Transmissão de impulsos em banda-base

Transcrição

1 Transmissão de impulsos em anda-ase 3 Formatação de impulsos para cancelamento da interferência intersimólica 3.1 O critério de Nyquist. O espectro dorado. Impulsos de cosseno elevado

2 Interferência intersimólica A largura de anda dos canais de comunicação (linha telefónica, cao coaxial, etc.) é limitada e leva a que impulsos transmitidos sucessivamente a uma cadência análoga à da largura de anda acaem por se sorepor aos impulsos adjacentes, dificultando a identificação de cada um no receptor. Esta interferência intersimólica (ISI, intersymol interference ) é tanto maior quanto menor for a largura de anda do canal. 1 Sinal transmitido (antes do canal) 1 Sinal receido (depois do canal) T t T t ISI T 2T 3T t T 2T 3T t Instantes de amostragem Modos de comater a interferência intersimólica com impulsos com a forma adequada. usando a técnica de resposta parcial, que introduz uma quantidade controlada de ISI. com uma oa escolha do código de linha (um que ocupe pouca largura de anda) com um igualizador adaptativo no receptor. A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 2

3 Interferência intersimólica Diagrama de olho Uma representação gráfica útil do sinal que permite uma avaliação qualitativa imediata da interferência intersimólica é o diagrama de olho. O diagrama de olho otém-se, no osciloscópio ou no computador, sorepondo vários impulsos no mesmo intervalo de tempo. A intervalo de tempo de amostragem B margem de decisão sore o ruído C distorção dos cruzamentos por zero D declive (sensiilidade ao erro de temporização) E distorção máxima Quanto mais aerta for a aertura vertical do olho menor é a interferência intersimólica. Quanto mais aerta for a aertura horizontal do olho maior é a imunidade do receptor à fase de amostragem e ao jitter de temporização. A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 3

4 Mais diagramas de olho B1Q ASK de 4 níveis A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 4

5 Interferência intersimólica Impulsos com esta forma não provocam ISI: A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 5

6 Interferência intersimólica e igualização O canal com esta resposta impulsional introduz ISI: Resposta impulsional do canal h(t) t/t A ISI pode ser reduzida com um igualizador adaptativo: Sinal receido T T T c 0 c 1 c 2 c N-1 Gerador de sequência de treino Igualizador Decisor Erro - + Este é o efeito do igualizador adaptativo (eliminou a ISI): Resposta impulsional conjunta canal-igualizador t/t Este igualizador introduziu um atraso (aritrário) de 4T. A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 6

7 Interferência intersimólica e igualização Antes da igualização Depois da igualização A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 7

8 Interferência intersimólica e forma dos impulsos Na modulação discreta de impulsos a amplitude (PAM), duração (PDM) e posição (PPM) dos impulsos transmitidos varia de acordo com a sequência de dados a transmitir. Em anda-ase a modulação discreta mais eficiente é PAM (em termos de utilização de potência e largura de anda) pelo que nos vamos restringir a PAM no que se segue. Uma sequência de its { k } é gerada por uma fonte e aplicada ao sistema da figura. { k }={0, 1} {a k }={±1} Modulador PAM Filtro do emissor s(t) x(t) y(t) y(t i ) Canal Filtro receptor Decisor t i =it Duração de k : T h T (t) c(t) h R (t) 1 se y(t i )>λ Ruído ranco 0 se y(t i )<λ gaussiano w(t) + + Saída do emissor: s(t ) = a k h T (t kt ) k= h T (t) é a resposta impulsional do filtro do emissor. Saída do canal: x(t) = a k h c (t kt ) + w(t) (h c (t) = h T (t) c(t)) k= Saída do filtro receptor: y(t) =µ a k p(t kt ) + n(t) k= p(t) impulso a definir. Vamos normalizá-lo: p(0) = 1. µ factor de escala que reflecte o ganho do sistema. Deveria ter-se incluído um tempo de atraso mas fez-se t d = 0. A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 8

9 Interferência intersimólica e forma dos impulsos O impulso p(t) é o resultado de uma dupla convolução: µp(t) = h T (t) c(t) h R (t) Nas frequências temos: µp( f ) = H T ( f )C( f )H R ( f ) Amostrando o sinal y(t) nos instantes t i = it : y(t i ) =µ a k p [(i k )T ] + n(t i ) = k= =µa i p(0) + µ a k p (i k)t 1 k= k i Símolo a recuperar [ ] Interferência intersimólica + n(t i ) Ruído Sem ruído nem ISI (situação ideal): y(t i ) = µa i. Ruído e ISI provocam erros no dispositivo de decisão. Admitindo que a relação sinal-ruído é elevada, todos os erros são causados pela interferência intersimólica vamos ignorar n. (t i ) Qual é a forma dos impulsos completamente eliminada? p(t) para a qual a ISI é Como a função de transferência do canal e a forma do impulso transmitido são especificadas, o que precisamos é de determinar as funções de transferência dos filtros do emissor e do receptor. A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 9

10 A forma dos impulsos e o critério de Nyquist Para que não haja ISI é necessário que em cada instante de amostragem t i o sinal p(t) tenha cruzamentos por zero nos múltiplos inteiros não nulos de T, isto é, que p [(i k )T ]= 1 i = k 0 i k (*) Nesse caso, e se não houver ruído, y(t i ) = µa i em todos os instantes de amostragem. A equação (*) é o chamado critério de Nyquist e assegura a recepção perfeita na ausência de ruído. A amostragem no domínio dos tempos (antes do decisor) produz periodicidade no domínio das frequências. Logo, sendo { p(nt )}, n = 0,±1, ±2,, uma sequência de amostras a sua transformada de Fourier é P δ ( f ) = R P( f mr ), m= R = 1 T É a transformada de Fourier de p(t) e suas réplicas deslocadas. { } Mas como a sequência de amostras p(nt ) representa uma sequência de impulsos de Dirac espaçados de T segundos, n = p(nt )δ (t nt ) então tamém, por definição de transformada de Fourier, P δ [ ] ( f ) = p(nt )δ(t nt ) n= e j2πft dt Se p(t) satisfizer o critério de Nyquist (com n = i k ) então P δ ( f ) = p(0)δ (t)e j2πft dt = p(0)= 1 A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 10

11 A forma dos impulsos e o critério de Nyquist O espectro dorado Portanto, para que não haja interferência intersimólica nos instantes de amostragem a transformada de Fourier de p(t), P(f), deve satisfazer ou P δ ( f ) = R P( f mr ) =1 m= P( f mr ) = T (para qualquer f) (**) = const. m= ou ainda P( f) + P( f R ) + P( f + R ) + P( f 2 R ) + P( f + 2 R ) + = T = const. Não esquecer que P( f ) se refere ao conjunto emissor + canal + receptor, pois µ f ) = H. P( T ( f )C( f )H R ( f ) A equação (**) é a expressão do critério de Nyquist no domínio das frequências. Como, para qualquer P( f ), o espectro P ( f) é uma função periódica em f com período 1/T, sem perda de generalidade podemos confinar a nossa consideração desta função ao intervalo [ 12 T ;12T ] o chamado intervalo de Nyquist. δ Ao espectro P δ ( f ) = 1 ou a espectro dorado. m= P( f mr ) = T dá-se o nome de A dora ocorre na frequência 1 2T. A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 11

12 A forma dos impulsos e o critério de Nyquist Espectro dorado P(f) -1/T -1/2T 1/2T 1/T f Espectro do impulso p(t) A dora do espectro ocorre em 1 2T : P(f+1/T ) P(f-1/T ) P(f) -1/T -1/2T 1/2T 1/T f Espectro dorado P δ (f) Espectro dorado ideal P δ (f) Espectro dorado com vale P δ (f) Espectro dorado com zero 1/2T f 1/2T f 1/2T f a) ) Vários espectros dorados c) A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 12

13 A forma dos impulsos e o critério de Nyquist Isto não pode acontecer se desejarmos ISI nula. Tem de haver soreposição. P(f+R ) P(f) P(f-R ) R 0 W R -W R R +W f Para que a interferência intersimólica seja nula no decisor os impulsos devem oedecer às duas condições seguintes, que decorrem do critério de Nyquist P( f mr ) = T : m= 1. Se se transmitirem impulsos com um déito inário de R símolos/s por um canal passa-aixo rectangular este deve ter uma largura de anda de, pelo menos, W = R 2 = 1 hertz. 2T Porquê? Porque se R W < não há soreposição de P( f) com 2 P f ± mr ) e o somatório P f mr ) deixa de ser constante. ( m= ( 2. (Teorema da simetria vestigial) A função de transferência do canal de comunicações deve possuir simetria ímpar em relação à 1 frequência W = Hz. 2T Exemplos de impulsos que satisfazem estas condições: Impulso de seno cardinal Ocupa a largura de anda mínima mas é irrealizável! Impulso de cosseno elevado com factor de roll-off. É o mais usado. A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 13

14 O impulso de seno cardinal e o canal ideal de Nyquist A maneira mais simples de satisfazer (**) é considerar a função rectangular nas frequências 1 1 f W < f < W P( f ) = rect = 2W 2W 2W 0 f > W -W 1/2W P(f) W f em que W = R 2 = 1 para que P( f ), P( f ± R ), P( f ± 2 R ), etc., não 2T se soreponham e a sua soma dê um valor constante, T. R = 2W taxa de Nyquist W largura de anda de Nyquist Nos tempos: sen2πwt t pt () = = sinc2wt= sinc πwt T 2 Mas isto é um seno cardinal! O sistema de transmissão caracterizado por um seno cardinal (nos tempos) ou por um impulso rectangular (nas frequências) chama-se canal ideal de Nyquist. O impulso p(t) pode ser encarado como a resposta impulsional de um filtro passa-aixo ideal com resposta em amplitude 1 2W e largura de anda W. A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 14

15 O impulso de seno cardinal e o canal ideal de Nyquist Nos tempos 1 p(t) senπtt pt () = sinctt = πtt t/t -0.5 Nas frequências T P(f) -1/2T 0 1/2T f Duas dificuldades com o canal ideal de Nyquist: 1. O espectro de amplitude P(f) deve ser constante de -W a W e nulo fora desse intervalo irrealizável! 2. A função p(t) decresce com 1 para t elevado, isto é, as t caudas do seno cardinal decaem devagar seria preciso extrema precisão nos instantes de amostragem. Solução alternativa: o impulso de cosseno elevado (com 1 1 W ) 2T T A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 15

16 Outros impulsos satisfazendo o critério de Nyquist Nos tempos 1 p(t) - T /2 0 T /2 t Nas frequências P(f) P( f) = T sinc ft T T /2-1/T 1/T f 0 1/2T Estes impulsos tamém não introduzem ISI (pois não?): P(f) Nas frequências P(f) T T T /2 T /2 f -1/T -1/2T 0 1/2T 1/T f -1/T -1/2T 0 1/2T 1/T A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 16

17 A forma dos impulsos e o critério de Nyquist Nos tempos: O impulso de cosseno elevado p(t) = sinc t T cosαπ t T 1 4α 2 t 2 T 2 (α factor de roll-off ) p(t) α=0 α=1 α=0,5 t -3T -2T -T 0 T /2 T 2T 3T Nas frequências: T T P( f ) = 2 1 sen πt α 0 f 1 α 2T f 1 1 α f 1 + α 2T 2T 2T 0 f > 1 + α 2T T T /2 P(f) α=0,5 α=0 α=1-1/t -1/2T 0 1/2T 1/T f Largura de anda ocupada: B = 1 2T (1+ α ) A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 17

18 O prolema dos erros de temporização com o impulso de seno cardinal Os impulsos de senos cardinais são pouco resistentes aos erros de temporização. Estes provocam overshoots de valores eventualmente elevados (teoricamente até podem ter valor infinito) que originam interferência intersimólica. Os overshoots podem produzir valores pico-a-pico do sinal desnecessariamente elevados (só os instantes de amostragem nos interessam e afinal os picos ocorrem fora deles). Suponhamos que existe um erro de temporização t : em vez de a amostragem no receptor se fazer no instante t = t i faz-se no instante t = ti + t. O que acontece? Para simplificar vamos supor que t i = 0 e que não existe ruído. Então no instante t a entrada do decisor vale: y( t) = µ a k k= p( t kt ) = µ k= a k t kt sinc T Utilizando a expressão do seno da soma de dois ângulos (sen( a + ) = sena cos + cos a sen ) otemos: y( t) = µ a 0 sinc µ ( ) ( ) t T + sen π t T π k= k 0 ( 1) t T k a k k A série pode divergir (isto é, o somatório pode ser muito elevado), provocando decisões erradas no receptor devidas a ISI! A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 18

19 Erro de temporização com senos cardinais Exemplo com uma sequência de senos cardinais de amplitudes {1, 1, -1, 1} Sequência inária: Overshoot t/t Neste exemplo o sinal resultante da soma dos vários impulsos de Nyquist atinge um pico superior a 1,5, ou seja, superior ao valor desejado (+1) em mais de 50%. Com outras sequências inárias a interferência intersimólica nos instantes maior! t = ti + t poderá ser menor mas tamém poderá ser muito A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 19

20 O receptor óptimo com ruído e ISI Consideremos o diagrama de locos haitual: { k }={0, 1} {a k }={±1} Modulador PAM Filtro do emissor s(t) x(t) y(t) y(t i ) Canal Filtro receptor Decisor t i =it Duração de k : T h T (t) c(t) h R (t) 1 se y(t i )>λ Ruído ranco 0 se y(t i )<λ gaussiano w(t) + + Vimos já que na presença de ruído AWGN e sem interferência intersimólica (ISI) o receptor óptimo é constituído por um filtro adaptado aos impulsos receidos. Vimos tamém que sem ruído e apenas com ISI o filtro gloal (emissor/receptor) deve formatar os impulsos como cossenos elevados ou como impulsos de resposta parcial. E se houver ruído e ISI ao mesmo tempo? A resposta é mais complexa e resume-se no que se segue (ver Haykin, 4ª edição). Nesse caso o receptor óptimo é aquele cuja função de transferência é H R ( f ) = S h c H C ( f ) + ( f ) N 0 2 em que: 1 2 Sh c ( f ) = H C ( f + k T ) representa a densidade espectral T k de potência da sequência de valores { h c ( kt )}. H C ( f ) = HT ( f ) C( f ) (pois hc ( t) = ht ( t) c( t) ) N 0 2 é a densidade espectral de potência do ruído gaussiano. A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 20

21 O receptor óptimo com ruído e ISI A resposta em frequência do filtro linear óptimo H R ( f ) = S h c H C ( f ) + ( f ) N 0 2 é periódica com período T, dada a periodicidade de ( f. Sh c ) Esta resposta pode ser interpretada como a ligação em cascata de dois componentes: 1. um filtro adaptado de resposta impulsional h c ( t). 2. um filtro (igualizador) transversal cuja resposta em frequência é o inverso de S h f ) + N 2. ( c 0 Receptor óptimo H C ( f ) h c (-t) Filtro adaptado 1 ( f ) Sh c + N 0 2 Igualizador transversal Para realizar H R ( f ) rigorosamente o igualizador teria de ter um número infinito de coeficientes. Na prática usa-se um número finito (suficientemente grande) de coeficientes. A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 21

22 O receptor óptimo com ruído e ISI Em determinadas aplicações o canal de comunicação tem características variáveis. Na transmissão telefónica, por exemplo, o canal é diferente de assinante para assinante. As características do canal poderão até ser variáveis no tempo. É o caso das transmissões de rádio, incluindo as comunicações móveis. Isto significa que um filtro transversal com coeficientes fixos não é o melhor nestas situações. O que de facto se usa hoje em dia, invariavelmente, é um igualizador adaptativo. Trata-se de um igualizador cujos coeficientes variam no tempo de acordo com um determinado algoritmo de aprendizagem cujo ojectivo é minimizar o valor quadrático de um certo erro (designado em inglês por mean square error, ou MSE). A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 22