Sinais e Sistemas Discretos

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1 Sinais e Sistemas Discretos Luís Caldas de Oliveira Resumo 1. Sinais em Tempo Discreto 2. Sistemas em Tempo Discreto 3. Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo 4. Representações em requência 5. A Transformada de ourier Sinais em Tempo Discreto São representados matematicamente como sequências de números: x = {x(n)}, n [, + ] em que n é um inteiro. Exemplo: A evoluçao do valor de fecho de um índice de bolsa: { , , , ,93...} Luís Caldas de Oliveira 1 Amostragem de Sinais em Tempo Contínuo Deslocamento Temporal Na prática a maior parte dos sinais em tempo discreto resultam da amostragem de sinais em tempo contínuo (x c (t)): x(n) x(n) = x c (nt ), n [, + ] em que x c (t) é uma função da variável real t e T é o período de amostragem n y(n) n y(n) = x(n n 0 ) Qual o valor de n 0? T Luís Caldas de Oliveira 2 Luís Caldas de Oliveira 3

2 Sinal Periódico Impulso Unitário Um sinal discreto diz-se periódico de período N (inteiro) se se mantiver inalterado por um deslocamento temporal de N amostras: x(n) = x(n + N), n Nesse caso, também será periódico de período 2N, 3N,... Ao menor valor de N positivo para o qual x(n) ainda é periódio chamase período fundamental. δ(n) = { 0, n 0. 1, n = 0. δ(n) n Qualquer sequência pode ser expressa em termos de uma soma de impulsos unitários escalados e deslocados no tempo: x(n) = x(k)δ(n k) Luís Caldas de Oliveira 4 Luís Caldas de Oliveira 5 Escalão Unitário Relações Entre o Impulso e o Escalão Unitário u(n) = { 0, n < 0. 1, n 0. u(n) n O escalão unitário pode-se relacionar com o impulso unitário: n u(n) = δ(k) Inversamente: δ(n) = u(n) u(n 1) Luís Caldas de Oliveira 6 Luís Caldas de Oliveira 7

3 Sequência Exponencial Real Sequência Exponencial Complexa Sendo α e A números reais: x(n) = Aα n α > 1 a sequência x(n) é crescente; α < 1 a sequência x(n) é decrescente; α > 0 as amostras da sequência x(n) têm todas o mesmo sinal de A; Se α = e jω 0 e A = A e jφ : x(n) = A e j(ω 0n+φ) = A cos(ω 0 n + φ) + j A sen(ω 0 n + φ) Por analogia com a correpondente função contínua, a ω 0 chama-se frequência da sinusoide complexa e φ é a sua fase. α < 0 as amostras da sequência x(n) são alternadamente positivas e negativas. Luís Caldas de Oliveira 8 Luís Caldas de Oliveira 9 Periodicidade Temporal Periodicidade em requência No caso discreto, a sequência exponencial complexa nem sempre é periódica. A e j(ω 0n+φ) x(n) = x(n + N) = A e j(ω 0(n+N)+φ) = A e j(ω 0n+φ) e jω 0N No caso discreto, as exponenciais complexas com frequência (ω 0 +2πr) são indistinguíveis entre si: A e j[(ω 0+2πr)n+φ] = A e j(ω 0n+φ) e j2πrn = A e j(ω 0n+φ) Só é periódica se: ω 0 N = 2πk N = 2πk/ω 0 Mas N tem de ser inteiro! Luís Caldas de Oliveira 10 Luís Caldas de Oliveira 11

4 Sistemas em Tempo Discreto Sistema Linear Um sistema em tempo discreto define-se como transformação de uma sequência de entrada x(n) numa sequência de saída y(n): Exemplos: y(n) = T {x(n)} 1. sistema sem memória: y(n) = 2x(n); 2. atraso ideal: y(n) = x(n 2); 3. média móvel: y(n) = 1 3 [x(n) + x(n 1) + x(n 2)]; Propriedade da aditividade { T {x1 (n)} = y 1 (n) T {x 2 (n)} = y 2 (n) Propriedade da homogeneidade T {x 1(n) + x 2 (n)} = y 1 (n) + y 2 (n) aditividade T {x(n)} = y(n) T {ax(n)} = ay(n) homogeneidade em que a é uma constante arbitrária Um sistema linear tem de verificar as propriedades da aditividade e da homogeneidade. Luís Caldas de Oliveira 12 Luís Caldas de Oliveira 13 Sistema Invariante no Tempo T {x(n)} = y(n) invariante no tempo T {x(n n 0)} = y(n n 0 ) Exemplos: 1. invariante: y(n) = x(n 2) 2. variante: y(n) = x(2n) 3. invariante: y(n) = sen(x(n)) 4. variante: y(n) = nx(n) Causalidade Um sistema é causal se a sua saída só depender de entradas actuais ou passadas. Exemplos: x 1 (n) = x 2 (n), n n 0 y 1(n) = y 2 (n), n n 0 n0 causalidade 1. causal: y(n) = x(n 2) 2. não-causal: y(n) = x(n + 2) 3. causal: y(n) = x(n) x(n 1) 4. não-causal: y(n) = x(n + 1) x(n) Luís Caldas de Oliveira 14 Luís Caldas de Oliveira 15

5 Estabilidade Resposta Impulsiva Resposta de um sistema a um impulso localizado no instante k: Um sistema é estável se todas as sequências de entrada limitadas produzirem sequências de saída limitadas: Exemplos: x(n) B x < n y(n) B y < n estabilidade h k (n) = T {δ(n k)}, n Representação da entrada como uma soma de impulsos: x(n) = x(k)δ(n k) 1. estável: y(n) = 4 k=0 x(n k) 2. instável: y(n) = n k=0 x(k) Saída do sistema: y(n) = T { x(k)δ(n k)} Luís Caldas de Oliveira 16 Luís Caldas de Oliveira 17 Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo Sistema Linear y(n) = y(n) = T { x(k)t {δ(n k)} = x(k)δ(n k)} Invariância Temporal: h k (n) = h(n k) y(n) = x(k)h k (n) x(k)h(n k) Somatório de Convolução y(n) = x(n) h(n) = x(k)h(n k) Num SLIT, conhecida a sua resposta impulsiva é possível calcular a resposta a qualquer sinal de entrada através do somatório de convolução. Realização gráfica de h(n k) = h( (k n)) 1. reflectir h(k) em relação à origem para obter h( k); 2. deslocar a origem da sequência reflectida para k = n. Luís Caldas de Oliveira 18 Luís Caldas de Oliveira 19

6 Convolução Gráfica x(k) k h(n k) Luís Caldas de Oliveira 20 Propriedades Associações de SLITs A operação de convolução é comutativa: x(n) h(n) = h(n) x(n) A operação de convolução é associativa: x(n) (h 1 (n) h 2 (n)) = (x(n) h 1 (n)) h 2 (n) A operação de convolução é distributiva em relação à adição: Associação em cascata de SLITs: h(n) = h 1 (n) h 2 (n) Associação em paralelo de SLITs: h(n) = h 1 (n) + h 2 (n) x(n) (h 1 (n) + h 2 (n)) = x(n) h 1 (n) + x(n) h 2 (n) Luís Caldas de Oliveira 22 Luís Caldas de Oliveira 23

7 Estabilidade de um SLIT Causalidade de um SLIT Um SLIT é estável sse a resposta impulsiva for absolutamente somável: S = h(k) < Um SLIT é causal se a sua reposta impulsiva verificar: h(n) = 0, n < 0 Uma sequência causal é uma sequência que pode ser a resposta impulsiva de um sistema causal, ou seja, que assume valores nulos para n < 0. Luís Caldas de Oliveira 24 Luís Caldas de Oliveira 25 Equações às Diferenças de Coeficientes Constantes unção Própria de um Sistema Uma sub-class importante dos SLITs é a dos sistemas cujas sequências de entrada e saída satisfazem uma equação às diferenças com a forma geral: N M a k y(n k) = b k x(n k) k=0 Importante: Como se verá mais tarde, uma equação às diferenças não define univocamente um sistema é necessária informação adicional. k=0 p(n) será uma função própria de um sistema caracterizado pela transformação T { } se: T {p(n)} = P p(n) neste caso P é o valor próprio associado à função própria p(n). Luís Caldas de Oliveira 26 Luís Caldas de Oliveira 27

8 unções Próprias dos SLITs Resposta em requência As sequências exponenciais complexas são funções próprias dos SLITs x(n) = e jωn y(n) = ou seja: h(k)e jω(n k) = e jωn y(n) = H(e jω )e jωn em que H(e jω ) é o valor próprio associado. + h(k)e jωk } {{ } H(e jω ) H(e jω ) = h(k)e jωk No caso geral, a reposta em frequência é uma função complexa: H(e jω ) = H R (e jω ) + jh I (e jω ) = H(e jω ) e j H(ejω ) A resposta em frequência é uma função periódica em ω de período 2π. Luís Caldas de Oliveira 28 Luís Caldas de Oliveira 29 Transformada de ourier de uma Sequência Convergência do Somatório da Transformada de ourier X(e jω ) = n= x(n)e jωn A sequência pode ser reconstruída a partir da sua transformada: x(n) = 1 π X(e jω )e jωn dω 2π π A resposta em frequência é a transformada de ourier da resposta impulsiva se x(n) é absolutamente somável então a sua transformada de ourier existe (X(e jω )); pode-se mostrar que nesse caso a série converge uniformemente para uma função contínua em ω; todas as sequências estáveis têm transformada de ourier; todas as sequências de duração limitada têm transformada de ourier. Luís Caldas de Oliveira 30 Luís Caldas de Oliveira 31

9 Sequências Simétricas Componentes Simétricas de um Sequência Sequência par ou conjugada-simétrica: x e (n) = x e( n) Qualquer sequência pode ser representada pela soma de uma sequência par com uma sequência ímpar: x(n) = x e (n) + x o (n) Sequência ímpar ou conjugada-anti-simétrica: x o (n) = x o( n) em que x e (n) = 1 2 (x(n) + x ( n)) x o (n) = 1 2 (x(n) x ( n)) Luís Caldas de Oliveira 32 Luís Caldas de Oliveira 33 Propriedades de Simetria da T de uma Sequência Complexa Propriedades de Simetria da T de uma Sequência Real x (n) x ( n) R{x(n)} ji{x(n)} x e (n) x o (n) X (e jω ) X (e jω ) X e (e jω ) X o (e jω ) X R (e jω ) jx I (e jω ) x(n)(real) x(n)(real) x(n)(real) x(n)(real) x(n)(real) x e (n)(real) x o (n)(real) X(e jω ) = X (e jω ) X R (e jω ) = X R (e jω ) X I (e jω ) = X I (e jω ) X(e jω ) = X(e jω ) X(e jω ) = X(e jω ) X R (e jω ) X I (e jω ) Luís Caldas de Oliveira 34 Luís Caldas de Oliveira 35

10 Linearidade da Transformada de ourier Deslocamento no Tempo e na requência Se e então x 1 (n) X 1 (e jω ) x 2 (n) X 2 (e jω ) ax 1 (n) + bx 2 (n) ax 1 (e jω ) + bx 2 (e jω ) Deslocamento temporal: x(n n d ) e jωn dx(e jω ) Deslocamento em frequência: e jω0n x(n) X(e j(ω ω0) ) Luís Caldas de Oliveira 36 Luís Caldas de Oliveira 37 Inversão Temporal Diferenciação em requência no caso particular de x(n) ser real: x( n) X(e jω ) nx(n) j dx(ejω ) dω x( n) X (e jω ) Luís Caldas de Oliveira 38 Luís Caldas de Oliveira 39

11 Teorema de Parseval Teorema da Convolução Se então E = n= x(n) X(e jω ) x(n) 2 = 1 π X(e jω ) 2 dω 2π π Se e então x(n) X(e jω ) h(n) H(e jω ) y(n) = x(k)h(n k) = x(n) h(n) Y (e jω ) = X(e jω )H(e jω ) n= Luís Caldas de Oliveira 40 Luís Caldas de Oliveira 41 Teorema da Modulação Pares de Transformadas de ourier y(n) = x(n)w(n) Y (e jω ) = 1 π X(e jθ )W (e j(ω θ) )dθ 2π π δ(n) δ(n n 0 ) 1 ( < n < + ) a n u(n) u(n) 1 e jωn 0 2πδ(ω + 2πk) 1 1 ae jω 1 1 e jω + πδ(ω + 2πk) Luís Caldas de Oliveira 42 Luís Caldas de Oliveira 43

12 Pares de Transformadas de ourier Pares de Transformadas de ourier x(n) = (n + 1)a n u(n) ( a < 1) r n sen[ω p (n + 1)] u(n) sen(ω p ) sen(ω c n) πn { 1, 0 n M 0, caso contrário 1 (1 ae jω ) rcos(ω p )e jω + r 2 e j2ω { 1, ω < ω c 0, ω c < ω π X(e jω ) = sen[ω(m + 1)/2] e jωm/2 sen(ω/2) cos(ω 0 n + φ) e jω 0n π 2πδ(ω ω 0 + 2πk) [e jφ δ(ω ω 0 + 2πk) + e jφ δ(ω + ω 0 + 2πk)] Luís Caldas de Oliveira 44 Luís Caldas de Oliveira 45