Análise de Sistemas LTI através das transformadas

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1 Análise de Sistemas LTI através das transformadas Luis Henrique Assumpção Lolis 23 de setembro de 2013 Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 1

2 Conteúdo 1 Resposta em Frequência 2 Funções de sistemas caracterizados por EDCC 3 Resposta em frequência para sistemas de funções racionais 4 Sistemas Passa Tudo 5 Sistemas de fase mínima 6 Sistemas a fase linear 7 Sistemas a fase linear causais Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 2

3 Sumário 1 Resposta em Frequência 2 Funções de sistemas caracterizados por EDCC 3 Resposta em frequência para sistemas de funções racionais 4 Sistemas Passa Tudo 5 Sistemas de fase mínima 6 Sistemas a fase linear 7 Sistemas a fase linear causais Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 3

4 Da propriedade da convolução no tempo e produto em z: x [ n] y[ n] h[n] x [ z] y[ z] H(z) H(z)=função do sistema. y[n] = x[n] h[n] = k= Y (z) = H(z)X(z) x[k]h[n k] Quando z = e jω, temos a resposta em frequência: Y (e jω ) = H(e jω )X(e jω ) Y (e jω ) = H(e jω ) X(e jω ) Y (e jω ) = H(e jω ) + X(e jω ) Rejeição fora da banda e distorção de magnitude e fase. Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 4

5 Filtros seletivos ideais Passa baixa ideal Fase nula { (resposta em frequência puramente real). 1, ω < ωc, H lp = 0, ω c < ω π, h lp [n] = sen ω cn πn, < n < b Passa alta ideal H hp (e jω { ) = 1 H lp (e jω ) 0, ω < ωc, H hp = 1, ω c < ω π, Da linearidade: h hp = δ[n] h lp [n] = δ[n] sen ω cn πn Não causal => Não realizável computacionalmente Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 5

6 Distorção de fase e atraso Atraso constante é uma fase que varia linearmente (significa que nenhuma frequência se adiantaria perante a outra): δ[n n d ] Z e jωn d H id (e jω ) = 1 H id (e jω), ω < π, Para o filtro ideal onde < n <, o filtro continua não causal para qualquer n d finito. Para cada frequência pode calcular o atraso de grupo como sendo a derivada da fase da resposta em frequência do sistema: τ(ω) = grd[h(e jω )] = d dω { [H(ejω )]} Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 6

7 Ilustração do atraso de grupo Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 7

11 N M a k y[n k] = b k x[n k] k=0 k=0 Aplicando a transformada Z nos dois lados: N M a k z k Y (z) = b k z k X(z) k=0 H(z) = Y (z) X(z) = k=0 M b k z k k=0 H(z) = N a k z k k=0 ( ) b0 a 0 M (1 c k z 1 ) k=1 N (1 d k z 1 ) k=1 Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 11

12 Causalidade e estabilidade A região de convergência de um sistema causal é a região fora do círculo definido pelo maior pólo. Para ser estável e com resposta em frequência o raio desse círculo deve ser inferior a 1 Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 12

13 Sistema Inverso G(z) = H(z)H i (z) = 1 H i (z) = 1 h(z) Se existir a transformada de Fourier: H i (e jω ) = 1 h(e jω ) Na forma EDCC: N H i (z) = ( a0 a 0 ) k=1 (1 d k z 1 ) M (1 c k z 1 ) k=1 Para isso, tanto os pólos e os zeros devem estar no interior do círculo unitário e as regiões de convergência para fora do círculo definido por esses zeros e pólos. Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 13

14 Resposta ao impulso de funções racionais Com a expansão em frações parciais o sistema pode ser dividido em uma expressão com pólos de primeira ordem (resposta infinita ao impulso) e uma parte com resposta finita ao impulso. H(z) = h[n] = M N r=0 M N r=0 B r z r + N k=1 B r δ[n r] + A k 1 d k z 1 N A k d n k u[n] k=1 Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 14

16 Se o sistema é causal, estável e tem uma função H(z) racional, a resposta em frequência é dada por: M b k z jω H(e jω ) = k=0 N a k z jω k=0 Ganho em db: 20 log 1 0 H(e jω ) H(e jω ) = ARG[H(e jω )] + 2πr(ω) O argumento da função está contido entre π e +π, sendo assim o gráfico mostra descontinuidades na resposta em frequência. Para as partes reais e imaginárias de H(e jω ): H(e jω ARG[H(e ) = [ jω )] = Hi Hr (e jω ) 2 + H i (e jω ) 2 (e jω ] ) arctan H r (e jω ) Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 16

17 Exemplo - Sistema com um pólo ou zero Que seja no numerador ou no denominador iremos avaliar a estrutura de um fator único: (1 re jθ e jω ) para z = e jω e o pólo ou zero potencialmente um número complexo de raio r e fase θ O módulo ao quadrado dessa estrutura fica: 1 re jθ e jω 2 = (1 re jθ e jω )(1 re jθ e jω ) = 1 + r 2 2r cos(ω θ) A medida que a fase fica: ARG[1 re jθ e jω ] = arctan [ r sen(ω θ) ] 1 r cos(ω θ) O atraso de grupo: grd[1 re jθ e jω ] = r2 r cos(ω θ) 1 r cos(ω θ) Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 17

18 Exemplo - Sistema IIR de segunda ordem 1 H(z) = (1 re jθ z 1 )(1 re jθ z 1 ) h[n] = rn sen[θ(n + 1)] u[n] sen θ Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 18

19 Exemplo - Sistema IIR de segunda ordem H(z) = z 2 1 z 2 0.8z Imaginary Part Magnitude (db) Real Part Phase (degrees) Normalized Frequency ( π rad/sample) Normalized Frequency ( π rad/sample) Group delay (samples) Normalized Frequency ( π rad/sample) Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 19

20 Exemplo - Sistema IIR de terceira ordem H(z) = (1 + z 1 )( z 1 + z 2 ) ( z 1 )( z z 2 ) Magnitude (db) Phase (degrees) Normalized Frequency ( π rad/sample) Normalized Frequency ( π rad/sample) Imaginary Part Real Part Group delay (samples) Normalized Frequency ( π rad/sample) Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 20

22 Ganho 1 independente da fase Filtro para implementar defasagem e atraso. 1 a ordem H ap (z) = z 1 a 1 az 1 Ordem M r + M c : M r H ap (z) = A k=1 z 1 d k 1 d k z 1 M c k=1 (z 1 e k )(z 1 e k ) (1 e k z 1 )(1 e k z 1 ) d k pólos reais. e k pólos complexos (que sempre vêm em pares). Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 22

24 Um sistema cujo o sistema direto e o inverso são estáveis causais Todos os pólos e também os zeros estão dentro do círculo unitário e com região de convergência para fora do disco limitado pelo maior pólo ou zero. Decomposição do filtro em fase mínima e passa tudo. H(z) = H min H ap (z) H(z) = H 1 (z)(z 1 c ), sendo que o zero fora do círculo unitário é z = 1/c e c < 1 Agora se multiplicar e dividir por (1 cz 1 ) (zero em z = c): H(z) = H 1(z)(1 cz 1 ) z 1 c 1 cz 1 }{{} All P ass Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 24

25 Compensação da resposta em frequência Considere que queremos compensar um filtro H d (z), que pode ser por exemplo um canal de comunicação. Agora se H d (z) tiver zeros fora do círculo unitário, ele não terá inverso causal e estável. No entanto como H d (z) = H d min (z)h ap (z) e H d min tem a mesma resposta em frequência na magnitude o sistema H c (z) = 1/H d min (z) pode compensar em magnitude H d (z) A saída é o próprio all-pass que é simplesmente uma fase em relação ao sinal ideal. G(z) = H d (z)h c (z) = H ap (z) Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 25

27 Sistemas a fase linear H id (e jω ) = e jωα, ω < π, alpha pode ser não-inteiro. Esse sistema é o atraso ideal (atraso de grupo constante) com ganho 1 para todas frequência e fase linear. Analisando o módulo a fase e o atraso de grupo: H id (e jω ) = 1 H id (e jω ) grd[h id (e jω )] = α O passa baixa ideal com frequência de corte em π tem transformada inversa: h id [n] = sen[π(n α)], < n < π(n a) Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 27

28 Sistemas a fase linear O Passa passa baixa ideal com frequência de corte em ω c e fase linear: { e H(e jω ) = jωα, ω < ω c 0, ω c < ω π h id [n] = sen[ω c(n α)], < n < π(n a) Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 28

29 Sistemas a fase linear A simetria do filtro fica em α: Se α não for inteiro os coeficientes não são simétricos. Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 29

30 Sistema Generalizado a fase linear H(e jω ) = A(e jω )e jαω+jβ Dessa condição podemos encontrar duas formas que representam sistema com fase linear: Nesse caso h[n] sen[ω(n α) + β] = 0 (Prova sessão n= do livro do Oppenheim, segunda edição) 1 h[2α n] = h[n] 2 h[2α n] = h[n] Onde 2α é inteiro. Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 30

32 Transformar filtros a fase linear realizáveis. Da condição de sistemas a fase linear: h[n] sen[ω(n α) + β] = 0 n=0 Nas condições de h[n] anteriores, h[n] = 0, para n < 0 e n > M Assim, filtros FIR causais de tamanho (M + 1) e respeitando as condições de h[n] podem ser: h[n] = { h[m n], 0 n M, 0, fora H(e jω ) = A e (e jω )e jωm/2 h[n] = { h[m n], 0 n M, 0, fora H(e jω ) = ja 0 = A e (e jω )e jωm/2+jπ/2 Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 32

33 FIR tipo I Função par e número ímpar de coeficientes. h[n] = h[m n], 0 n M. M/2 inteiro. Atraso de grupo inteiro. Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 33

34 FIR tipo II Função par e número par de coeficientes. h[n] = h[m n], 0 n M. M/2 não inteiro. Atraso de grupo não inteiro. Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 34

35 FIR tipo III Função ímpar e número ímpar de coeficientes.h[n] = h[m n], 0 n M. M/2 inteiro. Atraso de grupo inteiro e filtro deslocado em frequência. Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 35

36 FIR tipo III Função ímpar e número par de coeficientes.h[n] = h[m n], 0 n M. M/2 não inteiro. Atraso de grupo não inteiro e filtro deslocado em frequência. Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 36

37 Posição de Zeros para os filtros FIR Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 37