Entendendo o Astigmatismo. Introdução. Lentes especiais sem astigmatismo MAS450/ de março de 2003

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1 Entendendo o Astigmatismo MAS450/854 Primavera de março de 2003 Introdução Lentes especiais sem astigmatismo Lentes cilíndricas cruzadas com astigmatismo o Foco horizontal o Foco vertical o Plano de foco mais nítido Implicações para objetos tridimensionais Por que o astigmatismo acontece na holografia? o Hologramas alinhados o Hologramas fora de eixo Observações Veja também: o Capítulo 10: Holografia fora de eixo (PDF)* o Capítulo 10, Apêndice: foco horizontal e vertical (PDF)* o MAS450 Modelo de interrupção de astigmatismo (PDF)* Introdução O astigmatismo é uma aberração que acontece quando um sistema óptico focaliza dois eixos ortogonais de luz em duas distâncias diferentes no espaço. Hologramas e elementos ópticos holográficos produzem intencionalmente, ou sofrem não-intencionalmente, de astigmatismo. Para explicar as propriedades básicas do astigmatismo, escolhemos um modelo óptico mais simples usando lentes esféricas e cilíndricas refrativas. Lentes especiais sem astigmatismo A versão ideal das lentes esféricas comuns, que podem ser exemplificadas por uma lupa típica, não exibe astigmatismo. A lente é simétrica nas direções horizontal e vertical (na verdade em todas as direções) e, portanto, possui um poder óptico que não varia dependendo se ângulo no qual a luz incide nas lentes está no plano vertical ou horizontal. Com relação ao foco, isso significa que a luz emitida de um ponto simples sobre um objeto e capturada por diferentes partes de uma lente é redirecionada pela refração das lentes e agrupa-se em um único ponto. O diagrama a seguir mostra esse processo de foco simétrico de forma esquemática.

2 Na figura, a luz emitida a partir de uma grade de linhas horizontais e verticais é focalizada por lentes esféricas convexas. A luz de todos os pontos da grade é focalizada para um ponto correspondente no plano focal. A grade é colocada a uma distância duas vezes maior do que a distância focal atrás das lentes, a imagem nítida e focalizada da grade aparecerá à mesma distância na frente das lentes. (Obs.: Com essa geometria, a imagem da grade também aparecerá com o mesmo tamanho da grade do objeto original. Para os fins dessa discussão, iremos ignorar as diferenças de tamanho ou ampliação ao olharmos para imagens focalizadas uma vez que essas questões são ortogonais para um entendimento do astigmatismo). Se fossemos colocar um cartão ou tela branca nos locais indicados no diagrama, poderíamos observar a luz das lentes como ela aparece em outras distâncias, assim como no foco. Essa é uma visão mais profunda do diagrama acima que mostra de forma conceitual, se não literal, o que acontece. Nos locais na frente ou atrás da placa, a luz de cada ponto da grade do objeto brilha em uma área maior do que apenas um único ponto: ou a luz ainda não está completamente convergida, ou já está divergindo após o foco. Chamamos tal padrão observado no cartão ou tela de borrão.

3 Lentes cilíndricas cruzadas com astigmatismo Diferente das lentes simétricas radiais como em uma lupa, uma lente cilíndrica curva a luz (i.e., tem potência óptica) em apenas um eixo. Um bastão de vidro ou um copo cilíndrico de água agem como aproximações de lentes cilíndricas ideais. Uma vez que uma lente cilíndrica tem apenas a capacidade de reconverger a luz de um objeto para seu foco em uma direção, a luz na outra direção não é focalizada: ela aparece borrada como se não houvessem lentes ali. Com um objeto fonte como uma grade (assumindo-se

4 que um dos eixos da grade está alinhado com a orientação das lentes cilíndricas), apenas uma orientação das linhas - vertical ou horizontal será focalizada por tal lente. Se fizermos uso de duas lentes cilíndricas cruzadas (i.e., uma orientada ortogonalmente à outra, em nosso exemplo na horizontal ou vertical), poderemos focalizar a luz de ambas as orientações para algum local, mas os locais onde, digamos, as linhas verticais estão focalizadas serão de forma geral diferentes dos locais onde as linhas horizontais estão focalizadas. O local exato onde a lente focaliza a luz depende da posição relativa e da potência óptica individual. O diagrama a seguir mostra essa geometria óptica. A lente mais próxima ao objeto é uma lente cilíndrica de forma semelhante à um tubo vertical. Essa lente inclina a luz apenas na direção horizontal (para dentro ou para fora do plano desse diagrama); verticalmente, a luz de cada ponto na grade do objeto continua a se expandir. A segunda lente cilíndrica está orientada de forma que incline a luz apenas no eixo vertical. Uma vez que a lente está deslocada e tem uma potência diferente, os focos horizontal e vertical caem sobre diferentes planos no espaço. Essa é uma visão mais profunda da área ao redor dos focos:

5 Foco horizontal As linhas verticais da grade aparecem nítidas no foco da primeira lente cilíndrica vertical. Uma vez que as linhas verticais ainda não se convergeram completamente naquela profundidade, elas aparecem fora de foco. As linhas verticais representam os detalhes horizontais do objeto. O local onde esse detalhe horizontal é focalizado é chamado de foco horizontal do sistema óptico. Em sistemas de imagens tridimensionais, como hologramas de exibição, os detalhes horizontais (linhas verticais) fornecem ao cérebro humano informações que o mecanismo estereoscópico de análise de imagem pode utilizar para extrair a profundidade. Por essa razão, algumas vezes no referimos ao foco horizontal como o foco parallax. Foco vertical De maneira semelhante, o foco vertical é o local onde os detalhes verticais (linhas horizontais) aparecem nítidos. No plano de foco vertical, os raios de luz que se convergem no foco horizontal estão se divergindo e aparecem fora de foco. Na holografia de luz branca fora de eixo, o foco vertical é importante para a determinação do local onde as diferentes imagens de cor são focalizadas. Já que, de forma geral, os hologramas são iluminados por cima ou por baixo, a dispersão cromática (borrão de cor) em decorrência da difração ocorre principalmente na direção vertical. As linhas horizontais são mais vulneráveis à esse borrão de cores porque cada comprimento de onda está focalizado em diferente foco vertical. Por tal motivo, aqueles que trabalham com hologramas algumas vezes chama o foco vertical de foco de cores.

6 Plano de foco mais nítido A nitidez dos detalhes dos objetos varia de forma contínua em todo o espaço no sistema óptico de astigmatismo, assim como no sistema esférico. Uma vez que os focos horizontal e vertical estão em dois locais diferentes, não há posição no espaço onde todos os detalhes verticais e horizontais estão completamente nítidos. No entanto, em algum lugar entre os planos focais horizontal e vertical, a extensão da falta de nitidez horizontal e vertical será a mesma. Algumas vezes esse local é conhecido como o plano de foco mais nítido. Todos os detalhes do objeto original não estão completamente nítidos em nenhum plano, mas os detalhes verticais e horizontais estarão igualmente nítidos ou fora de foco (borrados) em algum local entre os dois focos.

7 Implicações para objetos tridimensionais O objeto de grade foi escolhido para os exemplos acima porque apresenta detalhes horizontais e verticais fortes e reconhecíveis e por ser bidimensional. Em holografia, estamos geralmente interessados na criação de objetos tridimensionais e não bidimensionais. As lentes (e seus equivalentes holográficos) continuam a trabalhar da mesma forma que os objetos tridimensionais: Linhas horizontais e verticais para o objeto tridimensional estão focalizadas no espaço além das lentes. No caso de astigmatismo, entretanto, as linhas verticais e horizontais estão deslocadas longitudinalmente uma da outra por uma distância proporcional ao sistema óptico do astigmatismo. No entanto, nada impede que os detalhes horizontais de uma parte do objeto se sobreponham aos detalhes verticais de outra parte. O astigmatismo afirma apenas que os detalhes horizontais e verticais da mesma parte do objeto não caiam no mesmo plano. Essa sobreposição de diferentes focos de diferentes partes do objeto pode algumas vezes dificultar ou confundir a análise visual de uma imagem astigmática projetada. Por que o astigmatismo acontece na holografia? Essa é uma pergunta difícil de ser respondida de forma intuitiva e não-analítica. Vamos começar qualificando nossa resposta considerando independentemente hologramas alinhados e hologramas fora de eixo. Hologramas alinhados Os hologramas alinhados, onde as referências, objetos e fontes de iluminação estão alinhados perpendicularmente à placa holográfica, geralmente não sofrem de nenhum tipo de astigmatismo. Não há assimetria entre os eixos horizontal e vertical do holograma. Se não podemos distinguir visualmente entre a configuração óptica observada de um lado ou observada de cima, não há como o holograma descobrir a diferença. O padrão formado, uma placa circular, não apresenta nenhuma orientação rotacional de preferência. Além do mais, qualquer alteração na distância de iluminação irá alterar da mesma forma as direções dos raios verticais e horizontais. Até mesmo uma alteração do comprimento de onda irá empurrar um pouco o ponto focalizado, mantendo-o simétrico com o centro do padrão de placa de zona de Gabor. Resumindo, não há como distinguir horizontal de vertical. (Hologramas alinhados podem sofrer de aberrações tais como aberrações esféricas. A distorção parece ser simétrica como o padrão de zona de placa).

8 Hologramas fora de eixo Os hologramas fora de eixo parecem ser vulneráveis ao astigmatismo, mas geralmente apenas quando ocorrem alterações entre a exposição e iluminação. Se o holograma for iluminado a partir da mesma posição que a fonte de referência, o comprimento de onda da iluminação corresponderá ao exposição e a placa e emulsão não serão afetados de forma estranha, a imagem de ordem m=1 aparecerá no local do objeto de forma horizontal e vertical (sem astigmatismo). O astigmatismo pode ocorrer em qualquer uma dessas alterações de parâmetros. Essa é uma idéia básica de por que o astigmatismo ocorre em holografia fora de eixo. O grande deslocamento angular das fonte de referência e objeto produz uma alta freqüência espacial na direção vertical da placa, mas um freqüência bem menor através dela de forma horizontal: além disso, o padrão básico de freqüências espaciais é simétrico lado a lado (já que o objeto é geralmente centrado horizontalmente com relação à placa) mas assimétrico verticalmente (o topo da placa pode estar em um ângulo diferente à fonte de referência ou iluminação do que a base da placa). Pior ainda, as alterações entre a iluminação de exposição são geralmente mais significativas na direção vertical do que na direção horizontal. Para compensar uma alteração no comprimento de onda, por exemplo, podemos alterar i ângulo de referência de iluminação. Essa alteração não muda muito o componente horizontal das direções do raio de luz incidindo sobre a placa, mas o componente vertical de todos os raios é alterado. As alterações do comprimento de onda também resultam em alterações assimétricas de foco: uma vez que é possível minimizar o astigmatismo para um comprimento de onda em holografia fora de eixo, é impossível eliminar o mesmo para todos os comprimentos de onda. O melhor que pode ser feito é prever os efeitos do astigmatismo e projetar nossas próprias configurações para minimizar as conseqüências. Notas As imagens são simuladas e não capturadas de forma óptica. As intensidades não são literais ao que você observa, mas elas transportam a idéia básica de borrão e foco. A ampliação das imagens com base na distância das lentes e intensidade de alterações que as acompanham são ignoradas nos diagramas e imagens. As regiões dos diagramas esquemáticos que mostram a luz passando pela grade do objeto através da lente e focando, assim como as imagens fora de foco nos diagramas são esquemáticas e não literais. Em particular, o borrão nos planos fora de foco ilustrados nos desenhos seriam muito mais graves do que os diagramas indicam. * Consulte a Seção de Leituras CMS