Universidade Federal do Rio de Janeiro - IM/DCC & NCE

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro - IM/DCC & NCE Processamento de Imagens Tratamento da Imagem - Filtros Antonio G. Thomé thome@nce.ufrj.br Sala AEP/033

2 Sumário 2 Conceito de de Filtragem Filtros Digitais Domínio da da Filtragem Filtragem no no Domínio da da Freqüência Filtragem no no Domínio Espacial Tipos de de Filtros Filtros Filtros Lineares Filtros Filtros Passa-baixas Passa-baixas Filtros Filtros Passa-altas Passa-altas Filtros Filtros Passa-banda Passa-banda Filtros Filtros Não Não Lineares No No domínio domínio da da freqüência freqüência Filtragem Filtragem Homomórfica Homomórfica No No domínio domínio do do espaço espaço Filtro Filtro de de Mediana Mediana Filtro Filtro de de Ordem Ordem Filtro Filtro de de Moda Moda Filtros Filtros Detectores Detectores de de Borda Borda

3 Filtragem Digital Consiste na aplicação de técnicas de transformação (operadores máscaras) com o objetivo de corrigir, suavizar ou realçar determinadas características de uma imagem dentro de uma aplicação específica. correção - é a remoção de características indesejáveis, e melhoria/realce - é a acentuação de características. 3 A filtragem é realizada pixel a pixel, onde o novo nível de cinza de um ponto P qualquer depende do seu nível de cinza original e do de outros pontos considerados como vizinhança de P. Em geral, os pontos mais próximos de P contribuem mais para o novo valor do nível de cinza do que os pontos mais afastados

4 Domínio da Filtragem Domínio Espacial São procedimentos que operam diretamente sobre os pixels da imagem na sua forma original. Domínio da Freqüência São procedimentos que operam sobre a Transformada de Fourier da imagem original. 4

5 Tipos de Filtros Filtros lineares Suavizam, realçam detalhes da imagem e minimizam efeitos de ruído, sem alterar o nível médio de cinza da imagem. Filtros não-lineares Aplicam transformações sem o compromisso de manterem o nível médio de cinza da imagem original. 5

6 Filtros Lineares no domínio do espaço: f(x,y) h(x,y) g(x,y) convolução g(x,y)= h(x,y) * f(x,y) no domínio da freqüência: F(u,v) H(u,v) G(u,v) produto G(u,v)= H(u,v). F(u,v) (*) h(x,y) ou H(u,v) são os operadores ou máscaras 6

7 Filtros Lineares no Domínio da Freqüência a) Filtro Passa-baixas Filtro Ideal Deixa passar apenas as componentes de mais baixa freqüência (atenuam o contraste). H(u,v) H(u,v) freqüência de corte v u H( u, v) = 0 se se D( u, v) D( u, v) > D D 0 0 D 0 2 D ( u, v) = ( u + v D(u,v) 2 ) 7

8 Filtros Lineares no Domínio da Freqüência b) Filtro Passa-baixas Filtro de Butterworth H(u,v) H( u, v) = + [ D ( u, v ) / D 2n 0 ] Filtro de Butterworth para n= u v As componentes de freqüência são quase exponencialmente reduzidas a medida que a distância D(u,v) fica maior que a freqüência de corte. 8

9 Filtros Lineares no Domínio da Freqüência c) Filtro Passa-Altas Filtro Ideal H(u,v) H(u,v) v u D 0 D(u,v) H( u, v) = 0 se se D( u, v) D( u, v) > D D 0 0 9

10 Filtros Lineares no Domínio da Freqüência d) Filtro Passa-Altas Filtro de Butterworth H( u, v) H(u,v) = + [ D0 / D( u, v)] 2n As componentes de freqüência são quase exponencialmente reduzidas a medida que a distância D(u,v) fica menor que a freqüência de corte. u v 0

11 Filtros Lineares no Domínio da Freqüência Exemplo: Filtro Passa-Altas Freqüência de corte D 0 = 20

12 Filtros Lineares no Domínio da Freqüência Exemplo: Filtro Passa-Baixas Espectro de Fourier Imagem de 52x52 pixels Raios iguais a 8, 8, 43, 78 e 52-90, 93, 95, 99 e 99,5% da potência da imagem 2

13 Original Passa-baixas D 0 = 8 Passa-baixas D 0 = 52 3 Passa-baixas D 0 = 8 Passa-baixas D 0 = 78 Passa-baixas D 0 = 43

14 Filtragem Não Linear no Domínio da Freqüência Filtragem Homomórfica Trata-se de uma abordagem que busca operar sobre as componentes de iluminação e reflectância separadamente. f ( x, y) = i( x, y). r( x, y) I{ f ( x, y)} I{ i( x, y)} I{ r( x, y)} z( x, y) = ln( f ( x, y)) = ln( i( x, y)) + ln( r( x, y)) I{ z( x, y)} = I{ln( i( x, y))} + I{ln( r( x, y))} 4

15 5 Processamento de Imagens Processamento de Imagens Filtragem Não Linear no Domínio da Freqüência Filtragem Homomórfica... ), ( ), ( ), ( v u R v u I v u Z + = ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( v u R v u H v u I v u H v u Z v u H v u S + = = )}, ( ), ( { )}, ( ), ( { )}, ( { ), ( v u T v u H v u I v u H v u S y x s + I = I = I ), ( ), ( )], '( )].exp[, '( exp[ )], ( exp[ ), ( 0 0 y x r y x i y x r y x i y x s y x g = = =

16 Filtragem Não Linear no Domínio da Freqüência Filtragem Homomórfica... f(x,y) ln() FFT exp() H(u,v) (FFT) - g(x,y) A componente de iluminação de uma imagem é geralmente caracterizada por variações espaciais lentas; A reflectância tende a variar abruptamente, particularmente na junção de objetos diferentes. O filtro homomórfico oferece uma forma de operar sobre esses componentes separadamente. Assim, os efeitos da iluminação ficam associados às baixas freqüências e os da reflectância às altas freqüências 6

17 Filtragem Homomórfica Exemplo: Freqüência de corte D 0 = 20 7

18 Filtragem Homomórfica 8

19 Filtragem Linear no Domínio do Espaço Os métodos de filtragem espacial operam diretamente sobre a matriz de pixels (imagem digitalizada); normalmente utilizam operações de convolução entre a imagem original e uma máscara especialmente construída; As máscaras são chamadas de filtros espaciais. Como no domínio da freqüência as máscaras podem implementar filtros: Passa-Baixas para suavizar a imagem; Passa-Altas para realçar bordas; Passa-Banda para remover freqüências baixas e altas. 9

20 Filtragem Linear no Domínio do Espaço Filtros no Domínio da Freqüência Passa-Baixas Passa-Altas Passa-Banda 0 20 Filtros no Domínio Espacial

21 O Processo de Filtragem Espacial Consiste na aplicação sucessiva de máscara que desliza sobre toda a imagem original; Ao ser aplicada com centro numa posição (i,j), sendo i o número de uma dada linha e j o número de uma dada coluna da imagem, consiste na substituição do valor do pixel na posição (i,j) por um novo valor o qual depende dos valores dos pixels vizinhos e dos pesos da máscara. À cada posição da máscara está associado um valor numérico, chamado de peso ou coeficiente. 2 Em cada posição (i,j), os pesos do filtro são multiplicados pelos NCs dos pixels correspondentes e somados, resultando em um novo valor de NC, que substitui o antigo NC do pixel central.

22 O Processo de Filtragem Espacial R = n i= z i w n i+ R w w 2 w 6 w 5 w 7 w w 0 w 2 w 6 w 5 w 7 w 2 w 20 w 22 w 3 w 8 w 3 w 8 w 23 w 4 w 9 w 4 w 9 w 24 Máscara 5x5 w 25 22

23 O Processo de Filtragem Espacial Na operação de filtragem deve-se calcular os pontos pertencentes à borda da imagem de modo diferente dos demais, já que estes não dispõem de todos os vizinhos. Por questões de simetria usam-se, na definição das máscaras dos filtros, janelas N x N, onde N é um número ímpar. Por questões de eficiência computacional, preferem-se valores pequenos para N (no máximo 7). 23

24 O Processo de Filtragem Espacial R R = n i= z i w n i+ w w 2 w 7 w 2 w 7 w 2 w 20 w 22 w 3 w 8 w w 0 w 3 w 6 w 5 w 8 w 23 w 4 w 6 w 5 w 9 w 4 w 9 w 24 Máscara 5x5 w 25 24

25 Filtro Passa-baixas Atenua (ou elimina) as altas freqüências que estão relacionadas com a informação de detalhes da imagem. O efeito visual de um filtro passa-baixas é o de suavização (smoothing) da imagem uma vez que as altas freqüências, que correspondem às transições abruptas, são atenuadas. A suavização tende também, pelas mesmas razões, a minimizar o efeito do ruído em imagens. A filtragem passa-baixas tem, por outro lado, o efeito indesejado de diminuir a resolução da imagem, provocando assim, um leve borramento. Ou seja, diminui a nitidez e a definição da imagem. 25

26 Exemplo Filtro Passa-baixa Filtro de Média Filtros de média 3x3, 5x5 e 7x7 /9 * /25 * /49 * Substitui o valor do pixel original pela média aritmética do pixel dos seus vizinhos; Quanto maior a máscara, maior o efeito de borramento. Pesos positivos Soma dos pesos igual a não altera a média 26

27 Resultado da Aplicação do Filtro de Média 3x3 Os ruídos foram reduzidos, porém a imagem filtrada apresenta-se borrada 27

28 Exemplo Filtro Passa-baixas Filtro de Média Ponderada São usados quando os pesos são definidos em função de sua distância do peso central. Filtros de Média Ponderada de dimensão 3x3 são: 2 /0 * 2 /6 *

29 Resultado da Aplicação do Filtro de Média Ponderada 3x3 Original

30 Filtro Passa-altas Atenuam ou eliminam as baixas freqüências, realçando as altas freqüências e são normalmente usados para realçar os detalhes na imagem (agudização sharpening). Para filtros passa-altas, o efeito obtido é, em geral, o de tornar mais nítidas as transições entre regiões diferentes, conhecidas como bordas, realçando o contraste. O efeito indesejado destes filtros é o de enfatizar o ruído presente na imagem. 30

31 Filtro Passa-altas Básico O formato da resposta de um filtro passa-altas deve ser tal que a máscara correspondente apresente coeficientes positivos nas proximidades de seu centro e negativos longe deles. Exemplo - máscara 5x5, reforça o contraste que porventura exista entre os pixels centrais e os da periferia R = n i= z i w n i se homogênea tende a zero 3

32 Exemplos de Filtros Passa-altas Pesos positivos, negativos e nulos Observe que a soma algébrica da máscara é zero, o que significa que quando aplicada a regiões homogêneas de uma imagem, o resultado será zero ou um valor muito baixo. 32

33 Resultado da Aplicação do Filtro Passa-altas 3x A máscara foi aplicada a imagem original (esquerda) resultando a imagem da direita 33

34 Filtros Passa-altas Direcionais Os filtros passa-alta direcionais (realce de bordas) realçam a cena, segundo direções preferenciais de interesse, definidas pelas máscaras. A seguir estão algumas máscaras utilizadas para realçar bordas em vários sentidos. O nome dado às máscaras indica a direção ortogonal preferencial em que será realçado o limite de borda. Assim, a máscara norte realça limites horizontais 34

35 Exemplos de Filtros Passa-altas Direcionais Norte Leste Sul Oeste Nordeste Sudeste Sudoeste Noroeste 35

36 Exemplos de Filtros Passa-altas Linhas, em imagens, podem ser detectadas através das máscaras: Horizontais Verticais +45 o Diagonal-45 o 36

37 Filtro Passa-banda (ou Passa-faixa) Seleciona um intervalo de freqüências do sinal (banda de freqüência) para ser realçado, removendo, ou atenuando componentes fora da faixa selecionada São de pouca utilidade prática, a menos de algumas tarefas específicas em restauração de imagens Resposta em freqüência Filtro correspondente no domínio espacial f 0 t 37

38 Filtragem Não-Linear no Domínio Espacial Um exemplo típico de filtro passa-baixas não-linear é o filtro da mediana, que suaviza a imagem sem contudo diminuir sua resolução. No filtro da mediana, os pontos da vizinhança de (x,y), dentro de uma janela na imagem, são ordenados e tomado como novo valor para (x,y) o valor mediano desta ordenação. É possível, também, em vez de tomar a mediana da vizinhança, escolher o valor máximo ou o valor de ordem qualquer. Esta categoria de filtros é conhecida por filtros de ordem. Uma alternativa que produz resultados interessantes é tomar o valor mais freqüente de uma vizinhança - a "moda", que elimina ruídos pontuais sem alterar muito as informações da imagem. 38

39 Exemplos de Filtro Não-Linear (Passa-baixas) Filtro de Mediana Suaviza a imagem sem diminuir sua resolução (borrar); Os pontos da vizinhança de (x,y), dentro de uma janela da imagem, são ordenados e tomado como novo valor para (x,y) o valor mediano desta ordenação. Filtro de Ordem Os pontos da vizinhança de (x,y), dentro de uma janela da imagem, são ordenados e tomado como novo valor para (x,y) o valor máximo ou o valor de uma ordem qualquer desta ordenação. Filtro de Moda Os pontos da vizinhança de (x,y), dentro de uma janela da imagem, são ordenados e tomado como novo valor para (x,y) o valor mais freqüente da vizinhança Elimina ruídos pontuais, sem alterar muito as informações da imagem. 39

40 Exemplos de Filtros Não-Lineares Imagem original Imagem com ruído aditivo Filtro de média Filtro de mediana 40

41 Filtros Não Lineares Detectores de Bordas 4 Detecção de Bordas Detectam características como bordas, linhas, curvas e manchas O problema da detecção de bordas é indicar uma mudança súbita do nível de cinza entre duas regiões relativamente homogêneas A maioria dos operadores de detecção de bordas baseia-se numa filtragem passa-altas seguida de um processo de limiarização: Se a saída do filtro ultrapassar o limiar, uma borda local é detectada, caso contrário a borda não é detectada Para se obter uma detecção de bordas independente da direção, podese efetuar uma filtragem espacial em duas direções ortogonais, vertical (y) e horizontal (x). Estes dois resultados constituirão as componentes de um vetor gradiente: Operadores mais comuns: Roberts Sobel = x y

42 Operador Roberts É o mais antigo e mais simples algoritmo de detecção de bordas. Roberts introduziu a seguinte operação cruzada (módulo do gradiente): 2 [ f ( x, y) f ( x +, y + ) ] + [ f ( x +, y) f ( x, + ) ] g( x, y) = y Que deve ser comparado a um limiar. Devido ao custo computacional, as operações de elevar ao quadrado e raiz quadrada são, muitas vezes substituídas pelo valor absoluto das diferenças cruzadas g( x, y) = f ( x, y) f ( x +, y + ) + f ( x +, y) f ( x, y + ) 2 / 2 42

43 Operador Roberts Este operador pode ser representado por duas componentes 0-0 Componente horizontal Componente horizontal Como resultado de sua aplicação, obtém-se uma imagem com altos valores de nível de cinza, em regiões de contrastes bem definidos e valores baixos em regiões de pouco contraste, sendo 0 para regiões de nível de cinza constante. Uma desvantagem deste operador é a sua assimetria Dependendo da direção, certas bordas são mais realçadas que outras, mesmo tendo magnitude igual. 43

44 Efeito da Aplicação do Operador Roberts 44

45 Operador Sobel Mais sofisticado que o operador Roberts. 2 É dado pela seguinte expressão: g ( x, y) = X + Y Onde X e Y são as saídas dos filtros dados pelas seguintes máscaras X A máscara X detecta as variações no sentido horizontal e a máscara Y, no sentido vertical. O operador gradiente de Sobel tem a propriedade de realçar linhas verticais e horizontais mais escuras que o fundo, sem realçar pontos isolados Y

46 Operador Sobel (continuação) A detecção de bordas é obtida pela limiarização da magnitude do gradiente Diferentes valores de limiar resultam em diferentes mapas de bordas. Se o limiar é muito baixo, muitos pontos são marcados como pontos de borda, resultando em bordas grossas ou muitos pontos de bordas isolados Se o limiar é alto, os segmentos aparecerão finos e quebrados (sem continuidade da borda) 46

47 Efeito da Aplicação do Operador Sobel 47

48 Operador Prewitt Semelhante ao operador Sobel Encontra as bordas utilizando uma aproximação da derivada. Retorna as bordas onde o gradiente da imagem é máximo. É dado pela seguinte expressão: Onde X e Y são as saídas dos filtros dados pelas seguintes máscaras 2 g ( x, y) = X + Y X Y

49 Efeito da Aplicação do Operador Prewitt 49

50 Prewitt x Sobel Imagem Original Sobel Prewitt 50

51 Filtro Laplaciano É um operador escalar baseado na derivada de 2 a ordem. 2 f ( x, y) = 2 x 2 f ( x, y) + 2 y 2 f ( x, y) Contraste na borda Gradiente Laplaciano f (x) x f (x) x 2 2 f ( x) 5

52 Operador Laplaciano O Laplaciano de uma função bidimensional f(x,y) é uam 2 2 derivada de segunda ordem definida por 2 f f A implementação desta equação na forma digital para o caso 2 de uma região 3x3 pode ser: f = z ( z + z + z + z ) A exigência para a definição do laplaciano digital é que o coeficiente associado com o pixel central seja positivo e que os pixels externos sejam negativos Como o laplaciano é uma derivada, a soma dos coeficientes tem que ser nula (toda a vez que o ponto em questão e seus vizinhos tiverem o mesmo valor, a resposta será nula) f = x 2 + y

53 Máscara Espacial do Operador Laplaciano A máscara espacial que pode ser usada na implementação da equação seria: O Laplaciano é um operador linear, invariante à translação e sua função de transferência é zero na origem do espaço de freqüência. 53

54 Efeito da Aplicação do Operador Laplaciano da Gaussiana 54

55 Operador Canny Encontra as bordas procurando por um máximo local do gradiente da imagem O gradiente é calculado a partir da derivada de um filtro gaussiano O método usa dois limiares para detectar bordas fortes e fracas e inclui as bordas fracas na saída somente quando elas estiverem conectadas a bordas fortes Este método é menos sensível a ruídos dos que os demais e mais provável de detectar bordas fracas 55

56 Efeito da Aplicação do Operador Canny 56

57 Original Roberts Prewitt Sobel Laplaciano Canny 57