Óptica Geométrica. Óptica Geométrica (2ª aula) OpE - MIB 2007/2008. Aproximação da Óptica Geométrica. Espelhos. Espelhos planos. Espelhos esféricos

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1 Óptica Geométrica OpE - MIB 2007/2008 Óptica Geométrica (2ª aula) Aproximação da Óptica Geométrica Espelhos Espelhos planos Espelhos esféricos Espelhos asféricos Lentes Refracção em superfícies esféricas Lentes delgadas Aberrações OptGeo 2

2 Óptica Geométrica Aproximação da Óptica Geométrica: - Considera-se apenas o traçado de raios luminosos - Todas as dimensões (obstáculos, aberturas, objectos, etc) são >> l - Considera-se apenas as leis da reflexão e da refracção, sem entrar em consideração com a difracção OptGeo 3 Óptica Geométrica Não! A Óptica Geométrica explica tudo? - A fase da onda é desprezada. ~0 - O traçado de raios parece implicar que, se as aberrações fossem eliminadas, poder-se-ia focar um feixe óptico num ponto, obtendo-se uma resolução espacial infinitamente boa. Não! - A mancha focal mais pequena não é um ponto mas tem a dimensão de λ. O mesmo se passa com a resolução espacial de uma imagem. Tal deve-se à difracção, que não é considerada na óptica geométrica. >λ OptGeo 4

3 Óptica Geométrica Óptica geométrica (traçado de raios) é a versão mais elementar da óptica. Ray optics OptGeo 5 Traçado de raios axis - Raios luminosos são direcções no espaço, correspondendo, em geral, aos vectores k das ondas electromagnéticas. - Ignora-se a fase da onda. - Cada sistema tem um eixo óptico, e todos os raios de luz propagam-se com inclinações pequenas em relação a este eixo. Tal designa-se por Aproximação Paraxial. OptGeo 6

4 Óptica Geométrica (2ª aula) Aproximação da Óptica Geométrica Espelhos Espelhos planos Espelhos esféricos Espelhos asféricos Lentes Refracção em superfícies esféricas Lentes delgadas Aberrações OptGeo 7 Dispositivos Ópticos - Espelhos Terminologia e aproximações da Óptica Geométrica Foco ou Ponto Focal pontodo qual parte da onda luminosa diverge ou parao qual converge. Eixo Óptico eixo central através do dispositivo óptico. Princípio da Reversibilidade se fonte de luz e a imagem trocam entre si de posição, o percurso do feixe óptico permanece inalterado. Um objecto (no espaço objecto) está relacionado com uma imagem (no espaço imagem) como pontos conjugados (i.e., o objecto produz uma imagem bem definida em qualquer destes pontos). Imagem Real uma imagem luminosa apareceria se um alvo fosse colocado no foco-imagem. Imagem Virtual nenhuma imagem luminosa apareceria se um alvo fosse colocado no foco. OptGeo 8

5 Dispositivos Ópticos - Espelhos Espelhos Planos Diz-se que a imagem é virtual porque a luz não emana na realidade de P OptGeo 9 Dispositivos Ópticos - Espelhos Inversão da profundidade A inversão direita-esquerda da mão resulta da inversão de profundidade O espelho plano transforma um sistema de coordenadas direito ( $ i $ j = k$ ) num sistema de coordenadas esquerdo ( $ i $ j = k$ ) OptGeo 10

6 Dispositivos Ópticos - Espelhos Traçado de raios para localização da imagem Da figura conclui-se que: i) a imagem está à mesma distância atrás do espelho que o objecto à frente do mesmo; ii) a imagem está erecta (mesma direcção que o objecto) e tem o mesmo tamanho que o objeto. OptGeo 11 Dispositivos Ópticos - Espelhos Traçado de raios para localização da imagem P 1 é a imagem do objecto P no espelho 1; P 2 é a imagem do objecto P no espelho 2; P 1,2 é a imagem de P 1 no espelho 2, vista quando os raios vindos do objecto são reflectidos primeiro no espelho 1 e depois no espelho 2; A imagem P 2 não tem imagem no espelho 1 porqueestá atrás desse espelho. Imagem formada por 2 espelhos planos OptGeo 12

7 Dispositivos Ópticos - Espelhos Espelhos Esféricos Côncavo Convexo Imagem Virtual Imagem Real OptGeo 13 Dispositivos Ópticos - Espelhos Espelhos esféricos = ' s s r r < 0 r > 0 espelho côncavo espelho convexo Equação assume a aproximação paraxial. OptGeo 14

8 Dispositivos Ópticos - Espelhos Espelhos esféricos Se a distância objecto s = 8 distância imagem s = r / 2 Esta distância designa-se por distância focal f f < 0 f > 0 espelho côncavo espelho convexo = ' s s f Equação dos espelhos esféricos O ponto no qual os raios paralelos incidentes no espelho convergem designa-se por foco F. OptGeo 15 Dispositivos Ópticos - Espelhos Princípio da Reversibilidade Raios paralelos incidentes no espelho após reflexão convergem num ponto foco F. Raios divergindo de uma fonte pontual no foco F são reflectidos no espelho como raios paralelos. O percurso dos raios luminosos é o mesmo mas com direcções invertidas. OptGeo 16

9 Dispositivos Ópticos - Espelhos Traçado de raios para localização da imagem Para a construção das imagens usam-se 3 raios principais: 1. O raio paralelo Desenhado paralelo ao eixo óptico, é reflectido através do foco. 2. O raio focal Desenhado através do foco, é reflectido paralelamente ao eixo. 3. O raio radial Desenhado através do centrode curvatura C, incide perpendicularmenteao espelho e é reflectido na mesma direcção. A intersecção de qualquer destes dois raios localiza o ponto imagem do extremo superior do objecto. OptGeo 17 Dispositivos Ópticos - Espelhos Traçado de raios para localização da imagem Ampliação lateral ou transversa A razão entre as dimensões transversas da imagem e do objecto é a ampliação lateral ou transversa M T : ' ' y s MT = = y s OptGeo 18

10 Dispositivos Ópticos - Espelhos Convenção de sinais para espelhos esféricos GRANDEZA SINAL s + à esquerda de V, objecto real - à direita de V, objecto virtual s à esquerda de V, imagem real à esquerda de V, imagem virtual f espelho côncavo espelho convexo R C à direita de V, convexo C à esquerda de V, côncavo y acima do eixo, objecto não invertido abaixo do eixo, objecto invertido y acima do eixo, imagem não invertida abaixo do eixo, imagem invertida OptGeo 19 Dispositivos Ópticos - Espelhos Imagens de objectos reais formadas por espelhos esféricos CÔNCAVO OBJECTO IMAGEM Localização Tipo Localização Orientação Tamanho Relativo 8 > s > 2f Real f < s < 2f Invertida Reduzida s = 2f Real s = 2f Invertida Igual f < s < 2f Real 8 > s > 2f Invertida Aumentada s = f Real 8 s < f Virtual s > s Direita Aumentada CONVEXO OBJECTO IMAGEM Localização Tipo Localização Orientação Tamanho Relativo Qualquer Virtual s < f Direita Reduzida s > s OptGeo 20

11 Dispositivos Ópticos - Espelhos Espelhos asféricos Espelhos baseados em cónicas também focam raios paralelos para um determinado ponto: parabolóides, hiperbólicos e elípticos. Designam-se por espelhos asféricos. Espelho paraboloidal OptGeo 21 Óptica Geométrica (2ª aula) Aproximação da Óptica Geométrica Espelhos Espelhos planos Espelhos esféricos Espelhos asféricos Lentes Refracção em superfícies esféricas Lentes delgadas Aberrações OptGeo 22

12 Dispositivos Ópticos - Lentes Tipos de Lentes - Nomenclatura Lente é um sistema óptico constituído por dois ou mais dióptros, um dos quais pelo menos é curvo. Que tipo de lente usar (e como orientá-la) depende da aplicação e das suas características OptGeo 23 Dispositivos Ópticos - Lentes Refracção numa superfície esférica O princípio de Fermat garante que o percurso óptico é estacionário, donde para o raio em causa: ' ( PO) = npa+ nap 1 2 Da geometria da figura e da aproximação de pequenos ângulos (raios paraxiais) tem-se: n n n n + = s s r ' OptGeo 24

13 Dispositivos Ópticos - Lentes Foco objecto F o, distância focal objecto f o, foco imagem F i, distância focal imagem f i Foco objecto F 0 e distância focal objecto f 0 Foco imagem F 0 e distância focal imagem f 0 OptGeo 25 Dispositivos Ópticos - Lentes Convenção de sinais para dióptros esféricos GRANDEZA SINAL s s r, f + (objecto real): para objectos em frente da superfície (lado incidente) - (objecto virtual): paraobjectos atrás da superfície (lado transmissão) + (imagem real): para imagens atrás da superfície (lado transmissão) - (imagem virtual): paraimagensem frente da superfície (ladoincidente) + centro de curvatura situado no lado de transmissão (lente convergente) - centro de curvatura situado no lado de incidência (lente divergente) OptGeo 26

14 Dispositivos Ópticos - Lentes Lentes delgadas As lentes consideram-se delgadas quando a sua espessura é pequena comparada com a distância objecto e a distância imagem, bem como quando comparada com o seu diâmetro (altura). Quandotal não acontece as lentes designam-se por espessas. Refracção na 1ª superfície: Refracção na 2ª superfície: 1 n n 1 n 1 1 n + = + = ' ' s s r s s r ' = ' ( n 1) s s r1 r2 OptGeo 27 Dispositivos Ópticos - Lentes Lentes delgadas Como no caso dos espelhos, a distância focal f de uma lente delgada define-se como a distância imagem quando a distância objecto é infinito ( s = 8 s = f ) donde = = ( n 1) ( n 1) ' s s r1 r2 f r1 r2 Eq. dos fabricantes de lentes Eq. das lentes delgadas + = ' s s f ou fórmula de Gauss OptGeo 28

15 Dispositivos Ópticos - Lentes Traçado de raios para localização da imagem Para lentes convergentes (ou positivas) na construção das imagens usam-se 3 raios principais: 1. O raio paralelo Desenhado paralelo ao eixo óptico, o raio é refractado através do segundo foco. 2. O raio focal Desenhado através do primeiro foco, emerge paralelo ao eixo. 3. O raio central Desenhado através do centro (vértice) da lente, o raio não sofre deflecção. A intersecção destes três raios localiza o ponto imagem do extremo superior do objecto. OptGeo 29 Dispositivos Ópticos - Lentes Traçado de raios para localização da imagem Para lentes divergentes (ou negativas) na construção das imagens usam-se 3 raios principais: 1. O raio paralelo Desenhado paralelo ao eixo óptico, o raio diverge da lente como se viesse do segundo foco. 2. O raio focal Desenhado em direcção ao primeiro foco, emerge paralelo ao eixo. 3. O raio central Desenhado através do centro (vértice) da lente, o raio não sofre deflecção. O ponto imagem do extremo superior do objecto obtém-se como indicado na figura. OptGeo 30

16 Dispositivos Ópticos - Lentes Ampliação lateral ou transversa Está directamente relacionada com a direcção transversal: M T ' ' y s = = y s M T > 0 MT < 0 imagem não-invertida imagem invertida Todas as imagens reais formadas por lentes delgadas são invertidas!! Ampliação longitudinal Está directamente relacionada com a direcção axial; representa a razão entre as dimensões de um elemento linear (axial) no espaço imagem e as dimensões do elemento correspondente no espaço objecto: M L 2 f = = M ( s f ) Tal significa, por exemplo, que a imagem de um dedo apontado na direcção da lente, afasta-se da lente. 2 2 T OptGeo 31 Dispositivos Ópticos - Lentes Convenção de sinais para lentes delgadas e dioptros esféricos GRANDEZA SINAL s + objecto real - objecto virtual s imagem real imagem virtual f lente convergente lente divergente y objecto não invertido objecto invertido y imagem não invertida imagem invertida M T imagem não invertida imagem invertida OptGeo 32

17 Dispositivos Ópticos - Lentes Imagens de objectos reais formadas por lentes delgadas CONVEXA OBJECTO IMAGEM Localização Tipo Localização Orientação Tamanho Relativo 8 > s > 2f Real f < s < 2f Invertida Reduzida s = 2f Real s = 2f Invertida Igual f < s < 2f Real 8 > s > 2f Invertida Aumentada s = f 8 s < f Virtual s > s Direita Aumentada CÔNCAVA OBJECTO IMAGEM Localização Tipo Localização Orientação Tamanho Relativo Qualquer Virtual s < f Direita Reduzida s > s OptGeo 33 Dispositivos Ópticos - Lentes Combinações de lentes delgadas Quando se tem duas ou mais lentes, a imagem final produzida pelo sistema é obtida encontrando a distância imagem para a 1ª lente e usando-a, em conjunto com a distância entre lentes, para determinar a distância objecto para a 2ª lente; isto é, cada imagem, real ou virtual, formada ou não, é o objecto para a lente seguinte. Mostra-se que: onde s ' 2 s 1 distância objecto da lente 1 f 1 distância focal da lente 1 f 1 distância focal da lente 2 d distância entre as lentes ( ) ( ) fd fsf s f = d f sf s f Para um sistema de N lentes em contacto prova-se que: = + + L+ e M = M M L M f f f f 1 2 N T T1 T2 TN OptGeo 34

18 Dispositivos Ópticos - Lentes Combinações de lentes delgadas Duas lentes, cada uma com distância focal de 10 cm, estão afastadas de 15 cm. Localize a imagem final de um objecto distante 15 cm da 1ª lente. 1. Desenhar os raios paralelo (a), central (b) e focal (c). Se a lente 2 não alterasse estes raios, formar-se-ia uma imagem em I 1 (fig. a). 2. Notar que o raio focal (c) incide na lente 2 paralelo ao eixo, donde é refractado através do 2º foco da lente 2. Para se obter a imagem final, traçar um raio adicional (d), que passa através do 1º foco da lente 2 (intersectaria os outros raios em I 1 ) mas a lente 2 refracta-o paralelo ao eixo. A intersecção de (c) e (d) dá a localização da imagem (fig. b). (a) 3. Usando a equação das lentes delgadas, tem-se quea distância imagem para a lente 1 é s 1 = 30 cm. 4. Para a lente 2, a imagem I 1 está afastada 15 cm da lente no lado de trnsmissão, done s 2 = -15 cm. Aplicando a equação das lentes obtém-se a distância imagem final s 2 = 6 cm (b) OptGeo 35 Dispositivos Ópticos Parâmetros das lentes F-number O F-number, f/#, de uma lente é a razão da sua distância focal em relação ao seu diâmetro: f f f # = d f d 1 f d 2 f f / # = 1 f / # = 2 Lentes com um F-number maior colectam mais luz mas são mais difíceis de fabricar. OptGeo 36

19 Dispositivos Ópticos Parâmetros das lentes Profundidade de campo ( Depth of Field ) Apenas um plano está focado de cada vez. Todavia, quer-se que objectos próximos deste plano estejam quase focados. O intervalo de distâncias com foco aceitável designa-se por profundidade de campo. Depende de qual a porção da lente usada, isto é, da sua abertura. Objecto f Plano fora- -de-foco Imagem Dimensão da mancha no plano fora-de-foco Abertura Plano Focal Quanto menor a abertura, maior a profundidade de campo. OptGeo 37 Dispositivos Ópticos Parâmetros das lentes Exemplo de profundidade de campo Uma grande profundidade de campo nem sempre é desejável!!! f/32 (abertura muito pequena grande profundidade de campo) f/5 (abertura relativamente grande pequena profundidade de campo) Uma pequena profundidade de campo é também desejável em retratos.

20 Dispositivos Ópticos Parâmetros das lentes Abertura numérica- NA ( Numerical Aperture ) Um outro parâmetro caracterizando a dimensão da lente é a abertura numérica NA : é o producto do índice de refracção do meio e do ângulo do raio marginal. NA = n. sin (α ) α f Porquê esta definição? Porque a ampliação da lente pode provar-se ser a razão da NA nos dois lados da lente. Aberturas numéricas elevadas significa lente de grandes dimensões. OptGeo 39 Dispositivos Ópticos Aberrações em lentes Aberrações Aberrações são distorções que ocorrem nas imagens, em geral devido a imperfeições nas lentes; umas são evitáveis outras não. São de vários tipos: Aberração cromática Aberração esférica Astigmatismo Coma Curvatura do campo Pincushion e Barrel distortion A maioria das aberrações não pode ser modelada usando o traçado de raios. Os projectistas eliminam-nas ou reduzem-nas com recurso a sistemas de lentes de elementos múltiplos. OptGeo 40 20

21 Dispositivos Ópticos Aberrações em lentes Aberração cromática Porque os materiais de que são feitas as lentes têm diferentes índices de refracção para os diferentes comprimentos de onda da luz, as lentes apresentam também diferentes distâncias focais para cada comprimento de onda. Relembrando a fórmula dos fabricantes de lentes: 1/ f( λ) = ( n( λ) 1)(1/ R 1/ R ) 1 2 Na figura, dado o índice de refracção ser maior para a luz azul do que para a vermelha, assim a distância focal é menor para o azul do que para o vermelho. OptGeo 41 Dispositivos Ópticos Aberrações em lentes Aberrações esféricas O uso de superfícies esféricas traduz-se num melhor desempenho para uma gama mais alargada de ângulos na entrada. Todavia, raios fora-do-eixo vêem diferentes distâncias focais, donde as lentes esféricas tanbém apresentam aberrações. OptGeo 42

22 Dispositivos Ópticos Aberrações em lentes Astigmatismo Quando sistemas ópticos não apresentam simetria cilíndrica perfeita, diz-se que têm astigmatismo. Resulta de que quando o objecto pontual está afastado do eixo, o cone de raios incide na lente de modo muito assimétrico. Modeliza-se o astigmatismo fazendo análises separadas em x e em y. OptGeo 43 Dispositivos Ópticos Aberrações em lentes Coma Coma degrada a imagem de objectos pontuais não-axiais, ainda que próximos do eixo. A sua origem reside no facto de que os planos principais só são realmente planos na região paraxial, sendo de facto superfície curvas. Uma lente com coma considerável produz uma imagem nítida no centro do campo, tornando-se cada vez mais difusa e imprecisa em direcção às extremidades. OptGeo 44 22

23 Dispositivos Ópticos Aberrações em lentes Curvatura do campo Curvatura do campo é responsável por um objecto plano projectar uma imagem curva (não-plana). OptGeo 45 Dispositivos Ópticos Aberrações em lentes Pincushion (distorção positiva ou em almofada) e Barrel Distortion (distorção negativa ou em barril) OptGeo 46 23

24 Dispositivos Ópticos Aberrações em lentes Barrel Pincushion OptGeo 47