Processamento de Sinal e Imagem Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Transcrição

1 António M. Gonçalves Pinheiro Departamento de Física Covilhã - Portugal [email protected]

2 Sumário 1. (a) Filtros IIR e FIR (b) Dimensionamento de Filtros FIR (c) Janelas para dimensionamento de filtros FIR (d) Dimensionamento de Filtros IIR (e) Transformada Bilinear

3 Exemplo de Típico de Filtro Analógico implementado com filtro Digital x(t) ADC x[n] Filtro Digital y[n] DAC Filtro de Reconstrução y(t) Filtro Analógico Filtro Passa-Baixo Nota: Na implementação de um filtro digital os dados de entrada e os cálculos internos são todos quantizados em precisão finita, resultando em erros de arredondamento que degradam o funcionamento previsto teoricamente.

4 Filtros Analógicos Caracterizados por respostas impulsivas de duração infinita Equação Diferencial de Coeficientes constantes H a (s) = Y a(s) X a (s) = M d ks k N c ks k N c k d k y(t) dt k = M d k d k x(t) dt k Equação às Diferenças de Coeficientes constantes H d (z) = Y d(z) X d (z) = M b kz k N a kz k N a k y[n k] = M b k x[n k] FIR - Finite Impulse Response Caracterizados por respostas impulsivas de duração finita M a k = 0, com k 1 y[n] = b k x[n k] IIR - Infinite Impulse Response Caracterizados por respostas impulsivas de duração infinita

5 - Propriedades dos Filtros FIR FIR - Finite Impulse Response 1. Têm memória finita, logo qualquer transitório inicial é de duração limitada. 2. São estáveis BIBO, ou seja, no sentido em que uma entada limitada origina uma saída limitada 3. Permitem qualquer resposta em Amplitude desejável, com uma resposta em Fase linear (ou seja, sem distorção de fase)

6 Desenho de a partir de Filtros Analógicos Este procedimento tem as seguintes vantagens: 1. As técnicas de projecto de Filtros analógicos estão bastante desenvolvidas. 2. Alguns métodos de projecto resultam em filtros com fórmulas relativamente simples, originando filtros com desenho simples. 3. Em muitas aplicações existe vantagem em utilizar um Filtro digital que permita simular (em computador) o funcionamento de filtros analógicos

7 Filtros FIR FIR - Finite Impulse Response São filtros digitais de resposta finita finita. Considerando um filtro genérico descrito pela equação as diferenças: N a k y[n k] = resulta no filtro FIR de ordem M + 1: M b k x[n k] a k = 0, com k 1 M y[n] = b k x[n k] em que se considera a 0 = 1 para normalização

8 Filtros FIR Nota: Considerando de forma geral o somatório de convolução E sendo Então h[k] = b k em que M y[n] = h[k]x[n k] M y[n] = b k x[n k] h[n] = M b k δ[n k]

9 Filtros FIR Pode-se provar que um filtro FIR de ordem N tem fase linear se respeitar: h[n] = h[n 1 n] Nesse caso a fase do filtro será dada por: N par h[n] φ H (e jω ) = Ω N 1 2 h[n] N ímpar N-1 n N-1 n N-1 2 N-1 2

10 Filtros FIR Desenho de Filtros FIR a partir de Filtros requerido Truncar a resposta impulsiva do filtro requerido h R [n] multiplicando por uma janela w[n]: h F IR [n] = h R [n] w[n] A janela rectangular é a mais intuitiva, mas apresenta desvantagens devido ao fenómeno de Gibbs: { 1, 0 n N 1 w[n] = 0, c.c.

11 Filtros FIR Janelas de truncatura w[n] Hamming Hanning Bartlett Blackman w[n] = cos w[n] = 1 2 w[n] = w[n] = cos ( ) 2πn, 0 n N 1 N 1 ( ( )) 2πn 1 cos, 0 n N 1 N 1 { 2n/(N 1), 0 n (N 1)/2 2 2n/(N 1), (N 1)/2 n N 1 ( ) ( ) 2πn 4πn cos, 0 n N 1 N 1 N 1

12 Filtros FIR Janelas de truncatura w[n] 1 Rectangular Hamming Hanning Blackman Bartlett 0

13 Filtros FIR b=fir1(m,wc) - dimensiona filtro FIR b - vector com coeficientes do filtro M - ordem do filtro FIR wc - frequência de corte Comando do Matlab Por defeito usa a janela de Hamming. No entanto podem-se usar outras janelas: b=fir1(m,wc,boxcar(m+1)) - usa janela rectangular b=fir1(m,wc,hamming(m+1)) - usa janela de hamming (o mesmo que por defeito)

14 Projecto de Filtros IIR 1. Invariância Impulsiva Consiste em amostrar a respota impulsiva do filtro analógico. 2. Desenho com base na Solução Numérica da Equação diferencial do filtro Analógico 3. Transformada Bilinear Solução numérica alternativa à aproximação das derivadas por uma equação às diferenças

15 Projecto de Filtro IIR - Invariância Temporal Amostragem da resposta impulsiva do Filtro Analógico a digitalizar: As transformadas neste caso levam: h[n] = h a (nt a ) H(z) Z=e sta = 1 T a + k= ( H a s + j 2π ) k T a Polos mapeados com: Re{s} 0 e Im{s} π/t a são mapeados no interior do círculo unitário, z 1 Im{s} π/ta 1 Im{z} Re{s} π/ta 1 Re{z}

16 Projecto de Filtro IIR - Invariância Temporal Resposta em frequência do filtro digital e do filtro analógico relacionam-se por: H(e jω ) = 1 + ( H a jω + j 2π ) k T a T a k= Considerando o teorema de amostragem: Se H a (jω) = 0 para ω π/t a, então H ( e jω) = 1 T a H a (j(ω/t )), Ω π H(jω/Τa) H(e jω) 0 ω π 0 π Ω

17 Projecto de Filtro IIR - Desenho com base na Solução Numérica da Equação diferencial do filtro Analógico Sendo y[n] = y a (nt a ) pode-se definir: primeira derivada como: dy a dt 1 {y[n]} = y[n] y[n 1] T a k-esima derivada como: dk y a dt k k {y[n]} = 1 { k 1 {y[n]} } Isto origina a seguinte transformada: s = 1 z 1 1 z = T a 1 st a Nota: Este procedimento é altamente insatisfatório para filtros que não sejam filtros passa-baixo. Mapamento Im{s} a Re{s} 1 Im{z} 1 Re{z}

18 Projecto de Filtro IIR - Transformada Bilinear Resolução numérica alternativa - Integra-se a equação diferencial e a aproximação numérica é calculada para o integral Resulta em: s = 2 1 z 1 z = 1 + (T a/2)s T a 1 + z 1 1 (T a /2)s Em termos de frequência discreta (Ω) e contínua (ω): ( ) ωta Ω = 2 arctan 2 π Mapamento Im{s} a 1 Im{z} 0 Re{s} 1 Re{z} -π 0

19 Projecto de Filtro IIR - Transformada Bilinear Tem as seguintes propriedades que a fazem ser a preferida: Origina Estáveis a partir de Filtros Contínuos Estáveis. Mapeia o eixo imaginário do plano s no círculo unitário do plano z (isto evita efeito de Aliasing ). Como desvantagem apresenta uma distorção no eixo da frequência.

20 Transformações de um filtro digital passa-baixo com frequências de corte θ p Tipo Filtro Frequência Transformação Fórmulas de Desenho Associado PASSA BAIXO PASSA ALTO PASSA BANDA REJEITA BANDA Ω p Ω p Ω 1, Ω 2 Ω 1, Ω 2 z 1 z 1 α α = sen ((θ p Ω p )/2) 1 αz 1 sen ((θ p + Ω p )/2) z 1 z 1 + α α = cos ((Ω p + θ p )/2) 1 + αz 1 cos ((Ω p θ p )/2) k+1 z 1 + k 1 k+1 k 1 k+1 z 2 2αk z 1 z 2 2αk z 1 z 2 2αk k+1 z k+1 z k 1+k 1 k 1+k z 2 2αk k+1 z α = cos ((Ω 2 + Ω 1 )/2) cos ((Ω 2 Ω 1 )/2) ( ) Ω2 Ω 1 k = cotg tg θ p 2 2 α = cos ((Ω 2 + Ω 1 )/2) cos ((Ω 2 Ω 1 )/2) ( ) Ω2 Ω 1 k = cotg tg θ p 2 2