Sinais e Sistemas. Série de Fourier. Renato Dourado Maia. Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros. Fundação Educacional Montes Claros

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1 Sinais e Sistemas Série de Fourier Renato Dourado Maia Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros Fundação Educacional Montes Claros

2 Lembremos da resposta de um sistema LTI discreto a uma exponencial complexa: ω x[ n] = z, z é um número complexo z = e, x[ n] = e n j jωn Assim: n n yn [ ] = h [ ] xn [ ] = h [ ] z = z h [ ] z = = = + Tomando H( z) = h [ ] z = yn [ ] = H( zz ) n n x[ n] = az y[ n] = ah( z) z n 2/25

3 Quando um sinal discreto é periódico? Um sinal é discreto é periódico se existe uma constante positiva N, tal que: xn [ ] = xn [ + N], n O MENOR VALOR PARA N QUE SATISFAÇA À EQUAÇÃO É CHAMADO DE PERÍODO FUNDAMENTAL N. ω = 2π é a frequência fundamental de x[ n] em radianos N 3/25

4 Lembrando do conjunto de harmônicas para o caso discreto: j (2 π N ) n [ n] e,, 1, 2,... φ = = ± ± j( + )(2 ) (2 ) 2 [ ] N π N n j π N n j πn N n e e e φ[ n] φ+ = = = HÁ N HARMÔNICAS DISTINTAS!!! 4/25

5 Analogamente ao caso contínuo: jωn x[ n] = ae é um sinal periódico, com período N =< N> Representação em Série de Fourier para um sinal discreto periódico: Forma Exponencial O somatório é feito num intervalo de tamanho N em função de haver N harmônicas distintas... O somatório pode ir de até N-1, de 3 até N+2, e assim sucessivamente. a = a periodicidade + N 5/25

6 DTFS de um Sinal Discreto Periódico a xn [ ] = = 1 N =< N> n=< N> ae x[ ne ] jω n jω n Equação de Síntese Equação de Análise { a} coeficientes da Série de Fourier ou coeficientes espectrais Quantificam a contribuição de cada uma das N harmônicas. 6/25

7 Exemplo a a 1 1 a Relação de Euler: 1 = 2 j 1 = 2 j x[ n] = sen( ωn) 1 ω 1 x[ n] = sen( ωn) = e e 2j 2j j n jω n =, para os demais coeficientes considerados no somatório Para sinais discretos periódicos reais: * a = a 7/25

8 Exercício 1: Aplicando-se a Relação de Euler: 1 3π x[ n] = 1+ sen π n a a a a 1 1 3π 3π j j 8 π j 8 e 1 e e 1 = = = π 2j 2 j 2 2 e = 1 3π 3π j j 8 8 π 1 e 1 j 8 e π 2j 2 j 2 2 e = = = e =, e π j 8 8/25

9 Exercício 1 2 x[n]=x=1+sin(πn/12 + 3π/8) x[n] n 1 a (a ) /25

10 Exercício 1 1/25

11 Exercício 2 11/25

12 π N = 6 ω = 3 Exercício = = jωn a xne [ ] xne [ ] n= 2 n= 1 π j n 3 π π j j 3 3 π π 1 2 j 2 j 1 2 e + e 3 3 a = + e + e = π a = + cos /25

13 Exercício 2 13/25

14 Propriedades da DTFS As propriedades da DTFS são similares às da FS e estão resumidas na tabela 3.2 (página 221 do livro Signals and Systems). As propriedades são interessantes para facilitar a determinação dos coeficientes da DTFS de um sinal, evitando a realização de contas desnecessárias. Leiam sobre as propriedades, pois o livro apresenta comentários interessantes, e estudem os e- xemplos 3.13, 3.14 e /25

15 Série de Fourier e Sistemas LTI Lembrando da resposta de sistemas LTI a exponenciais complexas: Contínuo: Discreto: st x() t = e, s é um número complexo yt () = H() s e n x[ n] = z, z é um número complexo y[ n] = H ( z) z st n + + ( ) ( ) s τ jωτ H s = h τ e dτ H( jω) = h( τ) e dτ + + j jω ω H( z) = h[ ] z H( e ) = he [ ] = = Resposta em Frequência, se s e z são considerados complexo puro e de magnitude unitária, respectivamente. 15/25

16 Série de Fourier e Sistemas LTI jωt jωt jωt ω = = = x() t = a e y() t = a H( j ) e = b e x[ n] = a e y[ n] = a H( e ) e = b e H (.) jωn jωn jωn jωn =< N> =< N> =< N> modifica as amplitudes e fases das diversas exponeciais complexas da entrada. E já sabemos que a frequência não muda! Para entradas periódicas, pode-se determinar a saída de um sistema LTI por meio da resposta em frequência ao invés da convolução... Posteriormente, essa análise será adaptada para permitir a análise com sinais aperiódicos Transformada de Fourier. 16/25

17 Série de Fourier e Sistemas LTI Exemplo Parte 1 Resposta ao Impulso? 1 1 t RC ht () = e ut () RC Determinar a resposta em frequência. 17/25

18 Série de Fourier e Sistemas LTI Exemplo jωτ 1 RCτ jωτ H( jω) = h( τ) e dτ = e u( τ) e dτ RC ( jω+ ) τ 1 1 ( j 1 RC ) 1 RC RC ω+ τ τ RC RC jω+ 1 RC jω+ 1 RC H( jω) = e d = e = 1 jω 1 1 ω RC = 1 H ( jω) = = = + j jω ω 1+ ω 1+ ω Normalmente, a resposta em frequência é apresentada em módulo e fase... 18/25

19 Exemplo Parte 2 Para RC =,1, determinar a saída do circuito para o sinal de entrada apresentado a seguir: 2T 2 T sen( πu) T 1 a = sinc( ) sinc( u) = T = 1, =, ω = 2π T T πu T 4 19/25

20 Exemplo Parte 2 jωt jωt jωt ω = = = x() t = a e y() t = a H( j ) e = b e 2 T sen( ω T ) y( t) = a H ( jω ) e = H ( j ) e = jωt jωt ω = T ωt 1 RC 1 RC H( jω) = H( jω) = jω+ 1 RC jω + 1 RC 2/25

21 Exemplo Parte 2 1 RC 1 RC H( jω) = H( jω) = jω+ 1 RC jω + 1 RC RC =.1, ω = 2π H( j2 π ) = 1 j2π + 1 yt () = = 1 2T sen( π 2) j2π+ 1 T π 21/25

22 Boa Notícia! VOCÊS JÁ PODEM FAZER A QUINTA LISTA DE EXERCÍCIOS SUGERIDOS... 22/25

23 Exercícios Exercício 3.19 Signals and Systems Considere um sistema causal LIT implementado como o circuito RL mostrado a seguir: a. Encontre a equação diferencial relacionando x(t) e y(t). b. j t Considerando xt () = e ω, determine a resposta em frequência. c. Determine a saída para x() t = cos() t. 23/25

24 Exercícios Exercício 3.2 Signals and Systems Considere um sistema causal LIT implementado como o circuito RLC mostrado a seguir: a. Encontre a equação diferencial relacionando x(t) e y(t). b. j t Considerando xt () = e ω, determine a resposta em freqüência. c. Determine a saída para x() t = sen() t. 24/25

25 Exercícios Exercício 3.14 Signals and Systems Quando o trem de impulsos xn [ ] = δ[ n 4 ] = Determine os valores de para =, 1, 2 e 3. é a entrada de um sistema LTI com resposta em j frequência He ( ω ), a saída é: 5π π y[ n] = cos n He π j 2 ( ) 25/25