ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS

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1 ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS AULA 5: SISTEMAS E SUAS PROPRIEADES: Linearidade Invariância no tempo Causalidade Sistemas Instantâneos e Sistemas Dinâmicos Invertibilidade Estabilidade 1

2 Um sistema pode ser visto como uma interconexão de operações, que transforma um sinal de entrada em um sinal de saída. Um sistema de tempo contínuo é aquele em que os sinais de tempo contínuo são aplicados na entrada, resultando em sinais de saída de tempo contínuo. Um sistema de tempo discreto transforma sinais de entradas de tempo discreto em sinais de saídas de tempo discreto. x(t) y(t)= f( x(t)) SISTEMA CONTÍNUO y(t) x[n] y[n]= f(x[n]) SISTEMA DISCRETO y[n] x(t) y(t) x[n] y[n] 2

3 A transformação realizada pelo sistema pode ser representada por um operador H. x(t) H y(t)= H{x(t)} y(t) x[n] H y[n] y[n]=h{x[n]} O operador H é usado para denotar a ação do sistema. Exemplo Considere um sistema descrito por 1 y[n] = x[n] + x[n - 1] + x[n - 2], (Sistema média móvel) 3 Seja S um operador de deslocamento (atraso), tal que x[n] S x[n-1] S x[n-2] 3

4 Então, o sistema pode ser representado pelo seguinte diagrama de blocos. x[n] S x[n-1] S x[n-2] + + 1/3 y[n] + 1 y[n] = x[n] + x[n - 1] + x[n - 2] 3 Um operador global H pode ser escrito como H = 1+ S + S e y[n] = H{x[n]} 4

5 Linearidade Seja um sistema tal que: x 1 (t) y 1 (t) x 2 (t) y 2 (t) O sistema é linear se, para a entrada a 1 x 1 +a 2 x 2 obtém-se a saída a 1 y 1 +a 2 y 2. x 1 (t) x 2 (t) SISTEMA LINEAR y 1 (t) y 2 (t) a 1 x 1 +a 2 x 2 SISTEMA LINEAR a 1 y 1 +a 2 y 2 Separadamente deve-se ter: a 1 x 1 (t) a 1 y 1 (t) a 2 x 2 (t) a 2 y 2 (t) 5

6 Linearidade Estas características denotam o princípio da superposição. Generalizando, tem-se que para um sistema linear com entrada x = m aixi, a saída será i=1 m i i, i i. i=1 y = a y sendo y a resposta a x 6

7 Invariância no tempo Sistemas cujos parâmetros não são alterados com o tempo são invariantes no tempo, também chamados de sistemas com parâmetros constantes. Na linguagem de Sinais e Sistemas, um sistema é invariante no tempo se um deslocamento no tempo no sinal de entrada, resulta em um deslocamento idêntico no sinal de saída. x 1 (t) y 1 (t) x 1 (t-t 0 ) y 1 (t-t 0 ) 7

8 Invariância no tempo Exemplo Seja o sistema descrito por y(t) = ax(t), sendo a constante. Se aplicarmos um sinal x 1 (t), a saída será y 1 (t) = ax 1 (t). Se calcularmos y 1 (t-t 0 ) obtemos y 1(t - t 0 )= ax 1(t - t 0 ). Apliquemos agora um sinal x 2 (t). A saída será y 2 (t) = ax 2 (t). Façamos x 2 (t) = x 1 (t-t 0 ), então y 2 (t) = ax 1 (t-t 0 ) = y 1 (t-t 0 ). Quando isso acontece o sistema é invariante no tempo, caso contrário, o sistema será variante no tempo. 8

9 Sistema Variante no Tempo Exemplo Seja o sistema descrito por y(t) = a(t)x(t), sendo a = e -t. Claramente o parâmetro a varia com o tempo. Se aplicarmos um sinal x 1 (t), a saída será y 1 (t) = e -t x 1 (t). Se calcularmos y 1 (t-t 0 ) obtemos y (t - t )= e x (t - t ). -(t-t 0 ) Apliquemos agora um sinal x 2 (t). A saída será y 2 (t) = e -t x 2 (t). Façamos x 2 (t) = x 1 (t-t 0 ), então y (t)= e x (t - t ) y (t - t ). -t Quando isso acontece o sistema é variante no tempo. 9

10 Causalidade Um sistema é dito ser causal se a saída no instante presente depende de valores passados e presentes da entrada e não de seus valores futuros. São os sistemas físicos ou não antecipativos. Exemplo: y(t) = ax(t-1)+bx(t-2) é um sistema causal. Caso contrário o sistema é dito ser não causal. 10

11 Sistemas Instantâneos e Sistemas Dinâmicos Sistemas Instantâneos ou sem memória são aqueles em que sua saída no instante atual depende apenas da entrada no mesmo instante. Exemplo: y[n]= 2x[n] x 2 [n] Um resistor é um sistema sem memória pois sua tensão depende da corrente no instante atual v(t) = R i(t). 11

12 Sistemas Instantâneos e Sistemas Dinâmicos Sistemas Dinâmicos ou com memória são aqueles em que sua saída no instante atual depende das entradas e/ou saídas passadas. Exemplo: y[n]= -2y[n-1] +0,8x[n-1]-0,3x[n-2] Um capacitor é um sistema com memória pois sua tensão em determinado instante depende dos valores passados da corrente. 1 t v c(t)= i - c( )d. C 12

13 Invertibilidade Um sistema é invertível se entradas distintas levam a saídas distintas. Exemplo: y(t)= 2x(t) Para este sistema tem-se o sistema inverso w(t) = (1/2)y(t) = x(t). x(t) Sistema y(t) Sistema Inverso w(t)=x(t) x(t) y(t)=2x(t) y(t) w(t)=(1/2)x(t) w(t)=x(t) 13

14 Estabilidade Um sistema é dito ser estável se, e somente se, toda entrada limitada, resultar em uma saída limitada. A estabilidade assim definida é conhecida como BIBO (Bounded Input / Bounded Output) Estabilidade. É importante que um sistema de interesse permaneça estável sob todas as condições operacionais possíveis. Somente então é que o sistema terá a garantia de produzir uma saída limitada para uma entrada limitada. Sistemas instáveis devem ser evitados, a menos que se possa encontrar algum mecanismo para estabilizá-los. 14

15 Estabilidade Formalmente, se a entrada é limitada, então existe um valor, M x finito, que é maior do que qualquer valor (em módulo) do sinal de entrada x(t). Matematicamente isto é traduzido por x(t) M x. Para que o sistema seja estável, deve existir um valor, M y finito, que seja maior do que qualquer valor (em módulo) do sinal de saída y(t). Matematicamente isto é traduzido por y(t) M y. 15

16 Estabilidade Verifique a estabilidade do sistema descrito pela equação y[n] =3x[n] +2x[n -1] + x[n - 2]. Resolução Supondo que x[n] M para todo n, x deve-se ter y[n] = 3x[n] +2x[n - 1] + x[n - 2] y[n] 3 x[n] +2 x[n - 1] + x[n - 2] Cada valor da entrada deve ser menor que M x, portanto pode-se escrever: y[n] 3M +2M + M x x x y[n] M y Assim, existe um valor M y = 3M x +2M x + M x que é maior do que todas as saídas. Então pode-se escrever: Portanto o sistema é estável! 16

17 Estabilidade Verifique a estabilidade do sistema descrito pela equação n y[n] =r x[n] em que r > 1. Resolução Supondo que x[n] M para todo n, x deve-se ter n y[n] = r x[n] n y[n] = r. x[n] Com r >1, o fator r n diverge com n crescente. Logo, mesmo com a entrada sendo limitada, não é garantida que a saída seja limitada. Observe por exemplo que, se a entrada for o degrau, a saída diverge. Portanto o sistema é instável! 17

18 Exercícios: Livro do Haykin Exercícios 1.28, 1.29 e