Sistemas lineares. Aula 4 Respostas de um SLIT

Transcrição

1 Sistemas lineares Aula 4 Respostas de um SLIT

2 Cronograma Introdução Características de um SLIT Resposta ao degrau unitário Resposta a entrada nula Resposta total

3 Introdução A convolução entre dois sinais de tempo contínuo x(t) e h(t) é dada pela integral: y t = x t h t = x τ h t τ dτ x(t) h(t) y(t)

4 Introdução Propriedades: Comutativa: h t x t = x t h(t) Associativa: x t h 1 t h 2 t = x t {h 1 t h 2 t } Distributiva: x t h 1 t + h 2 t Deslocamento: Elemento Neutro: = x t h 1 t + x t h 2 (t) y t = x t h t x t h t T = y(t T) x t δ t = x(t)

5 Introdução Causalidade: Se x(t) e h(t) são sinais causais, então x(t) h(t) também será causal Largura:

6 Características de um SLIT Em relação à memória: Sem memória: A saída y(t) só depende da entrada x(t) em tempo corrente: y t = Kx t h t = Kδ t Com memória: A saída y(t) depende de entradas ou saídas em tempos diferentes do corrente: h t 0 0, para t 0 0 Causalidade h t = 0, t < 0 y t = h t x t = 0 h τ x t τ dτ

7 Características de um SLIT Estabilidade: Um SLIT é considerado estável (BIBO) se sua resposta impulsiva for integrável em módulo y t = h t x t = y t h τ x t τ dτ h τ x t τ dτ Considerando uma entrada limitada x t τ K < y t K. h τ dτ = K Logo, para estabilidade BIBO h τ dτ < h τ dτ

8 Resposta ao degrau unitário Resposta ao degrau unitário: s(t) Caracteriza como o sistema responde a mudanças repentinas na entrada. Expressada considerando x t = u(t) e aplicando a convolução: y t = h t u t = t h τ dτ Analogamente, podemos expressar h t em função de s(t): h t = d dt s(t)

9 Resposta ao degrau unitário Exemplo: Encontre a resposta ao degrau unitário do circuito RC que tem a resposta ao impulso: Resolução: h t = 1 RC e t/rc. u(t) s t = t 1 RC e τ/rc. u τ dτ = 0 t 1 RC e τ/rc dτ s t = 0, para t 0 1 e t/rc, para t > 0

10 Função própria de um sistema Recordando: p(t) será uma função própria (autofunção) de um sitema caracterizado pela transformação linear T se: T p(t) = P. p(t) A transformação linear da função resulta na própria função Neste caso, P é valor próprio (autovalor) associado à função própria p(t)

11 Função própria de um SLIT As sequências Exponenciais Complexas são funções próprias dos SLIT s T e s.t = λ. e s.t λ é o valor próprio (autovalor) de T associado à função própria e s.t

12 Relembrando: Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes - EDLCC Equação diferencial geral que descreve um sistema: d N y(t) dt N + a d N 1 y(t) dy t 1 dt N a N 1 + a dt N y(t) d M x t = b N M dt M + b d M 1 x t dx t N M+1 dt M b N 1 dt + b N x(t) M e N podem assumir qualquer valor (na prática deve-se ter M N) Fazendo-se D = d/dt D N + a 1 D N a N 1 D + a N y t = b N M D M + b N M+1 D M b N 1 D + b N x t Q D y t = P D x(t)

13 Resposta a entrada nula x(t) = 0 Logo, Q D y t = P D x t = 0 D N + a 1 D N a N 1 D + a N y t = 0 Solução: y 0 t = c. e λt

14 Resposta a entrada nula Substituindo y(t) = y 0 (t): Logo, Dy 0 t = cλe λt D 2 y 0 t = cλ 2 e λt D 3 y 0 t = cλ 3 e λt D N y 0 t = cλ N e λt Polinômio Característico do SLIT D N + a 1 D N a N 1 D + a N y t = 0 c λ N + a 1 λ N a N 1 λ + a N e λt = 0 λ N + a 1 λ N a N 1 λ + a N = 0 Q λ = 0

15 Resposta a entrada nula Com N raízes distintas: Q λ = 0 λ λ 1 λ λ 2 λ λ N = 0 Daí, y 0 t = c 1. e λ 1t + c 2. e λ 2t + + c N. e λ Nt

16 Resposta a entrada nula Q λ é chamado de polinômio característico do sistema, e não depende da entrada x(t); A equação Q λ = 0 é chamada de equação característica; As raízes λ 1, λ 2,, λ N são chamadas de raízes características do sistema. Também chamados de valores característicos, autovalores e frequências naturais;

17 Resposta a entrada nula As exponenciais e λ 1t, e λ 2t,, e λ Nt são chamadas de modos característicos. Também chamados de modos naturais; Todo comportamento de um sistema é ditado principalmente pelos modos característicos; Modos característicos são etapa determinante da resposta ao estado nulo; A resposta de entrada nula é a combinação linear dos modos característicos do sistema;

18 Resposta a entrada nula Exemplo: Seja um sistema linear invariante no tempo contínuo descrito pela EDLCC abaixo. Determine o polinômio característico, as raízes e os modos característicos do sistema. Determine também a resposta de entrada nula quando y 0 0 = 2 e dy 0 0 = 1. dt d 2 y(t) dt dy(t) dt + 6y(t) = dx t dt + x(t)

19 Resposta a entrada nula Exemplo: Solução: Considerando D = d/dt: D 2 + 5D + 6 y t = D + 1 x t Q D y t = P D x t Polinômio característico: Q λ = λ 2 + 5λ + 6 Solucionando a equação característica Q λ = 0, encontram-se as raízes características: λ 1 = 2, λ 2 = 3 Desta forma, os modos característicos são: e 2t e e 3t A resposta a entrada nula é: y 0 t = c 1 e 2t + c 2 e 3t

20 Resposta a entrada nula Exemplo: Solução: A resposta a entrada nula é: y 0 t = c 1 e 2t + c 2 e 3t e dy 0(t) dt = 2c 1 e 2t 3c 2 e 3t Considerando os valores iniciais: y 0 0 = 2 = c 1 e c 2 e 3.0 dy 0 (0) = 1 = 2c dt 1 e 2.0 3c 2 e 3.0 Solucionando este sistema de equações, temos: c 1 = 5 e c 2 = 3 Portanto, y 0 t = 5e 2t 3e 3t

21 Resposta Total A resposta completa de um SLIT é: Resposta total = resposta de estado nulo + resposta de entrada nula Resposta total = N c k e λ kt k=1 componente de entrada nula + x t h(t) componente de estado nulo Considerando raízes distintas. Caso o sistema avaliado possua raízes repetidas, deve-se modificar a equação acima;

22 Resposta total Para determinar a resposta ao impulso de um sistema descrito por uma EDLCC, pode-se utilizar da relação: h t = b 0 δ t + P D y N t u t, b 0 = 0 se M < N Onde y N (t) é a combinação linear dos modos característicos e sujeitos às condições iniciais: y 0 = dy(0) dt = d2 y(0) dt 2 = = dn 2 y 0 dt N 2 = 0 e dn 1 y 0 dt N 1 = 1

23 Resposta total Exemplo: Seja um SLIT descrito por sua EDLCC abaixo. Determine a resposta ao impulso quando y 0 0 = 0 e dy 0(0) = 1. dt Solução: d 2 y(t) dt dy(t) dt + 2y(t) = dx t dt λ 2 + 3λ + 2 = 0 λ 1 = 1, λ 2 = 2 y N t = c 1 e t + c 2 e 2t dy N (t) = c dt 1 e t 2c 2 e 2t

24 Resposta total Solução: Aplicando condições inicias nulas: y N 0 = 0 = c 1 e 0 + c 2 e 0 dy N (0) = 1 = c dt 1 e 0 2c 2 e 0 Logo, c 1 = 1, c 2 = 1 Então, y N t = e t e 2t Para determinar a resposta ao impulso: h t = b 0 δ t + P D y N t u t h t = 0δ t + D(e t e 2t ) u t h t = 2e 2t e t u(t)

25 Bibliografia LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares. 2. Ed. Porto Alegre: Bookman, p. ISBN HAYKIN, Simon S. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, p.