Prof. Responsáveis Wagner Santos C. de Jesus

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1 Disciplina Processamento de Sinais Curso Análise e Desenvolvimento de Sistemas Noção da Análise de Fourier e Análise Espectrográfica de sinais, Estudo de Caso do Processamento Sinais Aplicado a Imagens wagnerscj@gmail.com Prof. Responsáveis Wagner Santos C. de Jesus

2 Atenuação de Sinais 2

3 Parâmetros de atenuação f ( y) = Ae t / τ sin( ϖ t) 3

4 Exemplo de atenuação tau = 3; A = 10 omega = pi(); t = linspace(0,10,100); y = A * exp(-t./tau).*sin(omega.* t); plot(t,y,'linewidth',4); grid on; A_Atenuacao.m 4

5 Conceito da série de Fourier 5

6 Histórico de Fourier Celebrado por iniciar a investigação sobre a decomposição de funções periódicas em séries trigonométricas convergentes chamadas séries de Fourier e a sua aplicação aos problemas da condução do calor. Jean-Baptiste Joseph Fourier 1768 a 1830 Matemático e Físico Francês. 6

7 Fourier - Conceito Toda função periódica poderia ser escrita e representada como a somatória de senos e cossenos. 7

8 Conversão de um sinal senoidal em onda em onda Quadrada 8

9 Aplicação Teorema de Fourier 9

10 Exemplo 10

11 Sinal Digital Considere a cada: 1, 0, t[0..180] t[ ] 1,2 1 Sinal Binário 0,8 0,6 0,4 0,2 0 11

12 A função f(t) será aproximada 12

13 Aproximação de uma função retangular por séries de senos 13

14 Equações de aproximação π f ( t) = sen( t) 4 π f ( t) = sen( t) f ( t) = π sen( t) + sen(3t) f ( t) = π sen( t) + sen(3t) + sen(5t) f ( t) = π sen( t) + sen(3t) + sen(5t) + sen(7t) n i= 1 1 n + 2 sen( n + 2t) 14

15 Implementação Base Fourier clear all; clc; t = [0:1800]; x = pi()/2*sin(t*pi()/180); subplot(4,1,1); plot(x); y = 4/pi()*sin(t*pi()/180) + 1/3*sin(3*t*pi()/180); subplot(4,1,2); plot(y); z = 4/pi()*sin(t*pi()/180) + 1/3*sin(3*t*pi()/180)+ 1/5*sin(5*t*pi()/180); subplot(4,1,3); plot(z); k = 4/pi()*sin(t*pi()/180) + 1/3*sin(3*t*pi()/180)+ 1/5*sin(5*t*pi()/180) + 1/7*sin(7*t*pi()/180); subplot(4,1,4); plot(k); A_passos_F.m 15

16 Conceito Matemático Série de Fourier f 0 t n = 1 ( t ) = a + a1 cos( nω 0t ) + b1 sin( nω 0 Teorema de Fourier ) v = A0 + A1 sin( ω 0t + φ) + A2 sin(2ω0t + φ) An sin( nω0t + φ) 16

17 Série Fourier para representação de variação Brusca de Amplitude (Densidade Espectral) 17

18 Equação y = 2a π a π 2 sin( π a) 1 cos x + sin 2( π a) 2 cos(2x) sin 3( π a) 3 cos(3x) +... Demonstra um pico de Amplitude sobre um fenômeno de baixa intensidade. 18

19 Função pico de Amplitude clear all; clc; fs = 1000; a = 3; x = [a:1/fs:2*pi()-a]; q = 0; for i=1:2:100 y = (2*a/pi())*((pi()-a)/2-(sin(pi()-a)/i)*cos(x)+sin(2*pi()-a)/2*cos(i*x)); q = q + y; endfor plot(x,q,'linewidth',3); A_Fourier_3.m 19

20 Usando o Teorema de Fourier para representar funções quadradas 20

21 Composição de uma onda Quadrada =... 7 ) sin(5 5 ) sin(3 3 ) sin( A t A A t A t A A v ω ω ω

22 A_Fourier1.m Aplicação prática do Teorema de Fourier clear all; clc; fs = 10000; t = [0:1/fs:10]; f = 20; # Controle de frequencia (2) A = 600; onda_quadra = 0; for i = 1:2:10 v = (A/i)*sin(2*pi()*i*f*t); onda_quadra = onda_quadra + v; endfor plot(t,onda_quadra); 22

23 Analise Espectrográfica 23

24 Conceito de Análise Espectral Permite determinar pico de frequência em sinais complexos. Podendo plotar gráficos, exibindo picos de frequências não localizados quando uma determinada amostra é analisada visualmente. 24

25 Coeficiente espectral 25

26 Análise Espectral de Sinais Contínuos no Tempo 26

27 Sinais Contínuos e periódicos 27

28 Considere o sinal abaixo Frequência de amostragem 28

29 Exemplo fs = Frequência de amostragem. t = Tempo. f(t) = Sinal a ser processado. fft() = Transformada Rápida de Fourier. 29

30 Exemplo Prático Dado o sinal representados abaixo: fs = 1800 t = 0; 1 fs :10 s = sin(2 π t) Sinal 30

31 Exemplo de reconhecimento de frequência clear all; clc; fs = 1800; #frequencia de amostragem t = [0:1/fs:10]; s1 = sin(2*pi()*10*t); m = m_fft(s1,fs,'linewidth',6); A_espectro.m 31

32 Normalização Frequência de Amostragem function [S,frequencia] = m_fft (s, fs) normal = length(s); aux = 0:normal-1; T = normal/fs; frequencia = aux / T; S = fftn(s)/normal; fc = ceil(normal/2); S = S(1:fc); figure(); plot(frequencia(1:fc),abs(s)); title("analise de Espectro"); xlabel("frequencia (Hz)"); ylabel("amplitude"); grid on; endfunction m_fft.m 32

33 Aplicação Prática de Processamento de Sinais 33

34 Técnicas Básicas de Processamento de Imagens Monocromáticas 34

35 Técnicas de Processamento de Imagens Histograma; Binarização Vetorial (*); LUT (Look up Table) ; Gray Level; 35

36 Imagem Ampliada 80% 36

37 Histograma É uma relação que mapeia, para cada valor de intensidade que um pixel possivelmente possa ter, o número de vezes em que ela aparece na imagem. 37

38 Construção do Histograma O histograma é uma tabela de frequência de cada valor ou faixa de valores de intensidade nos pixels da imagem. 38

39 Construção do Histograma 1. Dividir o intervalo de dados em classes. 2. Contar quantos dados existem em cada classe. - No caso das imagem usualmente as classes são valores de intensidades presentes. Imagem de 8 bits = 256 classes Imagem de 4 bits = 16 classes 39

40 Histograma Imagem (Lena)

41 Histograma Imagem (Cone)

42 Histograma Imagem(Menino)

43 Implementação de Algoritmo para calculo de Histograma 43

44 Calculo Histograma 256 h = c k k + 1 = k 0 h = Valores das somas das intensidades nos pontos da imagem. c = Valor da intensidade em um ponto da Imagem (Cor). k = Coeficiente (índice) de representação das intensidades. 44

45 Algoritmo Calculo Histograma 1. Obter Im <- (Image) 2. Largura L <- (Width) 3. Altura A <- (Height) 4. Definir h <- [256] posições 5. Definir k <- 0 (índice de intensidade) 6. Para i de 0 ate L-1 (Largura) 7. Para j de 0 ate A-1 (Altura) 8. I v <- Im i,j 9. k <- Intensidade(I v ) 10. h[k] <- h[k] fim_laço (j) 12. fim_laço(i) Histog 45

46 Binarização Vetorial de Imagens 46

47 Conceito de Imagem Binária Uma Imagem binária, também chamada bi-nível, é uma imagem digital na qual há apenas dois valores possíveis para cada pixel. (preto-e-branco), P&B. 47

48 Exemplo Matemático 48

49 Cardinalidade de pixels na Imagem Imagem Arquivo P(x,y) = 255 => P (x,y) = 0 P(x,y) = 0 => P (x,y) = 1 49

50 Vetor Binário de uma Imagem 0,0-1 1,0-1 2,0-1 3,0-1 4,0-1 5,0-1 6,0-1 7,0-1 8,0-1 9, , , , , , , , , , , , ,45-0 P(x,y) N; Ponto (P) e coordenada binária. 50

51 Algoritmo de Binarização 1. Obter Im <- (Image) 2. Largura L <- (Width) 3. Altura A <- (Height) 4. Para i de 0 ate L 5. Para j de 0 ate A 6. c <- cor(im[i,j]) 7. se(c.pegacorverm() = 255) 8. escrever(i+, +j ) 9. senao 10. escrever(i+, +j ) 11. fim_para 12. fim_para CarregaImagem.java 51

52 Look up Table (Olhe para cima Tabela) 52

53 LUT É uma técnica utilizada no processamento de imagem, que significa "Look up Table". Sua funcionalidade é criar uma tabela de novos valores para imagem tratada. 53

54 Tabela - LUT f(g)=im i,j Im i,j f ( g) = c im i, j Seja f(g) uma função de inversão linear; c valor de inversão da imagem em tons de cinza e im em um ponto P(i,j) valor da intensidade original da imagem. 54

55 Construção do LUT Dada a função de transferência f(g) e o valor máximo de intensidade; A função T(g) criará o LUT. T g <- f(g) se 0 f(g) 255 T g <- 0 se f(g) < 0 T g <- 255 se f(g) >

56 T g <- 0 se f(g) < 0 f ( g) = c im i, j C = 0 56

57 T g <- f(g) se 0 f(g) 255 f ( g) = c im i, j C = 80 57

58 T g <- 255 se f(g) > 255 f ( g) = c im i, j C =

59 Algoritmo de LUT 1. Obter Im <- (Image) 2. Largura L <- (Width) 3. Altura A <- (Height) 4. c < Para i de 0 ate L 6. Para j de 0 ate A 7. contraste <- c Im[i,j] 8. novac <- Cor(contraste) 9. Im[i,j] <- novac 10. fim_para 11. fim_para CarregaImagem.java 59

60 Imagens Gray Level (Nível de cinza) 60

61 Funcionamento da visão 30% 59% 11% O olho humano trabalha com comprimento de ondas na faixa visível no intervalo entre 400 à 800 nm possibilitando uma porcentagem de captação na faixa do vermelho do verde e azul. 61

62 Convertendo imagens coloridas em monocromáticas (Tons de cinza) 62

63 Convertendo Para converter qualquer cor em seu nível aproximado de cinza, deve-se primeiro obter suas primitivas vermelho, verde e azul (da escala RGB). Adiciona-se então 30% do vermelho mais 59% do verde mais 11% do azul, independente da escala utilizada (0.0 a 1.0, 0 a 255, 0% a 100%.) O nível resultante é o valor de cinza desejado. Tais porcentagens estão relacionadas a própria sensibilidade visual do olho humano convencional para as cores primárias. 63

64 Média ponderada das intensidades Esse tipo de calculo é usado quando não existe o mesmo peso para os valores da média. Mp = k n = i 0 i. p p i i Onde n são os valores da amostra (Imagem) e p pesos em cada faixa de intensidade. 64

65 Aplicação na imagem gray = r + g b 100 Basta aplicar essa equação por toda a matriz da imagem Im[i,j]. 65

66 Tabela - gray f(g)=im i,j f ( g) = r + g + b Im i,j Seja f(g) uma função de conversão de pixel todos os elementos da matriz serão convertidos para tons de cinza 66

67 Algoritmo de transformação Gray-Level. 1. Obter Im <- (Image) 2. Largura L <- (Width) 3. Altura A <- (Height) 4. Para i de 0 ate L 5. Para j de 0 ate A 6. corim <- Im[i,j].cor() 7. verm <- corim.red() * verd <- corim.green() * azul <- corim.blue() * gray <- verm+verd+azul 11. Im[i,j] <- gray 12. fim_para 13. fim_para Gray A_Imagem.m 67

68 Converte Imagem para Tons de Cinza clear all; clc; pkg load image; imagem = imread('tigre.jpg'); I = rgb2gray(imagem); imshow(i); 68