FUNDAMENTOS DE FILTRAGEM ESPACIAL. espectro de aplicações.

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1 FUNDAMENTOS DE FILTRAGEM ESPACIAL Filtragem espacial é uma das principais erramentas usadas para um largo espectro de aplicações. O nome iltro é emprestado do processamento no domínio da requência como iltro de passa-baia low-pass. Filtragem espacial realiza operação diretamente na imagem usando iltros espaciais também chamados de máscaras kernels templates e windows. Se a operação realizada sobre os piels é linear o iltro é chamado de iltro espacial linear caso contrário é chamado iltro não-linear.

2 A mecânica de iltragem espacial linear usando máscara de 33. A orma escolhida para denotar as coordenadas dos coeicientes da máscara de iltragem simpliica a escrita de epressões para iltragem linear.

3 A Fig. anterior ilustra a mecânica da iltragem linear espacial usando uma vizinhança 33. Em qualquer ponto a resposta g da iltragem é a soma de produtos dos coeicientes e as intensidades dos piels : w w g w w w w g Observa-se que o coeiciente central do iltro w00 alinha com o piel na posição. Em geral uma iltragem linear espacial de uma imagem MN com um iltro de tamanho Em geral uma iltragem linear espacial de uma imagem MN com um iltro de tamanho mn é dada por: a b t s t s w g onde e são variados tal que cada piel em w visite todos os piel em. a s b t t s t s w g

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5 CORRELAÇÃO E CONVOLUÇÃO ESPACIAIS Correlação é o processo de mover uma máscara de iltro sobre uma imagem e computar a soma de produtos em cada posição eatamente como eplicado i anteriormente. a b t s t s w w A convolução diere da convolução pela rotação do iltro de 180 o. a s b t a a s b b t t s t s w w A ig ilustra a dierença entre essas duas operações para uma unção 1D.

6 Ilustração de correlação e convolução 1-D de um iltro com um impulso unitário discreto. Note que correlação e convolução são unções de deslocamento.

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8 Correlação linha do meio e convolução última linha de um iltro 2D com um impulso unitário discreto 2D. Os 0s são mostrados em cinza para acilitar a análise visual.

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10 OBSERVAÇÕES Usar operações de correlação ou convolução para a iltragem espacial é uma questão de preerência. O importante é escolher uma máscara com os coeicientes adequados para que o resultado esperado seja obtido. Para uma máscara com os valores de coeicientes simétricos os resultados da correlação e convolução coincidem iltros isotrópicos ou invariantes a rotação. É comum encontrar termos como iltro de convolução máscara de convolução ou kernel de convolução na literatura de processamento de imagens denotando um iltro espacial sem necessariamente signiicar que o iltro seja usado para uma verdadeira convolução. A epressão convolver uma máscara com uma imagem é comumente usada para denotar um processo de correlação.

11 REPRESENTAÇÃO VETORIAL Quando o interesse está na resposta característica R de uma máscara é conveniente escrever a soma de produtos como R 2 w z w z w z mn mn mn w z k k k 1 w T z Para usar essa equação em correlação usa-se a máscara normalmente. Para usar a mesma equação para convolução rotacionamos a máscara de 180 o.

12 Uma representação de uma máscara de iltragem geral 33. R w1 z1 w2z2... w9 z9 9 w z k k k 1 w T z

13 GERAÇÃO DE MÁSCARAS DE FILTRO ESPACIAL A geração requer a especiicação de mn coeicientes do iltro. Esses coeicientes são especiicados levando em consideração que o papel do iltro é calcular a soma de produtos dos coeicientes com as intensidades de piels. Por eemplo supor que queiramos substituir os piels de uma imagem pela intensidade média de uma vizinhança 33 centrada nesses piels. O valor médio é a soma dos nove valores de intensidade dividido por 9 ou seja: R 1 9 z i 9 i 1 Em outras aplicações temos uma unção contínua de duas variáveis e o objetivo é obter uma máscara baseada nessa unção. Por eemplo a unção Gaussiana de duas variáveis tem a orma onde é o desvio padrão. h 2 2 e Para gerar uma máscara 33 dessa unção azemos a amostragem dessa unção em torno do centro. Assim w 1 =h-1-1 w 2 =h w 9 =h

14 FILTROS ESPACIAIS DE SUAVIZAÇÃO Os iltros de suavização são usados para borramento blurring e para redução de ruído. O borramento é usado em tareas de pré-processamento tais como remoção de pequenos detalhes de uma imagem antes da etração de objetos ou para coneão de pequenas interrupções em linhas ou curvas. A redução de ruído pode ser realizada azendo o borramento. Filtros toslineares eaesdesuav suavizaçãoação A saída de um iltro espacial linear de suavização é simplesmente a média dos piels contidos na vizinhança. Esses iltros são chamados de iltros de média ou iltros de passa-baia. A ideia dos iltros de suavização é a substituição de valores de cada piel pela média da sua vizinhança deinida pela máscara o que resulta numa imagem com reduzidas transições agudas em intensidades. Como os ruídos aleatórios normalmente são constituídos de transições agudas de intensidade uma aplicação óbvia da suavização é a redução de ruído. Contudo as arestas edges também consistem de transições agudas de intensidade implicando que a suavização gera um eeito indesejado de borrar as arestas.

15 Duas máscaras de iltragem de suavização média 33. O multiplicador constante é igual a 1 dividido pela soma dos valores dos coeicientes requeridos para computar a média. A segunda máscara calcula l uma média ponderada d o que implica na redução do borramento no processo de suavização.

16 a Imagem original i de tamanho b- resultado da suavização com iltros de média de tamanho m=35915e

17 a Imagem de tamanho piels do telescópio Hubble. b Imagem iltrada com uma máscara de média c Resultado da limiarização sobre b.

18 FILTROS ESTATÍSTICOS não lineares São iltros espaciais não-lineares cuja resposta é baseada na ordenação ranking dos piels contidos na área de imagem enquadrada pelo iltro e então substituir o valor do piel central com o valor determinado pelo resultado do ranking. O iltro mais conhecido nessa categoria é o iltro da mediana que substitui o valor de um piel pela mediana dos valores de intensidade na vizinhança do piel. Os iltros de mediana são populares porque para certos tipos de ruído eles produzem ecelente capacidade de redução com consideravelmente menos borramento que os iltros lineares de mesmo tamanho. Os iltros de mediana são particularmente eetivos na presença de ruídos impulsivos também chamados de ruídos sal-e-pimenta salt-and-pepper noise devido a aparência de pontos brancos e pretos sobrepostos na imagem.

19 MEDIANA A mediana de um conjunto de valores é tal que metade dos valores do conjunto são abaio ou igual a e metade são acima ou igual a. Para realizar a iltragem da mediana num ponto da imagem primeiro ordenamos os valores dos piels na vizinhança determinamos a sua mediana e atribuímos aquele valor ao piel correspondente na imagem iltrada. Por eemplo numa vizinhança 33 a mediana é o quinto maior valor; numa vizinhança 55 é o 13 0 valor; e assim por diante. Supondo que a vizinhança i 33 3 tem valores Esses valores ordenados são o que resulta na mediana 20.

20 a Imagem de raios-x de circuito impresso corrompido por ruído sal-e-pimenta. b Redução do ruído com uma máscara de média 33. c Redução do ruído com uma máscara de mediana 33.

21 OUTROS FILTROS ESTATÍSTICOS Embora a mediana seja um iltro mais usado em processamento de imagens eistem outros iltros como o iltro do máimo e o iltro do mínimo. O iltro do máimo ma ilter encontra o ponto mais brilhante. A resposta de um iltro 33 é dada por R = ma{z k k = } O iltro do mínimo min ilter é oposto ao máimo.

22 FILTROS ESPACIAIS DE SHARPENING O principal objetivo do sharpening é acentuar transições na intensidade. O uso de sharpening de imagens inclui iaplicações desde d a impressão eletrônica imagens médicas até inspeção industrial e automação em sistemas militares. Como a suavização de imagens é realizada usando a média que é análoga à integração o sharpening é realizado por dierenciação.

23 FUNDAMENTOS As derivadas de uma unção digital são deinidas em termos de dierenças. Eistem várias ormas de deinir essas dierenças contudo a primeira derivada deve ser: 1 zero em áreas de intensidade constante; 2 não-zero no começo de um degrau de intensidade ou de rampa; e 3 não-zero em rampas. e a segunda derivada deve ser: 1 zero em áreas constantes; 2 não-zero no início e im de um degrau de intensidade ou de rampas; e 3 zero ao longo de rampas de inclinação constante.

24 A deinição básica da derivada de primeira ordem e uma unção unidimensional é a dierença 1 A derivada d é parcial para usar a mesma notação quando consideramos unção de duas variáveis. A derivada de segunda ordem de é a dierença A ig ilustra essas duas derivadas.

25 Ilustração da primeira e segunda derivada de uma unção 1D peril de intensidade de uma imagem.

26 LAPLACIANO Estamos interessados em iltros isotrópicos ou invariantes a rotação para sharpening. O Laplaciano é um operador derivativo isotrópico que para uma unção de duas dimensões é deinido como Como derivadas de qualquer ordem são operações lineares o Laplaciano é um operador linear 2 2 operador linear. De orma discreta usamos a equação com duas variáveis: Portanto o Laplaciano é dado por: eq.3.6-6

27 a Máscara de iltro usada para implementar a eq b Máscara usada para implementar uma etensão dessa equação que inclui termos diagonais. c e d Duas outras implementações do Laplaciano encontrado requentemente na prática. ái

28 Devido o Laplaciano ser um operador derivativo o seu uso realça as descontinuidades de intensidade numa imagem e desenatiza regiões com níveis de intensidade que variam lentamente. Isso tende a produzir imagens que tenham linhas de arestas e outras descontinuidades superpostas no undo escuro. Os atores de undo podem ser recuperados mantendo os eeitos do Laplaciano simplesmente adicionando a imagem Laplaciana à imagem original. É importante considerar que máscara de Laplaciano é usada. Se a máscara usada tem o coeiciente central negativo então subtrai-se a imagem Laplaciana para obtenção do resultado: 2 g c onde e g são as imagens de entrada e realçada respectivamente. A constante é c = -1 se os iltros Laplacianos são da Fig.3.37 a ou b; e c = 1 caso sejam usados os outros dois iltros. Eq 3.6-7

29 a Imagem borrada do polo norte da Lua b Laplaciano sem escalaos valores negativos são apenas zerados c Laplaciano com escala soma de uma constante para que todos os piels se enquadrem em [0255] d Imagem realçada usando máscara da ig. 3.37a e equação e Resultado de uso da máscara da ig. 3.37b. e equação 3.6-7

30 UNSHARP MASKING E HIGHBOOST FILTERING O processo usado por muitos anos em indústrias de impressão e publicação para o realce de imagens consiste na subtração de uma imagem em versão suavizada unsharped smoothed da imagem original. Esse processo chamado unsharp masking consiste nos seguintes passos: 1 Borrar a imagem original 2 Subtrair a imagem borrada da original a dierença resultante é chamada de máscara 3 Adicionar a máscara à original. Chamando de a imagem borrada o unsharp masking é epresso como: g mask Então é adicionada uma porção ponderada da máscara à imagem original: g k. g mask onde um peso k positivo oi incluído para generalização. Quando k = 1 tem-se o unsharp masking deinido anteriormente. Quando k > 1 o processo é reerido como highboost iltering. Se k<1 enatiza-se pouco a contribuição da máscara.

31 Ilustração 1D do mecanismo de unsharp masking. a Sinal original b Sinal borrado com o original mostrado em pontilhado c Unsharp mask d Sinal realçado obtido somando c a a.

32 a Imagem original b Resultado de borramento com iltro Gaussiano c Máscara unsharp mask d Resultado de unsharp masking k = 1 c Resultado de highboost iltering k > 1 g k. g mask

33 SHARPENING USANDO GRADIENTE Para uma unção o gradiente é deinido como g grad Eq g Esse vetor tem a propriedade de apontar para a direção da maior taa de variação de na posição. A magnitude do vetor gradiente é denotado por M onde M 2 2 mag g g é o valor em da taa de mudança na direção do vetor gradiente.

34 Como os componentes do vetor gradiente são derivadas eles são operadores lineares. Contudo a magnitude desse vetor não é operador linear devido ao uso da raiz quadrada. Por outro lado as derivadas parciais da eq não são invariantes à rotação isotrópicas i mas a magnitude do vetor gradiente é. Em algumas implementações é mais adequado computacionalmente aproimar as operações quadrado e raiz quadrada por valores absolutos M g g Eq

35 Uma região 33 de uma imagem z s são intensidade b-c operadores de gradiente cruzada de Roberts d-e operadores de Sobel. Todos os coeicientes de máscaras somam zero como se espera de um operador derivativo.

36 a Imagem óptica de lente de contato notar os deeitos no contorno a 4 e 5 horas. b Gradiente de Sobel.

37 COMBINAÇÃO DE MÉTODOS ESPACIAIS A imagem da Fig. 3.43a é do escaneamento completo do corpo humano usado para detectar doenças tais como inecção no osso e tumores. O objetivo é melhorar essa imagem realçando e trazendo mais detalhes. O baio intervalo dinâmico dos níveis de intensidade e alto ruído contido torna diícil o melhoramento. A estratégia a ser seguida é utilizar o Laplaciano para ressaltar os detalhes inos e o gradiente para melhorar as arestas. Finalmente tenta-se aumentar o intervalo dinâmico dos níveis de intensidade usando uma transormação de intensidade. A Fig. 3.43b mostra o Laplaciano da imagem original obtida usando o iltro da Fig. 3.37d. Essa imagem oi escalada apenas para mostrar usando a mesma técnica da Fig. 3.38c. Podemos obter uma imagem realçada adicionando a Fig. 3.43a e b conorme Fig.3.43c onde é possível notar o realce de ruídos. Uma orma de reduzir ruído é usar o iltro da mediana. Contudo o iltro da mediana é um processo não linear capaz de remover atores da imagem. Isso é inaceitável em processamento de imagens médicas.

38 Um procedimento alternativo é usar a máscara ormada de uma versão suavizada do gradiente da imagem original. A motivação é baseada nas derivadas de primeira e segunda ordem. O Laplaciano sendo de segunda ordem tem vantagem de melhorar os detalhes porém causa a produção de mais ruídos que o gradiente. Esse ruído é mais visível em áreas mais suaves. O gradiente tem uma resposta mais orte em áreas de transições ortes rampas e degraus que o Laplaciano. A resposta do gradiente a ruído e detalhes inos é menor que o Laplaciano e pode ser ainda reduzida suavizando o gradiente com um iltro de média. A idéia é suavizar o gradiente e multiplicar o resultado pela imagem Laplaciana. Neste conteto pode-se ver o gradiente suavizado como uma máscara. O produto irá preservar detalhes em áreas mais intensas enquanto o ruído é reduzido em áreas relativamente planas. Esse processo é uma combinação dos melhores atores do Laplaciano e do gradiente. O resultado é adicionado à imagem original para obter uma imagem inal realçada Fig. 3.43d.

39 a Imagem do corpo completo b Laplaciano de a c Imagem realçada obtido somando a e b d Gradiente de Sobel de a

40 A Fig. 3.43d mostra o gradiente de Sobel da imagem original computado usando a eq Os componentes g e g oram obtidos usando as máscaras da Fig. 3.41d e e respectivamente. Como esperado as arestas são mais dominantes nessa imagem que na imagem Laplaciano. A Fig. 3.43e mostra uma imagem gradiente suavizada obtida usando um iltro de média de tamanho 55. As duas imagens gradientes oram escaladas para mostrar da mesma orma que a imagem Laplaciano. O produto da imagem Laplaciana e a imagem gradiente suavizada é mostrado na Fig Nota-se a predominância de arestas ortes e alta relativa de ruídos que é o nosso objetivo central. Adicionando a imagem produto à original resulta na Fig. 3.43g. O signiicante incremento no realce de detalhes é evidente incluindo costela coluna vertebral pelvis e crânio. Para aumentar o intervalo dinâmico a etapa inal é usar uma unção de transormação Fig.3.43h obtida com uma transormação de potência power-law eq com =05 e c =1.

41 e Imagem Sobel suavizada com um iltro de média Imagem de máscara ormada pelo produto de c e e g Imagem realçada obtida somando a e h Resultado inal obtido aplicando uma transormação de potência power-law sobre g. Comparar g e h com a

42 a b cd e gh Comparar a com g e h.