Filtros Digitais. Capítulo 6.0 PDS Prof. César Janeczko (2 o semestre 2009) 10 A

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1 Capítulo 6.0 PDS Prof. César Janeczko (2 o semestre 2009) Filtros Digitais Filtros digitais são usados em geral para dois propósitos: 1 o separação de sinais que foram combinados, por exemplo, modulados; 2 o restauração de sinais que foram distorcidos de algum modo, por exemplo, um ruído ou o batimento cardíaco de um bebe no útero materno. Para tais, os filtros digitais tem desempenho superior aos filtros analógicos. Filtros analógicos quando comparados aos digitais, são em geral baratos, rápidos e tem uma grande faixa dinâmica de amplitude e freqüência. Porém, em comparação, filtros digitais são vastamente superior em desempenho. A figura abaixo mostra que cada filtro tem uma resposta ao impulso, uma resposta ao degrau e uma resposta em freqüência. Cada uma destas respostas contém a informação completa sobre o filtro, porém em forma diferente. Tendo uma das formas é possível calcular as outras, sendo essas importantes sobre diferentes circunstâncias. De modo geral, o modo de implementar um filtro digital é pela convolução do sinal de entrada pela resposta ao impulso do filtro. Todo filtro linear pode ser implementado desta maneira. Um outro modo de fazer filtros digitais, é chamado de recursão. Para implementar um filtro recursivo por uma convolução é primeiro necessário calcular a resposta ao impulso deste filtro. Esta resposta é muitas vezes muito longa, mas pode ter seus valores ignorados quando os valores da sua amplitude caem a valores comparáveis com o ruído do sistema. Por causa desta característica, filtros recursivos são também chamados de filtros IIR Infinite Impulse Response. Em comparação, filtros implementáveis por convolução são chamados de filtros FIR Finite Impulse Response Como um degrau é a integral de um impulso, a resposta ao degrau é a integral da resposta ao impulso. A escala linear mostra melhor o ripple e freqüência de corte, enquanto a escala em decibel mostra melhor a atenuação da banda de corte. P 2 db = 10log ou 10 P1 db = 20log 10 A A 2 1 A freqüência de corte é tomada a 3dB, o que significa a amplitude reduzida para (e a potência reduzida a 0.5) 1

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3 Parâmetros no domínio do tempo Risetime - tempo de subida (10% a 90% do nível de amplitude), resposta ao degrau tão rápida quanto possível Overshoot - deve ser eliminado, porque muda a amplitude das amostras do sinal. Fase linear desejável para que a rampa de subida seja simétrica a rampa de decida. 3

4 Parâmetros no domínio da freqüência A Banda de transição entre a banda passante e a banda de corte deve ser a mais estreita possível Sem ripple na banda de passagem Atenuação da banda de corte em db. 4

5 Respostas em freqüência comuns Filtros Passa Altas, Passa Banda e Rejeita Banda Podem ser desenvolvidos a partir de filtros Passa Baixas, através de inversão espectral e reversão espectral Exemplo de inversão espectral A inversão espectral é realizada pela inversão do sinal original e soma do impulso unitário no ponto de simetria se houver. 5

6 Ou ainda, a inversão espectral é realizada pela subtração de um passa tudo por um passa baixas Exemplo de reversão espectral 6

7 A reversão espectral é realizada por deslocamento da freqüência, como na modulação, multiplicando se o filtro por uma senóide de freqüência 0.5 f S Filtro Passa Faixa é obtido pela disposição em cascata (convolução) de um passa baixas e um passa altas. Um Filtro Rejeita Faixa é obtido pela soma de um passa altas com um passa baixas (disposição em paralelo) 7

8 Classificação de Filtros Os filtros digitais são classificados de acordo com seu uso e sua implementação, e podem ser divididos em três categorias: domínio do tempo, domínio da freqüência e custom (adaptados) Domínio do tempo são usados quando a informação está em forma de ondas, e são usados para smoothing (alisar), remover nível DC, etc. Domínio da freqüência são usados quando a informação está contida em amplitude, freqüência e fase de componentes senoidais, e são usados para separar uma banda de freqüência de outra. Custom filtros são utilizados quando uma ação especial é requerida, como por exemplo um filtro mais elaborado que os 4 básicos FPB, FPA, FRF e FPF. Estes podem ser utilizados para deconvolução, um modo de agir quando uma convolução não é desejada. 8

9 Filtros FIR Filtros Moving Average (Média Móvel) Também podem ser implementados por convolução y Por exemplo: y ou por convolução 1 1 M [ i] = x[ i + j] [ 80] = M x j= 0 [ 80] + x[ 81] + x[ 82] + x[ 83] + x[ 84] y [ 80] = x[ 80] + x[ 81] + x[ 82] + x[ 83] x[ 84] Redução do Ruído x Resposta ao Degrau Filtros MA são ótimos para redução de ruído branco (proporcional a raiz quadrada no n o de ptos da média)mantendo a resposta ao degrau. 9

10 Resposta em freqüência H [ f ] sin = Msin ( πfm ) ( πf ) Bom desempenho do domínio do tempo implica em pobre desempenho no domínio da freqüência e vice-versa. Filtro média móvel com múltiplas passagens 10

11 Implementação recursiva y [ i] = y[ i 1 ] + x[ i + p] x[ i q] onde: ( M 1 ) / 2 p = q = p +1 Esteja ciente que filtro recursivo média móvel é IIR muito diferente de filtros recursivos típicos FIR Filtros Windowed-Sinc Usados para separa uma banda de freqüência de outra. São muito estáveis, produzem pouca surpresa e podem ter incrível desempenho. Bom desempenho na freqüência e pobre desempenho no tempo, incluindo excessivo ripple e overshoot na resposta ao degrau. São implementados por convolução, lentos para executar. Função sinc: h [ i] = ( 2πf i) sin iπ c Janela de Hamming w [ i] = cos( 2πi / M ) Janela de Backman w [ i] = cos( 2πi / M ) cos( 4πi / M ) 11

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13 Características das janelas de Backman (melhor) e Hamming Projetando um filtro Para projetar um filtro Windowed-sinc, dois parâmetros devem ser selecionados: a freqüência de corte f c e o comprimento do filtro, M. A freqüência de corte é expressa em função da razão de amostragem e deve ser entre 0 e 0.5. O valor de M determinando inclinação da descida, através da seguinte aproximação. M = 4 BW Onde, BW é a largura da banda de transição também expressa de 0 a 0.5 da freqüência de amostragem. 13

14 i=0,1,2,...m Depois de f c e M terem sido selecionados, o filtro pode ser calculado pela relação: ( 2 f ( i M / 2) ) sin π c [ ] 2πi 4πi h i = K cos cos i M / 2 M M Para i =M/2 usar h[ i] = 2πf K (para evitar divisão por zero) c K é escolhido para dar ganho unitário em freqüência zero Para ganho 1 em f = 0, o somatório de todos os pontos deve ser igual a 1. c K = M i= 1 1 [ ] h i Exemplo: Projetar um filtro Windowed-Sinc Passa-baixas com freqüência de corte de 100Hz sabendo-se que o sinal a ser filtrado tem frequencia de amostragem igual a 1kHz. Usar uma banda de transição de 50Hz e ganho unitário na banda passante. 14

15 Resposta ao degrau 15