reconstrução de sinais Reconstrução Considere um sistema que constrói um sinal contínuo xt a partir de um sinal discreto yn DiscretoParaContínuo :[Inteiros Complexos] [Reais Complexos] 22

23 6.2 Amostragem e reconstrução de sinais Esta conversão pode ser realizada de várias maneiras: Zero-order hold Interpolação linear ou first-order hold Interpolação ideal O primeiro sistema realiza a seguinte operação + k w t y k δ t k O segundo sistema é um SLI cuja resposta impulsiva determina o método de interpolação 23

24 Amostragem e reconstrução de sinais < outros t t h b 0 0 < < < + outros t t t t t h c 0 0 / 0 / t t t h d / / sin π π

25 6.2 Amostragem e reconstrução de sinais Interpolação ideal Resposta impulsiva πt / sin h d t πt / Não causal, infinita Resposta em frequência H d 0 se π / outros Passa baixo, eliminando todas as frequências acima de metade da frequência de amostragem 25

26 6.2 Amostragem e reconstrução de sinais 26

27 6.2 Amostragem e reconstrução de sinais Exercício Considere o sistema seguinte xt Conversão para discreto xn yn Conversão yt para hn contínuo Pretende-se implementar um filtro que tenha a resposta em frequência seguinte, mas no domínio discreto H 2πxKHz Represente a resposta em frequência da saída do sistema quando na entrada temos xt a cos 0 t + b cos t onde 0 < 0 < 2π.KHz < < 2π.2KHz 27

28 6.2 Amostragem e reconstrução de sinais Exercício Na figura seguinte mostra-se um sistema para a filtragem de um sinal contínuo usando um filtro discreto. xt x x p t Conversão para discreto xn yn Conversão y p t Filtro para Hjw H contínuo yt p t + n δ t n X H πx0 4 π/4 π/4 Desenhe as ransformadas de Fourier dos vários sinais. 28