Métodos Matemáticos e Computacionais em Música

Transcrição

1 Métodos Matemáticos e Computacionais em Música Luiz Velho, Paulo Cesar Carvalho, Sergio Krakowski, Marcelo Cicconet IMPA

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3 Processamento de Sinais Sonoros Luiz Velho

4 Som - Sinal 1 D Música e Som Musica - Som + Estrutura

5 Metodologia Paradigma dos 4 Universos (níveis de abstração) Físico - Objeto Real Matemático - Modelo Contínuo Representação - Descrição Discreta Implementação - Formato de Dados Finito

6 Som no Mundo Físico Sistema Físico de Som Emissor vibração do ar Sensor Som como Sinal Fonte canal transmissão Receptor

7 Som Musical Exemplos - Voz - Ouvido - Instrumento - Microfone - Caixa Acústica

8 Comunicação Musical Percepção - Frequencia (Notas) - Timbre (Instrumentos) Estrutura - Melodia - Ritmo Composição - Padrões

9 Níveis de Modelo Baixo Nível - Sensório Informações Brutas (Vibração) Nível Intermédiario - Perceptual Estrutura (Notas) Alto Nível - Cognitivo Composição (Música)

10 Modelos Matemáticos I Modelo Temporal (grandeza fisica ao longo do tempo) f : R R + Modelo Espectral (densidade de frequencias) g : R C

11 Modelo Espectral Transformada de Fourier Núcleo da Transformada e 2πiθ = cos 2πθ + i sin 2πθ Ressonância do Sinal todo com a Frequencia s

12 Sinal e Modelos Sinal no Dominio do Tempo Sinal no Dominio da Frequência

13 Conversão entre Modelos Transformada de Fourier - Inversível - preserva energia (teorema de Parseval) Direta Inversa

14 Representação de Sinais Esquema Computacional

15 Discretização Construindo a Representação Sinal Trem de Impulsos Amostras - Sequencia de Amostras

16 Reconstrução Reconstruindo o Sinal

17 Teorema de Amostragem

18 Amostragem Uniforme Trem de Impulsos L = {i t i Z} Amostragem do Sinal t periodo de amostragem Sequencia de Amostras

19 Reconstrução Ideal Interpolação de Shannon Base - sinc Function

20 Exemplo Sinal Continuo: f(t) 2 Original signal x(t) t

21 Exemplo Amostragem Uniforme: {f(ti)} 2 Sampled signal x s (n) n

22 Exemplo Reconstrução: passo 1 2 Sample by sample reconstruction

23 Exemplo Reconstrução: passo 2 2 Sample by sample reconstruction

24 Exemplo Reconstrução completa 2 Reconstruction finished

25 Exemplo Base de Interpolação de Shannon

26 Intuição do Teorema I Discretização

27 Intuição do Teorema II Reconstrução

28 Operações com Sinais Filtragem - Operação Unária Mixagem - Operação Binaria C : S S S

29 Filtragem Usos da Filtragem - Eliminação de Ruidos - Modificação no Som - Enfase / Atenuação de Frequências

30 Tipos de Filtro Filtros Lineares Filtros Espacialmente Invariantes

31 Filtros Clássicos - Resposta de Impulso do Filtro - Filtragem

32 Filtragem e Frequência Função de Transferência do Filtro Efeito do Filtro - Passa Baixas - Passa Altas - Passa Banda

33 Representação 2 Modelo Funcional f : R R dominio contra-dominio f amostragem quantização f

34 Quantização Níveis de Quantização - Número de Bits

35 Tipos de Sinal Continuo-Continuo Discreto-Continuo Continuo-Discreto Discreto-Discreto

36 Codificação LPCM (Linear Pulse Code Modulation) - Formato Digital (sem compressão) Exemplos -.wav: Waveform audio format (Audio for Windows) -.aiff: Audio Interchange File Format (Apple)

37 WAV Codecs Taxa de Amostragem / Niveis de Quantização

38 Compressão Anatomia - CODEC Sinal Transformação Direta Quantização Codificação Sinal Transformação Inversa Dequantização Decodificação Mesma Informação - Menos Dados

39 Psico-Acústica Frequências Audiveis Função de Transferencia Auditiva: 2-5 Khz Mascaramento Auditivo - Frequência (notas semelhantes / mais baixas) - Temporal (notas superpostas)

40 MP3 MPEG-1 Audio Layer 3 - Moving Picture Experts Group (Fraunhofer IIS) CODEC 1. Time Frequency Mapping (TFM) 2. Fast Fourier Transformation (FFT) 3. Quantisation and Encoding 4. Packers Taxa de Compressão ~ 1:10

41 Estrutura Musical Notas (Duração Finita) Localização no Tempo e Frequencia - Transformada de Fourier com Janela - Transformada de Wavelets Principio da Incerteza

42 Spectrograma Transformada de Fourier com Janela

43 Estrutura Revelada Ruido Branco Rampa Linear 20-20K Hz Click / Tambor / Violino Sex Machine (James Brown)

44 Perguntas?