A Transformada de Fourier e Suas Aplicações

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1 Ciclo de Seminários Técnicos A Transformada de Fourier e Suas Aplicações Joseana Macêdo Fechine Grupo PET Computação DSC/CEEI/UFCG

2 Agenda Motivação Transformada de Fourier: Breve Histórico Conceitos Básicos Aplicações Considerações Finais 2

3 Motivação Por que utilizar uma transformada? Alguns problemas são difíceis de solucionar diretamente. Pode ser mais fácil resolver o problema transformado e aplicar a transformada inversa na solução. Deve-se levar em consideração a dificuldade envolvida em aplicar a transformada ao problema original e em aplicar a transformada inversa na solução do problema transformado. 3

4 Motivação Por que utilizar uma transformada? A representação de um sinal no domínio do tempo (do espaço,...) está presente, naturalmente, no nosso dia a dia. Certas operações tornam-se muito mais simples e esclarecedoras se trabalharmos no domínio da freqüência, domínio este, conseguido a partir das Transformadas de Fourier (TF). 4

5 Histórico Século XVII: matemático e físico francês Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) demonstrou que qualquer forma de onda pode ser representada por uma somatória de senóides e cossenóides de diferentes frequências, amplitudes e fases. Transformada de Fourier: decompõe um sinal em suas componentes elementares seno e cosseno. Aplicação inicial: problemas da condução do calor (lei da condução térmica). 5

6 Conceitos Básicos Importante: Funções periódicas são representadas por séries de Fourier; Funções não-periódicas são representadas por transformadas de Fourier (espectro do sinal); Uma representação de f(x) é uma decomposição em componentes que também são funções; As componentes dessa decomposição são as funções trigonométricas sen(x) e cos(x). 6

7 Conceitos Básicos Aplicações da TF: Física Química Teoria dos números Análise combinatória Processamento de sinais Teoria das probabilidades Estatística Criptografia e outras áreas. 7

8 Conceitos Básicos Subáreas de aplicação da TF: Descrição Filtragem Segmentação Compressão Reconstrução Reconhecimento de padrões 8

9 Conceitos Básicos Como representar um sinal por uma Série de Fourier? 9

10 Conceitos Básicos Qualquer função f(x) pode, segundo Fourier, ser escrita na forma da soma de uma série de funções seno e cosseno da seguinte forma geral: f ( x) = a + 0 b + 1 a sen( x) + a 1 cos( x) + b 2 2 sen(2x) + a cos(2x) + b 3 3 sen(3x) +... cos(3x)

11 Conceitos Básicos Como isso é possível? + = 11

12 Conceitos Básicos Como isso é possível?? Decomposição da função f(x): f ( x) = 2sen( x) + 7sen(2x) + 5cos(3x) + 4 cos(5x) 12

13 Conceitos Básicos Exemplo: Onda Quadrada f(x) = 1/2 + (2/π) sen(x) + (2/(3π)) sen(3x) + (2/(5π)) sen(5x) + (2/(7π)) sen(7x)

14 Conceitos Básicos 14

15 Conceitos Básicos Como calcular a Transformada de Fourier de um sinal? 15

16 Conceitos Básicos Transformada de Fourier Unidimensional 16

17 Conceitos Básicos Transformada de Fourier Bidimensional 17

18 Conceitos Básicos O fato de utilizar um número infinito de amostras no domínio do tempo e, consequentemente, um número infinito de pontos no domínio da freqüência, representa um problema para implementação da TF na prática (computadores). Transformada Discreta de Fourier (DFT): utiliza um número finito de pontos no domínio do tempo e define uma representação discreta do sinal no domínio da frequência. Ferramentas Computacionais: Matlab, Mathematica, Math 18

19 Conceitos Básicos Transformada Discreta de Fourier Unidimensional 19

20 Conceitos Básicos Transformada Discreta de Fourier: Bidimensional 20

21 Conceitos Básicos Algoritmo importante para cálculo da DFT: FFT (Fast Fourier Transform) Computa a DFT quando o tamanho N da sequência é uma potência de 2. Complexidade: O(n log n) contra O(n 2 ) para o cálculo pela definição. 21

22 Conceitos Básicos Exemplo: FFT SpecMusEV e SoundForge 22

23 Conceitos Básicos τ /2 I [cos ω t] = lim cos ω t. e 0 0 τ τ /2 jωt τ τ ( ω ω ) τ τ ( ω + ω ) I ω = [cos 0t] lim{ Sa[ ] Sa[ ]} τ I [cos ω t] = π[ δ( ω ω ) + δ( ω+ ω )] Da mesma forma, podemos mostrar que: I [ senω t] = jπ[ δ ( ω + ω ) δ ( ω ω )]

24 Conceitos Básicos 24

25 Conceitos Básicos f ( t) ( δ / 2 < t < δ / 2) ( δ < t < T δ ) A = 0 / 2 / 2 1 Fn = T 1 = T δ / 2 δ / 2 T δ / 2 δ / 2 Ae f ( t) e jnω t 0 dt jnω tdt 0 = = A e jnω T 2A nω T 0 0 jnω t 0 δ /2 0 δ /2 ( jnω ) 0δ /2 jnω 0δ /2 e e 2 j 2A = sin( nω 0δ /2) nω T ( nω δ ) Aδ sin /2 0 = T nω 0δ / 2 25

26 Conceitos Básicos Transformada de Fourier: Função Impulso 26

27 Conceitos Básicos f t e jω t ( ) 0 F( ω ω ) 0 1 ω f ( t)cos ω0t = f ( t) e + f ( t) e 2 j t jω t f ( t)cos ω0t F( ω + ω0) + F( ω ω0) 2 [ ] 27

28 Conceitos Básicos h ( x) = f g = f ( u) g( x u) du F( ω) f ( x) H ( ω) = F( ω) G( ω) h( x) H ( ω) G( ω) g( x) 28

29 Aplicações Onde aplicar a Transformada de Fourier? 29

30 Aplicações Exemplos: Transformada Unidimensional Modulação de Sinal Processamento de Áudio e de Voz Filtragem Passa-baixa Filtragem Passa-faixa Filtragem Passa-alta Processamento de Música Determinação do tipo de instrumento (harmônicos) 30

31 Aplicações Sistemas de comunicação (Modulação): Multiplica-se um sinal f(t) por um sinal senoidal. Transladar o espectro de freqüência. F(w) 31

32 Aplicações Sinais de Áudio e de Voz: Baixas frequências: caráter grave Altas frequências: caráter agudo 32

33 Aplicações Filtragem (Domínio da Frequência) F G H = Passa baixa = Passa alta = Passa banda Filtragem no domínio original: convolução Filtragem no domínio da frequencia: transformada, seguida de um produto e de uma transformada inversa 33

34 Aplicações Espectro de sinal áudio Sinal áudio bell.wav Espectro de Frequência O sinal foi amostrado com a frequência de amostragem de com 8 bits de resolução. A densidade espectral da potência mostra que o sinal tem componentes de frequência na gama Hz. 34

35 Aplicações Ganho do Filtro e Saída Características de Ganho de Frequência do Filtro Passa Baixo Espectro do sinal filtrado Componentes de alta frequência: reduzidos significativamente. 35

36 Aplicações Ganho do Filtro e Saída Características de Ganho de Frequência do Filtro Passa Banda Espectro do sinal filtrado 36

37 Aplicações Ganho do Filtro e Saída Características de de Ganho de de Frequência do do filtro Passa Alto Alta Espectro do sinal de saída 37

38 Aplicações Comparação dos sons Som original Saída do de Filtro Passa-Baixa Baixo Saída do de Filtro Passa-Faixa Banda Saida Saída de do Filtro Passa-Alta Alto 38

39 Aplicações Noise spike 39

40 Aplicações Ganho de Resposta do Filtro Espectro do sinal filtrado 40

41 Aplicações Ganho de Resposta do Filtro Espectro do sinal de saída 41

42 Aplicações Transformada de Fourier Unidimensional: Música Análise um som musical: determinar quais as notas musicais (frequências) que estão sendo executadas em um certo trecho. Afinador de instrumento. Exemplo: FFT MusEV 42

43 Aplicações Transformada de Fourier Unidimensional: Sinais Biológicos O ECG é realizado numa largura de Banda menor: interesse principal é medir o ritmo, desprezando-se pormenores morfológicos 43

44 Aplicações Transformada de Fourier Bidimensional: Imagem O coeficiente de F(0,0): denota a intensidade média da imagem. Coeficientes de baixos índices (freqüências): componentes da imagem que variam pouco. Coeficientes de alta freqüência: associados a variações bruscas de intensidade. 44

45 Aplicações Transformada de Fourier: Comparação do espectro de Fourier de imagens de impressão digital sem ruído (a) (b) e com ruído (c) (d). 45

46 Aplicações Transformada de Fourier: 46

47 Aplicações Transformada de Fourier Bidimensional: Processamento de Imagem Filtragem Passa-baixa Filtragem Passa-faixa Filtragem Passa-alta 47

48 Aplicações Filtragem Passa-Alta: Filtragem Passa-Baixa: 48

49 Aplicações Filtragem: Imagem Original Imagem Filtrada (Passa-Alta) Imagem Filtrada (Passa-Baixa) 49

50 Aplicações Filtragem Passa-Baixa (suavização): 50

51 Aplicações Filtragem (minimização de ruído): Imagem Original Imagem com Ruído Imagem Filtrada 51

52 Aplicações Filtragem Passa-Alta (realce de contornos, bordas): 52

53 Aplicações Filtragem Passa-Alta: Imagens Médicas (realce de contornos, bordas): 53

54 Fenômenos periódicos ocorrem recorrentemente em várias aplicações: representação de funções periódicas em termos de funções simples, como o senx ou cosx - Séries de Fourier. Conceitos e técnicas desenvolvidos para as séries de Fourier podem ser estendidos para o caso de funções que não são periódicas: Transformadas de Fourier. A utilização de séries e transformadas de Fourier revela-se, portanto, eficiente na resolução de problemas nas mais diversas áreas. 54

55 S. K. Mitra. Digital Signal Processing: A Computer Based Approach. 3a Ed. MacGraw-Hill, Rafael C. Gonzalez & Richard E. Woods. Digital Image Processing. Prentice Hall, 3ª Ed., A.V.Oppenheim, R.W.Shafer and J. R. Buck. Discrete-Time Signal Processing. Prentice-Hall, S. K. Mitra. Digital Signal Processing Laboratory Using Matlab. McGraw-Hill, Pittas H. McClellan e outros, Digital Image Processing Algorithms and Applications. John Wiley & Sons, J Beutel, H L Kundel, R L van Metter. Handbook of Medical Imaging. Vol. 1: Physics and Psychophysics. SPIE Press,

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