Aula 07 Propriedades da resposta ao impulso

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1 Aula 07 Propriedades da resposta ao impulso Bibliografia OPPENHEIM, A.V.; WILLSKY, A. S. Sinais e Sistemas, a edição, Pearson, 00. ISBN Páginas HAYKIN, S. S.; VAN VEEN, B. Sinais e sistemas, Bookman, 00. ISBN Páginas Propriedades da representação da resposta ao impulso para sistemas LIT Nas últimas aulas, mostrou-se que a resposta ao impulso de um sistema LIT o caracteriza completamente. Desta forma, apenas olando a resposta ao impulso, deve ser possível descobrir se um sistema LIT é causal ou tem ou não memória e o resultado da interconexão desses sistemas. Esse será o assunto desta aula.... Conexão paralela de sistemas LIT Consideremos a seguinte conexão paralela de sistemas LIT em que [ n] e [ n] são as respostas ao impulso de cada sistema: Figura Conexão paralela de sistemas A saída desta conexão de sistemas [ n] é a soma das saídas de cada sistema: [ n] = [ n] + [ n] = x[ n] [ n] + x[ n] [ n] Usando a representação da convolução por somatórias, pode-se escrever que

2 [ n] = x[ k] [ n k] + x[ k] [ n k] [ n] = x[ k] ( [ n k] + [ n k] ) = x[ k] [ n k] sendo [ n] [ n] [ n] + =. Ou seja, tudo se passa como se a resposta ao impulso do sistema equivalente ao da Figura fosse o da Figura a seguir: Figura Sistema equivalente ao da Figura A resposta ao impulso de dois sistemas conectados em paralelo é a soma das respostas individuais ao impulso. Outra forma de enxergar esse fato é dizer que a convolução possui a propriedade distributiva: [ n] [ n] + x[ n] [ n] = x[ n] ( [ n] [ n] ) x +... Conexão em cascata de sistemas Consideremos agora a conexão em cascata de dois sistemas LIT ilustrada na Figura 3 a seguir. Figura 3 Conexão em cascata de sistemas LIT Camamos de z [ n] a saída do primeiro sistema e a entrada para o segundo sistema da conexão em cascata. Podemos expressar a saída em termos de z [ n] como

3 [ n] = z[ n] [ n] = z[ k] [ n k] k = () Porém, z [ k] é a saída do primeiro sistema e é expressa em termos de [ k] x como: [ k] = x[ k] [ k] = x[ l] [ k l] z l= Substituindo () em (), temos: () l= [ n] = x[ l ] [ k l] [ n k] Trocando a ordem das somatórias em (3) e fazendo l= l= m= m = k l, temos: [ n] = x[ l] [ k l] [ n k] = x[ l] [ m] [ n l m] (3) A somatória interna é identificada como a convolução de [ n] com [ n] avaliada em n l. Ou seja, se definirmos [ n] [ n] [ n] m= Substituindo (4) em (3), obtemos: [ m] [ n l m] = [ n l] =, então, (4) = l= [ n] x[ l ] [ n l] = x[ n] [ n] Consequentemente, a resposta ao impulso de dois sistemas LIT conectados em cascata é a convolução das respostas ao impulso individuais. A conexão em cascata é equivalente em termos de entrada-saída ao sistema único representado pela resposta ao impulso [ n], como mostra a Figura 4. Figura 4 Sistema equivalente ao da Figura 3 Matematicamente, este resultado significa que a soma de convolução satisfaz as propriedades associativa e comutativa: 3

4 { x[ n] [ n] } [ n] = x[ n] { [ n] [ n] } [ n] [ n] = [ n] [ n] Exercício. (HAYKIN; VEEN, 000; p.0) Considere a interconexão de sistemas LIT descrita na figura a seguir. A resposta de cada sistema é dada por 3 [ n] = u[ n] [ n] = u[ n + ] u[ n] [ n] = δ [ n ] n [ n] = α u[ n] Encontre a resposta ao impulso do sistema global, [ n] Sistemas sem memória Vimos que a saída de um sistema sem memória depende somente da entrada atual. A pergunta que tentaremos responder agora é: como identificar um sistema LIT sem memória apenas olando sua resposta ao impulso? Ou como deve ser a resposta ao impulso de um sistema LIT sem memória? Explorando-se a propriedade comutativa da convolução, a saída de um sistema LIT pode ser expressa como [ n] = [ n] x[ n] = [ k] x[ n k] k =. Para que este sistema seja sem memória, [ n] deve depender somente de x [ n] e não de [ n k] x para k 0. Consequentemente, um sistema LIT de tempo 4

5 discreto é sem memória se, e somente se, [ k] cδ [ k] =, em que c é uma constante arbitrária. Assim, a condição de ausência de memória impõe fortes restrições na forma da resposta ao impulso. Todos os sistemas LIT sem memória realizam multiplicação escalar com a entrada Sistemas causais Já vimos que a saída de um sistema causal depende somente dos valores passados ou presentes da entrada. Vamos ver agora como isso se reflete na resposta ao impulso de sistemas LIT. Escrevemos a soma de convolução como: [ n] = [ k] x[ n k] k = Os valores passados e atuais da entrada x [ n], x [ n ], x [ n ],..., são associados com índices k 0 na soma de convolução, enquanto que os valores futuros da entrada x [ n +], [ n + ] x,... são associados com índices < 0 Consequentemente, para um sistema causal, teremos [ k] = 0 Colocando de outra forma, Sistema LIT é causal n k. para < 0 é um sinal causal k. Exercício. (HAYKIN; VEEN, 000, p. 3) Um sistema de tempo discreto tem a resposta ao impulso: n [ n] = a u[ n + ] Este é um sistema causal? Tem memória? 5

6 ...5. Resposta ao degrau A resposta de um sistema LIT a um degrau caracteriza como o sistema responde a mudanças repentinas na entrada. A resposta ao degrau é facilmente expressa em termos da resposta ao impulso usando-se a convolução, supondo-se que a entrada seja uma função degrau. Admitamos que um sistema tena a resposta ao impulso [ n] e denote a resposta ao degrau como s [ n]. Teremos: Como [ n k] = 0 u para n s [ n] = [ n] u[ n] = [ k] u[ n k] k > e [ ] = s k = u n k para k n n [ n] = [ k] k =, temos: Ou seja, a resposta ao degrau é a soma corrente da resposta ao impulso. Exercício 3. (HAYKIN; VEEN, 000, p. 6) Encontre a resposta ao degrau de um sistema de tempo discreto com resposta ao impulso: n [ n] = ( a) u[ n]...6. Sistemas invertíveis e desconvolução Um sistema é invertível se a entrada do sistema puder ser recuperada a partir de sua saída. Isso implica a existência de um sistema inverso que toma a saída do sistema original como sua entrada e produz a entrada do sistema original. A Figura 5 a seguir descreve a cascata de um sistema LIT que tem resposta ao impulso [n] com um sistema inverso LIT que tem resposta ao impulso [ n]. 6

7 Figura 5 Cascata de um sistema LIT com seu sistema inverso. O processo para recuperar x [ n] de [ n] x[ n] é denominado desconvolução, uma vez que ele corresponde a inverter ou desfazer a operação de convolução. Um sistema inverso tem saída x [ n] em resposta a entrada [ n] [ n] x[ n] desta forma resolve o problema da desconvolução. = e A desconvolução e os sistemas inversos desempenam um papel importante em muitos problemas de processamento de sinais e sistemas. Um problema comum é o de inverter ou equalizar a distorção introduzida por um sistema não ideal. Por exemplo, considere o uso de um modem de alta velocidade para comunicar-se por meio de linas telefônicas. A distorção causada pela rede telefônica impõe graves restrições à taxa em que as informações podem ser transmitidas; desta forma um equalizador é incorporado ao modem. O equalizador inverte a distorção da rede telefônica e permite que taxas de dados muito mais altas sejam atingidas. Neste caso, o equalizador representa um sistema inverso para a rede telefônica. A relação entre a resposta ao impulso de um sistema [ n] e o sistema inverso correspondente [ n] Isto implica que pode ser obtida notando-se que ( ) x[ n] [ n] [ n] [ n] x = [ n] [ n] = δ [ n] (5) Em muitas aplicações de equalização, um sistema inverso exato pode ser difícil de encontrar ou implementar. A determinação de uma solução aproximada para a Equação (5) muitas vezes é suficiente nesses casos. 7

8 Exercício 4. (HAYKIN; VEEN, 000, p. 4) Considere projetar um sistema de tempo discreto para eliminar a distorção associada com um eco indesejável num problema de transmissão de dados. Supona que o eco seja representado como atenuação por uma constante a e um retardo correspondente a uma unidade de tempo na sequência de entrada. Daí, o sinal recebido distorcido, [ n], ser expresso em termos do sinal transmitido x [ n] como: [ n] = x[ n] + ax[ n ] Encontre um sistema inverso causal que recupere x [ n] de [ n] n RESP: [ n] = ( a) u[ n]. L4 -Simulação de um canal de comunicações L4. Simulação de um canal de comunicações Utilizando o conceito de convolução, resolva o seguinte exercício sobre simulação de um sistema de comunicações. Exercício. Um sistema de comunicações digital pode ser modelado de forma bastante simplificada pelo diagrama a seguir: r[n] Transmissor x[n] Canal [n] + + w[n] Receptor O transmissor gera a sequência x [ n] que é composta somente de - s e s. Por exemplo, x [ n] = (,,,, ). Durante o percurso essa sequência é modificada ou distorcida pelo canal de comunicações que é o meio em que o sinal está se propagando (ar, cabos, fibra óptica, etc.). Assim, ao final do percurso, o sinal [n] é uma versão distorcida do sinal original x [ n]. 8

9 Além disso, o meio insere no sinal transmitido um sinal aleatório r [ n], comumente camado de ruído que também tende a comprometer a qualidade da transmissão. No receptor, testa-se se w [ n] [ n] + r[ n] = é maior ou menor do que 0 para cada n. Caso seja maior ou igual, admite-se que o transmissor enviou um e caso seja menor, considera-se que o transmissor enviou um -. Supona que certo canal tena resposta impulsiva [ n] dada pela figura a seguir: Pede-se: (a) Encontre [ n] 0 4 w somente para 0 n 4 quando x [ n] = ( ) para n. Considere que neste intervalo [ n] = ( 0, 0, 0, 0, 0,5 ) r. (b) Para a sequência x [ n] do item (a), qual sequência o receptor interpreta ter sido transmitida? Houve erro na recepção? (c) Qual a potência média do sinal x[ n ]? Se a potência do sinal [ ] r n for P = 0,3, qual a relação sinal-ruído (SNR Signal-to-Noise Ratio) no canal de comunicação? (d) (Matlab ) Escreva uma sequência de comandos do Matlab que permita calcular w [ n] quando [ n] x é uma sequência de 50 - s seguidos por 50 s ( ). Para gerar o ruído r [ n] use a função randn. Gere gráficos de x [ n], r [ n] e [ n] w. (e) (Matlab ) Para gerar um ruído gaussiano de potência P pode-se usar o comando r=p*randn(,n). Considere agora que x [ n] é uma sequência aleató- R 9

10 ria de 000 bits (+ ou -). Determine a taxa de erro de bit (BER Bit Error Rate) deste sistema quando a potência do ruído é P R = 0,3. Resolução:. Para a escola do padrão de TV digital a ser adotado no Brasil, foram realizadas uma série de simulações em que sinais codificados nos padrões americano, europeu e japonês foram transmitidos através dos modelos de canais de TV digital típicos de regiões metropolitanas brasileiras. A resposta impulsiva desses canais é mostrada na Tabela a seguir (HATAE et al., 005): 0

11 (a) Obtena um gráfico da resposta impulsiva do canal considerado. (b) Considerando o mesmo diagrama de blocos do exercício anterior, obtena e faça um gráfico do sinal [ n] w ( n ) quando [ n] x for uma sequência aleatória de 0000 bits (+ ou -) e o canal for um dos descritos na tabela acima. Novamente [ n] r é um ruído branco gaussiano com potência P = e deve ser gerado utilizando o comando randn. (c) Usando o mesmo critério de decisão do exercício anterior, escreva um programa que detecte quantos erros ocorreram na transmissão do sinal x [ n]. (d) Varie a potência do ruído entre 0 R P = e R P = com passo de 0,05 e faça um gráfico da BER pela SNR para este sistema. Para cada valor de SNR use bits na simulação. R