Capítulo 4 Resposta em frequência

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1 Capítulo 4 Resposta em frequência 4.1 Noção do domínio da frequência 4.2 Séries de Fourier e propriedades 4.3 Resposta em frequência dos SLITs 1

3 4.1 Noção do domínio da frequência Existem alguns sinais, como fala, música, imagens, para os quais não é fácil obter uma representação adequada Nessas situações representam-se os sinais como composições de sinais mais simples, que podem ser facilmente modelados Vamos introduzir a representação desses sinais no domínio da frequência Vamos mostrar que um sinal arbitrário pode ser descrito como a soma de sinais sinusoidais 3

4 4.1 Noção do domínio da frequência Frequência é o inverso do Período A unidade é o Hertz (Hz) e representa ciclos por segundo Frequência angular: ω=2πf e representa-se em radianos por segundo 4

5 4.1 Noção do domínio da frequência Um sinal sinusoidal além da frequência possui outra característica importante que é a fase A fase pode ser vista como a definição do ponto inicial do sinal Exemplo: Usamos a diferença de fase nos nossos dois ouvidos para ajudar a localizar a origem de um som 5

6 4.1 Noção do domínio da frequência As imagens podem ser igualmente decompostas Uma imagem sinusoidal tem uma frequência espacial em vez de uma frequência temporal 6

7 4.1 Noção do domínio da frequência Um sinal finito de duração p pode ser usado para definir um sinal periódico com período p Dado um sinal finito y:[a,b] Reais, podemos definir y :Reais Reais t Reais, y( t) y'( t) = 0 se t [ a, b] outros casos O sinal periódico é dado por onde o período p=b-a + m= x ( t) = y'( t mp) 7

8 4.1 Noção do domínio da frequência Esta propriedade é denominada por shift-and-add summation + m= x ( t) = y'( t mp) 8

10 4.2 Séries de Fourier e propriedades Um sinal periódico x: Reais Reais com período p Reais pode ser descrito como x( t) = A Ak cos( kω0t + φk ) k= 1 Esta representação é denominada de expansão em série de Fourier Os valores particulares de A k e de φ k dependem de x(t) A frequência ω 0 é denominada a frequência fundamental e definida por ω 0 =2πf Na maior parte dos sinais os A k tornam-se pequenos, ou mesmo zero, para valores elevados do k, podendo-se usar uma aproximação através de uma soma finita com K termos 10

11 4.2 Séries de Fourier e propriedades Exemplo Onda quadrada Fenómeno de Gibb Descontinuidade Representação no domínio da frequência Amplitude e frequência de cada componente sinusoidal Necessário também a representação da fase 11

12 4.2 Séries de Fourier e propriedades Onda triangular 12

13 4.2 Séries de Fourier e propriedades A expansão em série de Fourier necessita de obedecer a um conjunto de condições de convergência Convergência uniforme x(t)-x N (t) < ε Convergência em erro quadrático médio p p 2 2 ( ) ( ) lim xt ( ) x ( t) dt= 0 xt ( ) dt< N o N o Condições de Dirichlet x(t) é absolutamente integrável, num período x(t) possui um número finito de máximo e mínimos, num período x(t) é contínuo num período, execpeto num nº finito de pontos 13

14 4.2 Séries de Fourier e propriedades Quando falamos do conteúdo em frequência de um sinal, é algo que é único e bem definido A representação em série de Fourier aplica-se a sinais periódicos ou a sinais finitos Um sinal não periódico pode ser seccionado em segmentos finitos, podendo-se construir uma série de Fourier para cada segmento Exemplo: Considere um apito de um comboio 14

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16 4.2 Séries de Fourier e propriedades Aproximação em Série de Fourier para imagens Suponha que o domínio de uma imagem é [a,b]x[c,d] Reais x Reais Sejam p H =b-a e p V =d-c os períodos horizontal e vertical para a imagem periódica equivalente As frequências fundamentais são definidas por ω H =2π/p H e ω V =2π/p V A representação em série de Fourier da Imagem: [a,b] x[c,d] Intensidade é Imagem( x, y) = + k= 0 + m= 0 A k, m cos( kω x + φ )cos( mω y + φ ) H k V m 16

17 4.2 Séries de Fourier e propriedades Expressão através da exponencial A série de Fourier é normalmente expressa através de exponenciais complexas As exponenciais complexas são funções próprias (eigenfunctions) dos SLITs, que ao decompormos um sinal em exponenciais, estas são apenas escaladas ao serem processadas pelo sistema Expressão normalmente usada para a série de Fourier + k= jkω t 0 t Reais, x( t) = X k e Os coeficientes da série de Fourier são simétricos conjugados * X k = X k As frequências negativas balançam as positivas de modo que a soma resultante seja real 17

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19 4.2 Séries de Fourier e propriedades Série de Fourier Discreta A decomposição dos sinais discretos em componentes sinusoidais é semelhante ao caso contínuo As unidades de frequência são ciclos por amostra ou radianos por amostra Consideremos um sinal discreto x(n) com período p A representação em série de Fourier discreta é definida através de n Inteiros, x( n) = p 1 k= 0 X k e jkω n 0 A soma é finita, dado que os sinais discretos não podem representar frequências acima de uma dado valor Esta representação pode ser calculada de uma forma eficiente através da Fast Fourier Transform (FFT) 19

20 4.2 Séries de Fourier e propriedades Coeficientes da série de Fourier Uma fórmula geral para calcular os coeficientes da série de Fourier para um sinal contínuo periódico m Inteiros, X m = 1 p p 0 x( t) e jmω t 0 dt Uma fórmula geral para calcular os coeficientes da série de Fourier para um sinal discreto periódico k Inteiros, X k = 1 p p 1 m= 0 x( m) e jmkω0 20

21 4.2 Séries de Fourier e propriedades Exemplo: Mostre que os coeficientes da série de Fourier da onda quadrática contínua da figura são dados por 21

22 4.2 Séries de Fourier e propriedades Exemplo: Mostre que os coeficientes da série de Fourier da onda quadrática discreta da figura são dados por 22

23 Coeficientes da Série de Fourier de sinais contínuos periódicos Coeficientes da Série de Fourier de sinais discretos periódicos 23

24 Propriedades da Série de Fourier de sinais contínuos periódicos Propriedades da Série de Fourier de sinais discretos periódicos 24

25 Exemplos 4.2 Séries de Fourier e propriedades -T x 1 (t) 1 T t + 1( t) = δ ( k= x t kt ) 1 a k = T x 2 (t) 1 -T/2 T/2 -T -T 1 T 1 T t x 1 ( t) = 0 t < T 1 2 T T1 < t < 2 b k 2T1 = T sin( kω ) 0T1 kπ k k = 0 0 x 3 (t) 1 T 1 -T -T/2 T/2 T t + 3( t) = δ ( t + T1 kt) δ ( t T1 k= x kt) 2 jsin( kω T1 ) c k = 0 T 25

26 Exercício 4.2 Séries de Fourier e propriedades Considere os coeficientes da série de Fourier de um sinal contínuo que é periódico com período 4. Determine o sinal x(t). a) a k = j k 0 sin( kπ / 4) kπ k k = 0 0 b) 1 a k = 2 k par k ímpar 26

28 4.3 Resposta em frequência dos SLITs Modelos de espaço de estados são precisos e concisos, mas não tão potentes como a resposta em frequência Para um SLIT a resposta em frequência revela bastante acerca da relação entre o sinal de entrada e o sinal de saída Os SLITs podem ser descritos por modelos de espaço de estados, através de equações à diferença e equações diferenciais Mas modelos de espaço de estados podem descrever também sistemas que não são SLITs Portanto modelos de espaço de estados são mais poderosos, mas com inferiores técnicas de desenho e de análise 28

29 4.3 Resposta em frequência dos SLITs Dada uma sinusóide na entrada, a saída do SLIT é uma sinusóide com a mesma frequência mas possivelmente com uma fase e amplitude diferentes Dado um sinal de entrada que é descrito como uma soma de sinusóides de certas frequências, a saída pode ser descrita como uma soma de sinusóides com a mesma frequência mas com a fase e amplitudes possivelmente modificadas em cada frequência Se a entrada para um SLIT contínuo é e jωt então a saída é H(ω)e jωt, onde H(ω) é uma constante que depende da frequência ω da exponencial complexa. Quando a saída do sistema é apenas uma versão escalada da entrada, a entrada é denominada de função própria (eigenfunction) 29

30 4.3 Resposta em frequência dos SLITs Quando na entrada temos t Reais, x(t)=e jωt A saída é definida por t Reais, y(t)=h(ω )e jωt A função H:Reais Complexos é denominada resposta em frequência Define a resposta de um SLIT a uma entrada exponencial complexa numa dada frequência Define a ponderação que o sistema impõe nessa exponencial complexa 30

31 4.3 Resposta em frequência dos SLITs No caso dos sistemas discretos é semelhante Quando na entrada temos n Inteiros, x(n)=e jωn A saída é definida por n Inteiros, y(n)=h(ω )e jωn A função H:Reais Complexos é denominada resposta em frequência Existe uma diferença fundamental entre o discreto e o contínuo e jωn =e j(ω+2π)n =e j(ω+4π) n logo ω Reais, H(ω)= H(ω+2Kπ) Define a resposta em frequência de um SLIT discreto como sendo periódica com período 2π 31

32 4.3 Resposta em frequência dos SLITs Exemplo: Considere um sistema discreto definido pela equação às diferenças n Inteiros, y(n)=(x(n)+x(n-1))/2 Assumindo que a entrada é dada por n Inteiros, x(n)=e jωn e que a saída tem a forma obtemos n Inteiros, y(n)=h(ω )e jωn H(ω)e jωn =(e jωn +e jω(n-1) )/2 Resolvendo em ordem a H(ω) obtemos ω Reais, H(ω)=(1+ e -jω )/2 32

33 4.3 Resposta em frequência dos SLITs Exemplo: Considere um sistema contínuo com entrada x e saída y relacionadas pela equação diferencial t Reais, RC dy(t)/dt + y(t)=x(t) Assumindo que a entrada é dada por t Reais, x(t)=e jωt e que a saída tem a forma t Reais, y(t)=h(ω )e jωt obtemos RCjωH(ω )e jωt +H(ω )e jωt =e jωt ou seja, ω Reais, H(ω)=1/(1+jRCω) 33

34 4.3 Resposta em frequência dos SLITs Equação às diferenças linear Considere um sistema descrito por uma equação às diferenças linear n Inteiros, a 0 y(n)+a 1 y(n-1)+...+a N y(n-n) =b o x(n)+b 1 x(n-1)+...+b M x(n-m) Os coeficientes podem ser reais (ou complexos) Assumindo que a entrada é dada por x(n)=e jωn e que a saída tem a forma y(n)=h(ω )e jωn obtemos ou seja, a 0 H(ω )e jωn +a 1 H(ω )e jω(n-1) +...+a N H(ω )e jω(n-n) =b o e jωn +b 1 e jω(n-1) +...+b M e jω(n-m) ω Reais, b H ( ω) = a b e 1 + a e 1 jω jω b M a N e e jmω jnω 34

35 4.3 Resposta em frequência dos SLITs Equação diferencial Considere um sistema descrito por uma equação diferencial N d y dy d x dx t Reais, an ( t) a1 ( t) + a0 y( t) = bm ( t) b1 ( t) + b0 x( t) N M dt dt dt dt Os coeficientes podem ser reais (ou complexos) Assumindo que a entrada é dada por x(t)=e jωt e que a saída tem a forma y(t)=h(ω )e jωt obtemos a N (jw) N H(ω)e jωt +...+a 1 (jw)h(ω)e jωt +a 0 H(ω)e jωt =b M (jw) M e jωt +...+b 1 (jw)e jωt +b 0 e jωt ou seja, ω Reais, b H ( ω) = a M N ( jω) ( jω) M N b a 1 1 M ( jω) + b ( jω) + a

36 4.3 Resposta em frequência dos SLITs Pode-se exprimir uma relação entre sinusóides e a exponencial complexa cos(ωt)=(e jωt +e -jωt )/2 Se for este o sinal de entrada para um SLIT com resposta em frequência H(ω) então a saída será y(t)=(h(ω)e jωt + H(-ω)e -jωt )/2 Quando a entrada é real normalmente a saída de um SLIT é também real, o que implica que H(ω)= H * (-ω) Esta propriedade é denominada de simetria conjugada 36

37 4.3 Resposta em frequência dos SLITs A resposta em frequência de um sistema real (cujos sinais de entrada e de saída são reais) é simétrica conjugada Quando a entrada for x(t)=cos(ωt) a saída será t Reais, y(t)=re{h(ω)e jωt } Escrevendo H(ω) na forma polar H ( ω) = H ( ω) e j H ( ω ) permite-nos obter a saída como t Reais, y( t) = H ( ω) cos( ωt + H ( ω)) H(ω ) consiste de um ganho H(ω) e de uma fase H(ω) que o sinal de entrada sinusoidal de frequência ω sofre. 37

38 4.3 Resposta em frequência dos SLITs Exemplo: Considere um sistema, que realiza um atraso T, definido como y(t)=x(t-t) Assumindo que a entrada é dada por t Reais, x(t)=e jωt e que a saída tem a forma t Reais, y(t)=h(ω )e jωt obtemos H(ω)=e -jωt em que H(ω) =1 e H(ω)= -ωt Uma entrada na forma de coseno gera na saída um coseno da mesma amplitude e com um deslocamento de fase Um filtro com uma resposta em amplitude unitária e constante é denominado filtro passa-tudo 38

39 4.3 Resposta em frequência dos SLITs Exemplo: Considere o sistema discreto definido pela equação às diferenças n Inteiros, y(n)=(x(n)+x(n-1))/2 A resposta em frequência H(ω) é dada por ω Reais, H(ω)=(1+ e -jω )/2 A resposta de frequência em amplitude é dada por H(ω) = (1+ e -jω )/2 Este sistema tem um comportamento de um filtro passa-baixo 39

40 4.3 Resposta em frequência dos SLITs A resposta em frequência diz-nos tudo o que precisamos saber sobre um sistema Podemos passar a representar um SLIT através da sua resposta em frequência, em lugar da representação entrada/saída, modelo de espaço de estados, da resposta impulsiva,... 40

41 4.3 Resposta em frequência dos SLITs Exemplo Suponha-se que a resposta em frequência H de um SLIT discreto é dada por H(ω)=cos(2ω) Consideremos o sinal de entrada 1 x( n) = 1 ímpar que pode escrito como x(n)=cos(πn) A saída é dada por Ou seja o sistema não altera a entrada n n par y ( n) = H ( π ) cos( πn + H ( π )) = cos( πn) = x( n) 41

42 4.3 Resposta em frequência dos SLITs Exemplo Suponha-se que a resposta em frequência H de um SLIT discreto é dada por H(ω)=cos(2ω) Consideremos o sinal de entrada x(n)=5 que pode escrito como x(n)=5cos(0n) A saída é dada por y ( n) = H (0) 5cos(0n + H (0)) = 5 = x( n) Ou seja o sistema não altera a entrada 42

43 4.3 Resposta em frequência dos SLITs Exemplo Suponha-se que a resposta em frequência H de um SLIT discreto é dada por H(ω)=cos(2ω) Consideremos o sinal de entrada x(n)=cos(πn/2) A saída é dada por y( n) = H ( π / 2) cos( πn / 2 + H ( π / 2)) = cos( πn / 2 + π ) = cos( πn / 2) = x( n) Ou seja o sistema inverte a entrada 43

44 4.3 Resposta em frequência dos SLITs Exemplo Suponha-se que a resposta em frequência H de um SLIT discreto é dada por H(ω)=cos(2ω) Consideremos o sinal de entrada x(n)=cos(πn/4) A saída é dada por y( n) = H ( π / 4) cos( πn / 4 + H ( π / 4)) = 0 Ou seja o sistema anula a entrada 44

45 4.3 Resposta em frequência dos SLITs Resposta em frequência para séries de Fourier No caso das séries de Fourier representámos o sinal de entrada como + = 0 t Reais, x( t) = X k e onde ω 0 =2π/p A saída do SLIT para a entrada periódica é representada por, y( t) = H ( k 0 k= k jkω t jkω t 0 t Reais ω ) X k e Para um SLIT, se a entrada é dada pela soma de exponenciais complexas, a saída é dada pela soma das mesmas exponenciais, cada uma escalada pela resposta em frequência, avaliada na frequência correspondente 45

46 4.3 Resposta em frequência dos SLITs Todas as componentes de frequência da saída estão na entrada A saída consiste das mesmas componentes em frequência da entrada em que cada componente aparece escalada Os SLITs podem ser usados para ampliar ou suprimir certas componentes de frequência, operação denominada de filtragem A resposta em frequência caracteriza quais as frequências que são ampliadas ou suprimidas e também quais os deslocamentos de fase impostos pelo sistema nas componentes individuais 46