EES-20: Sistemas de Controle II. 06 Outubro 2017

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1 EES-20: Sistemas de Controle II 06 Outubro / 56

2 Recapitulando: Arquitetura considerada r k e k u k u t y t y k A entrada e a saída do controlador digital e da planta amostrada são sequências numéricas. É necessário empregar uma outra ferramenta matemática, em lugar da Transformada de Laplace. Transformada Z. 2 / 56

3 Recapitulando: Transformada Z Transformada Z (unilateral): { } Z y[k] y[k]z k = y[0] + y[1]z 1 + y[2]z 2 + k=0 { } Notação: Y (z) = Z y[k], z C 3 / 56

4 Recapitulando: Transformada Z Exemplo Sinal a tempo contínuo: y(t) = e αt + e βt, α R, β R Sinal amostrado: y[k] = y(kt ) = (e αt ) k + (e βt ) k = a k + b k { } Z y[k] = = y[k]z k = k=0 (a k + b k )z k = k=0 (az 1 ) k + (bz 1 ) k k=0 1 1 az bz 1 = z z a + z z b k=0 = z(2z a b) (z a)(z b) Região de convergência: z > max(a, b). Comparação com a Transformada de Laplace: { } L y(t) = 1 s + α + 1 s + β = 2s + α + β (s + α)(s + β) 4 / 56

5 Recapitulando: Transformada Z Propriedades 1) Linearidade: Dados a R, b R, tem-se { } Z ay 1 [k] + by 2 [k] = ay 1 (z) + by 2 (z) 2) Atraso no tempo: Dado um inteiro m > 0, tem-se { } Z y[k m] = z m Y (z) 3) Avanço no tempo: Dado um inteiro m > 0, tem-se { } m 1 Z y[k + m] = z m Y (z) y[l]z m l l=0 4) Teorema do valor inicial: y[0] = lim z Y (z) 5 / 56

6 Teorema do valor inicial: Observação Se Y (z) for uma função racional estritamente própria (denominador com grau maior que o do numerador), conclui-se que y[0] = 0. Por exemplo, considere a seguinte sequência: cuja transformada Z é dada por Y (z) = y[k]z k = k=0 k=1 y[0] = 0 y[k] = 5, k 1 5z k = 5 (z 1 ) k = 5z 1 1 z 1 = 5 z 1 k=1 Aplicando-se o teorema do valor inicial, chega-se a y[0] = 0, como esperado. 6 / 56

7 Tópicos da aula de hoje Propriedades da Transformada Z: (5) Teorema do valor final, (6) convolução Transformada Z inversa Equações a diferenças Função de transferência Resposta a impulso (delta de Kronecker) Estabilidade BIBO 7 / 56

8 5) Teorema do valor final Se todos os polos de (z 1)Y (z) estiverem no interior do círculo unitário ( z < 1), então ( ) z 1 lim y[k] = lim Y (z) k z 1 z Observação: Em outras palavras, todos os polos de Y (z) devem estar no interior do círculo unitário, à exceção de um possível polo simples em z = 1. 8 / 56

9 5) Teorema do valor final Verificação: Y (z) = y[k]z k k=0 (1 z 1 )Y (z) = = y[k]z k y[k]z k 1 k=0 k=0 k=0 y[k]z k y[k 1]z k k=1 k=1 = y[0] + y[k]z k y[k 1]z k = y[0] + k=1 k=1 { } y[k] y[k 1] z k 9 / 56

10 5) Teorema do valor final Portanto: (1 z 1 )Y (z) = y[0] + lim (1 z 1 z 1 )Y (z) = y[0] + lim z 1 = y[0] + lim n n k=1 k=1 [ { } y[k] y[k 1] z k lim n n k=1 ] { } y[k] y[k 1] z k { } y[k] y[k 1] = y[0] + lim y[n] n y[0] 10 / 56

11 Teorema do valor final: Exemplo lim z 1 ( y[k] = 5 + 3(0,5) k Y (z) = ) ( z 1 Y (z) = lim z z 1 = lim z 1 5z z 1 + 3z z 0,5 ( )( z 1 z 5 z z 1 + ) z 1 z 0,5 = 5 ) 3 z z 0,5 11 / 56

12 Teorema do valor final: Exemplo Cuidado: y[k] = 5 + 3(2 k ) lim z 1 ( Y (z) = 5z z 1 + 3z z 2 ) ( )( z 1 z 1 Y (z) = lim z z 1 z ( = lim z z 1 z 2 5z z 1 + ) = 5 ) 3 z z 2 Esse valor corresponde a lim k y[k]? 12 / 56

13 6) Convolução Se y[k] corresponder à convolução de duas sequências g[k] e u[k], isto é: y[k] = então Y (z) = G(z)U(z). g[l]u[k l] l=0 Verificação: { } Z y[k] = = ( ) g[l]u[k l] z k = k=0 l=0 g[l] u[k l]z k l=0 k=0 ( g[l]z l U(z) = g[l]z )U(z) l = G(z)U(z) l=0 l=0 13 / 56

14 6) Convolução y[k] = g[l]u[k l] l=0 Obs: Se u[k] = 0 para k < 0, a somatória de convolução pode ser escrita simplesmente como y[k] = k g[l]u[k l] l=0 14 / 56

15 Convolução: Exemplo g k g g g k u k u u u k k y[k] = g[l]u[k l] = g[0]u[k] + g[1]u[k 1] + + g[k]u[0] l=0 15 / 56

16 Convolução: k = 0 g l g g g l u u l u u l 0 y[0] = g[l]u[0 l] = g[0]u[0] l=0 16 / 56

17 Convolução: k = 1 g l g g g l u l u u u l 1 y[1] = g[l]u[1 l] = g[0]u[1] + g[1]u[0] l=0 17 / 56

18 Convolução: k = 2 g l g g g l u l u u u l 2 y[2] = g[l]u[2 l] = g[0]u[2] + g[1]u[1] + g[2]u[0] l=0 18 / 56

19 Convolução: k = 3 g l g g g l u l u u u y[3] = 3 l=0 g[l]u[3 l] = g[0] u[3] + g[1]u[2] + g[2]u[1] + g[3]u[0] l 19 / 56

20 Convolução: k = 4 g l g g g l u l u u u y[4] = 4 l=0 g[l]u[4 l] = g[0] u[4] +g[1] u[3] +g[2]u[2]+ g[3]u[1]+ g[4]u[0] l 20 / 56

21 y[0] = g[0]u[0] y[1] = g[0]u[1] + g[1]u[0] y[2] = g[0]u[2] + g[1]u[1] + g[2]u[0] y[3] = g[1]u[2] + g[2]u[1] y[4] = g[2]u[2] G(z)U(z) = (g[0] + g[1]z 1 + g[2]z 2)( u[0] + u[1]z 1 + u[2]z 2) ( ) = g[0]u[0] + g[0]u[1] + g[1]u[0] z 1 ( ) + g[0]u[2] + g[1]u[1] + g[2]u[0] z 2 ( ) ( ) + g[1]u[2] + g[2]u[1] z 3 + g[2]u[2] z 4 21 / 56

22 Transformada Z inversa Três métodos: Integral de inversão: Vide Hemerly (2000) Expansão em frações parciais (+ Uso de tabela) Divisão longa 22 / 56

23 Expansão em frações parciais + Uso de tabela Procedimento similar ao empregado com a Transformada de Laplace. Exemplo: Y (z) = z 0,2 (z 1)(z 0,5) = C 1 (z 1) + C 2 (z 0,5) C 1 = lim (z 1)Y (z) = lim z 0,2 (z 1) z 1 z 1 (z 1)(z 0,5) = 0,8 0,5 = 1,6 C 2 = lim (z 0,5)Y (z) = lim z 0,5 z 0,5 (z 0,5) z 0,2 (z 1) (z 0,5) = 0,3 0,5 = 0,6 Portanto: Y (z) = 1,6 (z 1) 0,6 (z 0,5) 23 / 56

24 Expansão em frações parciais + Uso de tabela Y (z) = 1,6 (z 1) 0,6 (z 0,5) Consultando a tabela de transformadas Z, observa-se que Degrau unitário a k z z a z z 1 Como lidar com a ausência de z no numerador das frações parciais? 24 / 56

25 Expansão em frações parciais + Uso de tabela Seja uma sequência w[k] tal que Y (z) = 1,6 (z 1) 0,6 (z 0,5) Tem-se, então: W (z) = zy (z) = 1,6z (z 1) 0,6z (z 0,5) w[k] = { 0, k < 0 1,6 0,6(0,5) k, k 0 Como Y (z) = z 1 W (z), conclui-se que y[k] = w[k 1] e, portanto: y[0] = 0 y[k] = 1,6 0,6(0,5) k 1, k 1 25 / 56

26 Divisão longa Exemplo: Seja Y (z) = Obter y[0], y[1] e y[2]. z z a = y[0] + y[1]z 1 + y[2]z / 56

27 Divisão longa z z a 27 / 56

28 Divisão longa z z a 28 / 56

29 Divisão longa z z a z a a 29 / 56

30 Divisão longa z z a z a a az 1 30 / 56

31 Divisão longa z z a z a a a a 2 z 1 a 2 z 1 az 1 31 / 56

32 Divisão longa z z a z a a a a 2 z 1 a 2 z 1 az 1 a 2 z 2 32 / 56

33 Divisão longa z z a z a a a a 2 z 1 a 2 z 1 a 2 z 1 a 3 z 2 a 3 z 2 az 1 a 2 z 2 33 / 56

34 Exercício Y (z) = Obter y[0], y[1] e y[2]. Verificação: z 0,2 (z 1)(z 0,5) = z 0,2 z 2 1,5z + 0,5 y[0] = 0 y[1] = 1,6 0,6(0,5) 0 = 1,0 y[2] = 1,6 0,6(0,5) 1 = 1,3 34 / 56

35 Aplicação da Transformada Z: Exemplo Considere um empréstimo de R$ 1.000,00, com juros mensais de 5%. Suponha que a dívida deva ser quitada por meio de 12 pagamentos mensais, de valor constante. Qual deve ser o valor de cada pagamento? Notação adotada: y[0] = R$ 1.000,00: Valor inicial da dívida u[k]: Pagamento realizado no k-ésimo mês após a realização do empréstimo, com u[0] = 0 y[k]: Saldo devedor após a realização do k-ésimo pagamento R = 0,05: Taxa de juros mensal Condição de contorno: y[12] = / 56

36 Aplicação da Transformada Z: Exemplo Problema reformulado: y[k + 1] = (1 + R)y[k] u[k + 1], k 0 { 0, k = 0 u[k] = M, k > 0 y[0] = 1000, y[12] = 0 Obter o valor de M. 36 / 56

37 Aplicação da Transformada Z: Exemplo Fazendo Q = 1 + R, pode-se escrever y[k + 1] = Qy[k] u[k + 1], k 0 Aplicação da Transformada Z, com a propriedade de avanço no tempo: zy (z) zy[0] = QY (z) zu(z) + z u[0] (z Q)Y (z) = zu(z) + zy[0] Y (z) = z z Q U(z) + z z Q y[0] *Lembrando que u[0] = 0 neste problema. 37 / 56

38 Aplicação da Transformada Z: Exemplo u[k] = { 0, k = 0 M, k > 0 Nota-se que u[k] é uma sequência tipo degrau, mas com atraso de um passo. Portanto: U(z) = z 1 Mz z 1 = M z 1 38 / 56

39 Aplicação da Transformada Z: Exemplo Y (z) = z z Q U(z) + z M y[0], U(z) = z Q z 1 [ ] Mz Y (z) = (z 1)(z Q) + y[0]z z Q = M (z 1)(z Q) + y[0] z z Q [ ] ( ) M + y[0](z 1) C 1 = z = (z 1)(z Q) z 1 + C 2 z z Q M + y[0](z 1) C 1 = lim = M z 1 z Q R M + y[0](z 1) M + y[0]r C 2 = lim = z Q z 1 R (Lembrando que Q 1 = R) 39 / 56

40 Aplicação da Transformada Z: Exemplo Y (z) = C 1 z z 1 + C 2 z z Q y[k] = C 1 + C 2 Q k, k 0 C 1 = M R, C 2 = M + y[0]r R y[k] = M + ( M + y[0]r)qk R Conferindo para k = 0: M + ( M + y[0]r)q 0 R = M M + y[0]r R = y[0]r R = y[0] 40 / 56

41 Aplicação da Transformada Z: Exemplo y[k] = M + ( M + y[0]r)qk R Para satisfazer a condição de contorno y[12] = 0, deve-se impor M + ( M + y[0]r)q 12 = 0 ou seja: M(1 Q 12 ) = y[0]rq 12 o que conduz a: ( ) RQ 12 M = Q 12 y[0] 1 41 / 56

42 Cálculo de M >> y0 = 1000; >> R = 0.05; >> Q = 1 + R; >> aux = Q^12; >> M = (R*aux/(aux - 1))*y0 M = Obs: O valor total pago terá sido 12 R$ 112,83 = R$ 1.353, / 56

43 Verificando o resultado >> y(1) = Q*y0 - M; >> for k = 1:11, y(k + 1) = Q*y(k) - M; end >> y(12) ans = e / 56

44 Equações a diferenças A relação entre as sequências y[k] e u[k] empregada neste problema é um exemplo de equação a diferenças: y[k + 1] = Qy[k] u[k + 1] 44 / 56

45 Função de transferência Suponha que a relação entre a entrada u[k] e a saída y[k] de um sistema discreto seja dada por uma equação a diferenças da forma y[k] + a 1 y[k 1] + + a n y[k n] = b 0 u[k] + b 1 u[k 1] + + b n u[k n] Considerando y[k] = 0 e u[k] = 0 para k < 0 (sistema inicialmente em repouso), pode-se escrever: (1 + a 1 z a n z n )Y (z) = (b 0 + b 1 z b n z n )U(z) e, com isso, chegar à seguinte função de transferência: G(z) = Y (z) U(z) = b 0 + b 1 z b n z n 1 + a 1 z a n z n 45 / 56

46 Função de transferência G(z) = Y (z) U(z) = b 0 + b 1 z b n z n 1 + a 1 z a n z n Alternativamente, pode-se escrever: G(z) = Y (z) U(z) = b 0z n + b 1 z n b n z n + a 1 z n a n 46 / 56

47 Resposta a impulso (Delta de Kronecker) O chamado Delta de Kronecker é uma sequência definida como k δ[k] = { 1, k = 0 0, k 0 k cuja transformada Z é dada por { } Z δ[k] = δ[k]z k = 1 k=0 47 / 56

48 Resposta a impulso (Delta de Kronecker) Considerando um sistema inicialmente em repouso, com entrada u[k] e saída y[k], vale a relação Y (z) = G(z)U(z) em que G(z) é a função de transferência do sistema. Se a entrada u[k] for um Delta de Kronecker δ[k], tem-se { } U(z) = Z δ[k] = 1 e, portanto, Y (z) = G(z) 48 / 56

49 Resposta a impulso (Delta de Kronecker) A função de transferência G(z) corresponde à Transformada Z da resposta do sistema, inicialmente em repouso, a uma entrada do tipo Delta de Kronecker ( resposta a impulso ). A resposta a impulso será denotada por g[k]. 49 / 56

50 Resposta a impulso (Delta de Kronecker) A partir da relação Y (z) = G(z)U(z) conclui-se que a saída y[k] para uma entrada genérica u[k] pode ser calculada como a convolução entre u[k] e a resposta a impulso g[k]: y[k] = g[l]u[k l] = l=0 k g[l]u[k l] l=0 50 / 56

51 Sequência de ponderação k y[k] = g[l]u[k l] l=0 = g[0]u[k] + g[1]u[k 1] + + g[k 1]u[1] + g[k]u[0] A saída y[k] é dada por uma combinação linear dos valores da entrada nos instantes 0, 1,..., k, com pesos correspondentes aos termos da resposta a impulso. Por essa razão, a resposta a impulso g[k] também é conhecida como sequência de ponderação do sistema. 51 / 56

52 Estabilidade BIBO Diz-se que o sistema é estável no sentido BIBO ( Bounded Input, Bounded Output ) se a saída y[k] for limitada sempre que a entrada u[k] for limitada. O sistema será BIBO-estável se e somente se k=0 g[k] for convergente. Prova da suficiência ( se ): Suponha que g[k] = Γ (1) k=0 Considere ainda que a entrada u[k] seja limitada, ou seja, que exista M > 0 tal que u[k] M, k 0 (2) 52 / 56

53 Sabendo que g[k] = Γ (1) k=0 u[k] M, k 0 (2) y[k] = pode-se escrever k y[k] = g[l]u[k l] l=0 De (1), (2) e (3), tem-se que y[k] l=0 k g[l]u[k l] l=0 k g[l]u[k l] = l=0 ( k k g[l] M = g[l] )M l=0 k g[l] u[k l] (3) l=0 ( l=0 g[l] )M = ΓM 53 / 56

54 Estabilidade BIBO Prova da necessidade ( somente se ): Suponha que seja convergente. Considere, então, k y[k] = g[l]u[k l] l=0 com a seguinte sequência de entrada, obviamente limitada: 1, se g[l] < 0 u[k l] = 0, se g[l] = 0 +1, se g[l] > 0 k=0 g[k] não Segue que k y[k] = g[l] l=0 e, portanto y[k] diverge ao se fazer k. 54 / 56

55 Estabilidade BIBO O sistema será BIBO-estável se e somente se k=0 g[k] for convergente. Como corolário, conclui-se que o sistema será BIBO-estável se e somente se todos os polos de G(z) estiverem no interior do círculo unitário (ou seja, tiverem módulo estritamente menor do que um). 55 / 56

56 Próxima aula Discretização de controladores analógicos 56 / 56