FFT Realização Eficiente da DFT
|
|
|
- Jerónimo Esteves Bonilha
- 8 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 FFT Realização Eficiente da DFT Luís Caldas de Oliveira Instituto Superior Técnico FFT p1/40
2 Resumo Algoritmos de Decimação no Tempo FFT p2/40
3 Resumo Algoritmos de Decimação no Tempo Algoritmos de Decimação na Frequência FFT p2/40
4 Resumo Algoritmos de Decimação no Tempo Algoritmos de Decimação na Frequência Realização dos Algoritmos FFT FFT p2/40
5 Resumo Algoritmos de Decimação no Tempo Algoritmos de Decimação na Frequência Realização dos Algoritmos FFT Algoritmos para N Factorizável FFT p2/40
6 Resumo Algoritmos de Decimação no Tempo Algoritmos de Decimação na Frequência Realização dos Algoritmos FFT Algoritmos para N Factorizável Realização da DFT Usando a Convolução FFT p2/40
7 Objectivo Problema: precisamos de reduzir o número de operações matemáticas necessárias para o cálculo da DFT FFT p3/40
8 Objectivo Problema: precisamos de reduzir o número de operações matemáticas necessárias para o cálculo da DFT Solução: vamos diminuir o número de operações, calculando DFTs de menor ordem e combinando os seus coeficientes FFT p3/40
9 Complexidade Computacional da DFT Medida de complexidade computacional utilizada: número de multiplicações e somas X(k) = N n=0 x(n)e j 2π N kn, 0 k N 1 N 2 multiplicações complexas; FFT p4/40
10 Complexidade Computacional da DFT Medida de complexidade computacional utilizada: número de multiplicações e somas X(k) = N n=0 x(n)e j 2π N kn, 0 k N 1 N 2 multiplicações complexas; N(N 1) somas complexas; FFT p4/40
11 Complexidade Computacional da DFT Medida de complexidade computacional utilizada: número de multiplicações e somas X(k) = N n=0 x(n)e j 2π N kn, 0 k N 1 N 2 multiplicações complexas; N(N 1) somas complexas; aproximadamente 2N 2 operações complexas; FFT p4/40
12 Complexidade Computacional da DFT Medida de complexidade computacional utilizada: número de multiplicações e somas X(k) = N n=0 x(n)e j 2π N kn, 0 k N 1 N 2 multiplicações complexas; N(N 1) somas complexas; aproximadamente 2N 2 operações complexas; aproximadamente 8N 2 operações reais; FFT p4/40
13 Complexidade Computacional da DFT Medida de complexidade computacional utilizada: número de multiplicações e somas X(k) = N n=0 x(n)e j 2π N kn, 0 k N 1 N 2 multiplicações complexas; N(N 1) somas complexas; aproximadamente 2N 2 operações complexas; aproximadamente 8N 2 operações reais; requer N registos complexos FFT p4/40
14 Decimação no Tempo X(k) = N n=0 = n par x(n)e j 2π N kn, 0 k N 1 + n ímpar = N 2 r=0 2π j x(2r)e N/2 kr + e j 2π N k = G(k) + e j 2π N k H(k) N 2 r=0 2π j x(2r + 1)e N/2 kn FFT p5/40
15 Decimação no Tempo X(k) = N n=0 = n par x(n)e j 2π N kn, 0 k N 1 + n ímpar = N 2 r=0 2π j x(2r)e N/2 kr + e j 2π N k = G(k) + e j 2π N k H(k) N 2 r=0 2π j x(2r + 1)e N/2 kn G(k) e H(k) têm período N/2 FFT p5/40
16 Decomposição da DFT x(0) x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7) DFT de N/2 pontos DFT de N/2 pontos G(0) G(1) G(2) G(3) H(0) H(1) H(2) H(3) X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) k j 2π N = e k FFT p6/40
17 Decomposição da DFT x(0) x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7) DFT de N/2 pontos DFT de N/2 pontos G(0) G(1) G(2) G(3) H(0) H(1) H(2) H(3) X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) k j 2π N = e Número de multiplicações complexas: N + 2( N 2 )2 k FFT p6/40
18 Decomposição da DFT x(0) x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7) DFT de N/4 DFT de N/4 DFT de N/4 DFT de N/ X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) k j 2π = e N k FFT p7/40
19 Decomposição da DFT x(0) x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7) DFT de N/4 DFT de N/4 DFT de N/4 DFT de N/ X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) k j 2π = e N k Número de multiplicações complexas: N + N + 4( N 4 )2 FFT p7/40
20 DFT de 2 Pontos A decomposição da DFT prossegue até se chegar a DFTs de 2 pontos: x(0) x(1) 1 X(0) X(1) FFT p8/40
21 DFT de 2 Pontos A decomposição da DFT prossegue até se chegar a DFTs de 2 pontos: x(0) x(1) X(0) X(1) Número de multiplicações complexas da FFT é de N log 2 N 1 FFT p8/40
22 Diagrama de Fluxo da FFT x(0) x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7) X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) k = j 2π k e 8 FFT p9/40
23 Redução Adicional dos Cálculos Cada borboleta tem a forma geral: X (q) m 2π j r e N X (q) m X (q) m j 2π N (r + N 2 ) e X (q) m e j 2π N (r+ N 2 ) = e jπ e j 2π N r = e j 2π N r X (p) m 1 X (p) m X (q) m 2π j r e N X (q) m FFT p10/40
24 Redução Adicional dos Cálculos Cada borboleta tem a forma geral: X (q) m 2π j r e N X (q) m X (q) m j 2π N (r + N 2 ) e X (q) m e j 2π N (r+ N 2 ) = e jπ e j 2π N r = e j 2π N r X (p) m 1 X (p) m X (q) X (q) m 2π m j r e N Número de multiplicações: N 2 log 2 N FFT p10/40
25 Diagrama de Fluxo da FFT de Ordem 8 com Decimação no Tempo x(0) X(0) x(4) 1 1 X(1) x(2) X(2) x(6) 2 1 X(3) x(1) X(4) x(5) 1 1 X(5) x(3) X(6) x(7) 2 3 X(7) k = j 2π k e 8 FFT p11/40
26 Realização In-Place Utiliza-se um conjunto de N registos complexos Os registos são inicializados com as amostras temporais re-ordenadas: X 0 (0) = x(0) X 0 (1) = x(4) X 0 (2) = x(2) Os registos são actualizados pela seguinte recursão: { X m (p) = X m (p) + e j 2π N r X m (q) X m (q) = X m (p) e j 2π N r X m (q) FFT p12/40
27 Ordenação Bit-Reversed O re-ordenamento da sequência de entrada da FFT com decimação no tempo é realizada na ordem: X 0 (0 10 ) = X 0 (000 2 ) = x(000 2 ) = x(0 10 ) X 0 (1 10 ) = X 0 (001 2 ) = x(100 2 ) = x(4 10 ) X 0 (2 10 ) = X 0 (010 2 ) = x(010 2 ) = x(2 10 ) X 0 (3 10 ) = X 0 (011 2 ) = x(110 2 ) = x(6 10 ) X 0 (4 10 ) = X 0 (100 2 ) = x(001 2 ) = x(1 10 ) X 0 (5 10 ) = X 0 (101 2 ) = x(101 2 ) = x(5 10 ) X 0 (6 10 ) = X 0 (110 2 ) = x(011 2 ) = x(3 10 ) X 0 (7 10 ) = X 0 (111 2 ) = x(111 2 ) = x(7 10 ) FFT p13/40
28 Decimação na Frequência - Amostras Pares X(k) = Amostras pares: N n=0 x(n)e j 2π N kn, 0 k N 1 X(2r) = = = N n=0 N 2 x(n)e j 2π N n2r [x(n) + x(n + N 2 n=0 N 2 n=0 2π j g(n)e N/2 nr )]e j 2π N/2 nr FFT p14/40
29 Decimação na Frequência - Amostras Ímpares X(k) = Amostras ímpares: N n=0 x(n)e j 2π N kn, 0 k N 1 X(2r + 1) = = = N n=0 N 2 x(n)e j 2π N n(2r+1) [x(n) x(n + N 2π 2 )]e j N n e n=0 N 2 n=0 h(n)e j 2π N n 2π j e N/2 n 2π j N/2 n FFT p15/40
30 Decomposição da DFT por Decimação na Frequência x(0) g(0) X(0) x(1) x(2) g(1) g(2) DFT de N/2 pontos X(4) X(2) x(3) g(3) X(6) x(4) x(5) x(6) x(7) h(0) 0 h(1) 1 h(2) 2 h(3) 3 DFT de N/2 pontos X(1) X(5) X(3) X(7) k j 2π k = e 8 FFT p16/40
31 Diagrama de Fluxo de FFT com Decimação na Frequência x(0) X(0) x(1) X(4) x(2) 0 X(2) x(3) 2 X(6) x(4) 0 X(1) x(5) 1 X(5) x(6) 2 0 X(3) x(7) 3 2 X(7) k = j 2π k e 8 FFT p17/40
32 Realização In-Place X (p) m 1 X (p) m X (q) m j 2π r e N X (q) m { Xm (p) = X m (p) + X m (q) X m (q) = (X m (p) X m (q))e j 2π N r FFT p18/40
33 Transformação Inversa A realização directa da FFT pode ser usada para calcular a DFT inversa de uma sequência Sendo g(n) a DFT de uma sequência X(k): g(n) = N k=0 X(k)e j 2π N kn Pode-se obter a transformada inversa de X(k) por: x(n) = 1 N = 1 N N k=0 N k=0 X(k)e j 2π N kn X(k)e j 2π N k(n n) = 1 N g (((N n)) N) FFT p19/40
34 Optimização para Sequências Reais Pode-se calcular a DFT de N pontos de uma sequência real x(n) usando uma FFT de N/2 pontos: 1 Formar uma sequência g(n) = x(2n) + jx(2n + 1), para 0 n N Calcular G(k) a FFT de N/2 pontos de g(n) 3 Determinar (0 k N 2 1): X 1 (k) = 1 2»» G R (k) + G R ((( N» 2 k)) N ) + j G I (k) G I ((( N 2 2 k)) N ) 2 X 2 (k) = e j 2π N k 2»» G I (k) + G I ((( N» 2 k)) N ) j G R (k) G R ((( N 2 2 k)) N ) 2 4 Finalmente: X(k) = 8 >< X 1 (k) + X 2 (k) 0 k N 2 1 X 1 (k N 2 >: ) X 2(k N 2 ) N 2 k N 1 0 no caso contrário FFT p20/40
35 Realização da FFT na Linguagem C A linguagem C não dispõe nem de estruturas de dados nem de operadores aritméticos para números complexos A realização apresentada tem fins didácticos: o algoritmo foi dividido em funções para melhor legibilidade; não se utilizam tabelas com valores pré-calculados A realização poderia ser mais eficiente expandindo as funções e pré-calculando os factores multiplicativos FFT p21/40
36 Números Complexos Definição das funções matemáticas e da estrutura de dados para armazenamento de números complexos: #include <mathh> struct Complex { double re; double im; }; FFT p22/40
37 Operações Básicas com Números Complexos struct Complex Csoma(struct Complex z1, struct Complex z2) { z1re += z2re; z1im += z2im; return z1; } struct Complex Csub(struct Complex z1, struct Complex z2) { z1re -= z2re; z1im -= z2im; return z1; } struct Complex Cmul(struct Complex z1, struct Complex z2) { struct Complex z3; z3re = z1re * z2re - z1im * z2im; z3im = z1re * z2im + z1im * z2re; return z3; } FFT p23/40
38 Troca de Conteúdos de Posições de Memória void Ctroca(struct Complex *z1, struct Complex *z2) { struct Complex tmp; tmp = *z1; *z1 = *z2; *z2 = tmp; } FFT p24/40
39 Realização da Re-ordenação /* re-ordenacao da entrada */ void reord(int N, struct Complex X[]) { int dir, inv, pot2; inv = 0; for (dir = 1; dir < N; dir++) { /* incrementa contador de ordem inversa dos bits */ for (pot2 = N/2; pot2 <= inv; pot2 /= 2) inv -= pot2; inv += pot2; } } if (dir < inv) Ctroca(&X[dir], &X[inv]); FFT p25/40
40 Cálculos dos Factores Multiplicativos static int Log2N; static struct Complex Wr[20]; /* Calcula a tabela de factores multiplicativos */ void factores(int N) { double arg = ; /* pi/2 */ int m; } Log2N = (int)(log(n+1)/log(2)); Wr[0]re = 1; Wr[0]im = 0; Wr[1]re = 0; Wr[1]im = -1; for (m = 2; m < Log2N; m++) { arg /= 2; Wr[m]re = (double) cos(arg); Wr[m]im = (double) -sin(arg); } FFT p26/40
41 Realização das DFTs de 2 Pontos X (p) m 1 X (p) m X (p+1) m 1 X (p+1) m /* primeiro passo (m=1): DFTs de 2 pontos */ void dft2(int N, struct Complex X[]) { int p = 0; struct Complex tmp; /* q = p + 1 * Xm(p) = Xm-1(p) + Xm-1(q) * Xm(q) = Xm-1(p) - Xm-1(q) */ for (p = 0; p < N; p+=2) { tmp = X[p+1]; X[p+1] = Csub( X[p], tmp ); X[p] = Csoma( X[p], tmp ); } } FFT p27/40
42 Realização das Borboletas X (p) m 1 X (p) m X (q) m j 2π r N e X (q) m FFT p28/40
43 Realização das Borboletas /* borboletas de m=2 a log2(n) */ void borbol(int N, struct Complex X[]) { struct Complex tmp, Wm; int m, j, p, potm2 = 2, potm22 = 4; for (m = 2; m <= Log2N; m++) { Wm = Wr[0]; for (j = 0; j < potm2; j++) { /* potm2 = 2ˆ(m-1) */ for (p = j; p < N; p += potm22) { /* potm2 = 2ˆm */ tmp = Cmul( X[p+potm2], Wm ); X[p+potm2] = Csub( X[p], tmp ); X[p] = Csoma( X[p], tmp ); } Wm = Cmul( Wm, Wr[m-1] ); } potm2 = potm22; potm22 *= 2; } } FFT p29/40
44 Realização da FFT /* algoritmo fft de N pontos com decimacao no tempo */ void fft(int N, struct Complex X[]) { static int Nanterior = 0; } reord(n, X); if (N!= Nanterior) { Nanterior = N; factores(n); } dft2(n, X); borbol(n, X); FFT p30/40
45 Algoritmos Cooley-Tukey (N Factorizável) N = N 1 N 2 Conceito de mapas de índices n = N 2 n 1 + n 2 { 0 n1 N n 2 N 2 1 k = k 1 + N 1 k 2 { 0 k1 N k 2 N 2 1 FFT p31/40
46 Algoritmos Cooley-Tukey (N Factorizável) N = N 1 N 2 Conceito de mapas de índices n = N 2 n 1 + n 2 { 0 n1 N n 2 N 2 1 k = k 1 + N 1 k 2 { 0 k1 N k 2 N 2 1 n e k tomam todos os valores entre 0 e N 1 FFT p31/40
47 Decomposição da DFT X(k 1 + N 1 k 2 ) = N 2 N 1 x(n 2 n 1 + n 2 )e j 2π N (k 1+N 1 k 2 )(N 2 n 1 +n 2 ) n 2 =0 n 1 =0 X(k 1 + N 1 k 2 ) = N 2 n 2 =0 2π j k N G(n 2, k 1 )e 2 n 2 2 G(n 2, k 1 ) = G(n 2, k 1 )e j 2π N k 1n 2 G(n 2, k 1 ) = N 1 n 1 =0 2π j k N x(n 2 n 1 + n 2 )e 1 n 1 1 FFT p32/40
48 Casos Particulares Decimação no tempo: Decimação na frequência: n = N 2 n 1 + n 2 k = k 1 + N 1 k 2 N 1 = N/2 N 2 = 2 N 1 = 2 N 2 = N/2 FFT p33/40
49 Caso Geral Algoritmos de base R: N = N 1 N 2 N v N = R v Se a entrada estiver ordenada normalmente a saída ficará ordenada pela inversão dos dígitos do índice na base R Exemplo: N = 2 v { n = 2 v n n v + n v k = k 1 + 2k v k v A decomposição é efectuada em factores diferentes Algoritmos mistos: FFT p34/40
50 Algoritmo da Transformada Chirp (CTA) O algoritmo CTA permite determinar qualquer conjunto de M amostras da FT equi-espaçadas no círculo unitário ω k = ω 0 + k ω, 0 k M 1 X(e jω k ) = N n=0 x(n)e jω 0n e j ωkn FFT p35/40
51 Algoritmo CTA Usando a Convolução X(e jω k ) = N n=0 x(n)e jω 0n e j ωkn A equação pode ser representada na forma de uma convolução: X(e jω n2 n j ω ) = e 2 [g(n) e j ω n2 2 ] g(n) = x(n)e jω0n n2 j ω e 2 FFT p36/40
52 Diagrama da CTA x(n) g(n) h(n) y(n) m (n) 1 2 m (n) m 1 (n) = e jω0n n2 j ω e 2 h(n) = n2 j ω {e 2 (N 1) n M 1 0 caso contrário n2 j ω m 2 (n) = e 2 X(e jω n ) = y(n) FFT p37/40
53 Diagrama da CTA x(n) g(n) h(n) y(n) m (n) 1 2 m (n) m 1 (n) = e jω0n n2 j ω e 2 h(n) = n2 j ω {e 2 (N 1) n M 1 0 caso contrário n2 j ω m 2 (n) = e 2 X(e jω n ) = y(n) h(n) é não causal e tem comprimento N + M 1 FFT p37/40
54 Vantagens da CTA não é necessário que N = M; N e M não precisam de ser factorizáveis; ω 0 é arbitrário FFT p38/40
55 Realização Causal x(n) g(n) h(n) y(n) m (n) 1 2 m (n) m 1 (n) = e jω0n n2 j ω e 2 h(n) = { e j ω(n N+1) 2 /2 0 n N + M 2 0 caso contrário m 2 (n) = e j ω(n N+1)2 /2 X(e jω n ) = y(n + N 1) FFT p39/40
56 Cálculo da DFT Usando a CTA ω 0 = 0 e ω = 2π N Neste caso: x(n) g(n) h(n) y(n) m (n) 1 2 m (n) m 1 (n) = e j 2π N { h(n) = m 2 (n) = e j 2π N n 2 2 e j 2π n 2 N 2 1 n N + M 1 0 caso contrário n 2 2 X(e j 2π N n ) = y(n + N) FFT p40/40
Transformada Rápida de Fourier (FFT)
Transformada Rápida de Fourier (FFT) A FFT é um algoritmo eficiente para calcular a DFT A DFT de uma sequência x n de comprimento finito N é definida como: N 1 N 1 X k = x n e j2π N kn = x n W N kn, 0
Transformada Discreta de Fourier (DFT)
Transformada Discreta de Fourier (DFT) A DFT de uma sequência x n de comprimento finito N é definida como: X k = x n e j2π N kn, 0 k N 1 A DFT mapeia uma sequência de comprimento N, x n, em outra sequência,
Transformada Rápida de Fourier FFT Conceitos da FFT - Gauss (1805)
FFT 1 FFT 2 Transformada Rápida de Fourier - FFT DFT Processamento Digital de Sinais Análise e projeto de SLIT no domínio da freq. Convolução rápida FFT - Fast Fourier Transform otas de Aula Algoritmo
Transformada Discreta de Fourier (DFT)
Transformada Discreta de Fourier DFT) Processamento de Sinais 5/6 Engenharia Aeroespacial Sinais periódicos Seja x[n] um sinal periódico com período x[n + r] = x[n] para r Z) O sinal x[n] é determinado
FFT Fast Fourier Transform
FFT Fast Fourier Transform Carlos Alexandre Mello 1 Algoritmos Rápidos Objetivo: melhoria do desempenho de algoritmos Implementam de forma mais eficiente um algoritmo sem modificar seu resultado final
Sistemas Lineares e Invariantes de Tempo Discreto
Sistemas Lineares e Invariantes de Tempo Discreto 28 Sistemas Lineares de Tempo Discreto Um sistema linear satisfaz o teorema da superposição e implica que o sistema tem condições iniciais iguais a zero
Sinais e Sistemas Discretos
Sinais e Sistemas Discretos Luís Caldas de Oliveira Resumo 1. Sinais em Tempo Discreto 2. Sistemas em Tempo Discreto 3. Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo 4. Representações em requência 5. A Transformada
Processamento (Digital) de Sinal. Caderno de exercícios para as horas não presenciais
Caderno de exercícios para as horas não presenciais João Paulo Teixeira ESTiG, 014 Capítulo 1 Sinais 1. Considere o Considere o seguinte sinal contínuo: x(t) 1-1 0 1 3 t a. Represente y1(t)=x(t+1). b.
Exercícios para Processamento Digital de Sinal. 1 Transformada e Série de Fourier
Exercícios para Processamento Digital de Sinal Transformada e Série de Fourier Exercício Considere o seguinte sinal x(t) = sin 2 (0πt). Encontre uma forma aditiva para este sinal e represente graficamente
Transformada de Fourier: fundamentos matemáticos, implementação e aplicações musicais
Transformada de Fourier: fundamentos matemáticos, implementação e aplicações musicais MAC 0337 Computação Musical Jorge H. Neyra-Araoz IME USP 22/11/2007 Resumo Série de Fourier para funções periódicas
Resumo. Sinais e Sistemas Representação de Sinais Periódicos em Séries de Fourier. Objectivo. Função Própria de um Sistema
Resumo Sinais e Sistemas Representação de Sinais Periódicos em Séries de Fourier [email protected] Instituto Superior Técnico Resposta de SLITs a exponenciais complexas Série de Fourier de sinais contínuos
Processamento Digital de Sinais. Notas de Aula. Transformada Z. Transformada Z - TZ
Transformada Z Transformada Z 2 Transformada Z - TZ Processamento Digital de Sinais É uma generalização da Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT) Útil para representação e análise de sistemas
A TRANSFORMADA Z. Métodos Matemáticos I C. Prof. Hélio Magalhães de Oliveira, Texto por R. Menezes Campello de Souza
A TRANSFORMADA Z Métodos Matemáticos I C Prof. Hélio Magalhães de Oliveira, Texto por R. Menezes Campello de Souza Notação x(t) é o sinal analógico x(nt) = x[n], n inteiro, é a seqüência T é o período
Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)
Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT) Transformada de Fourier de um sinal discreto no tempo x(n): X e jω = x(n)e jωn n= A DTFT é uma função complexa da variável real e contínua ω. A DTFT é uma
Processamento Digital de Sinais - ENG420
Processamento Digital de Sinais - ENG420 Fabrício Simões IFBA 24 de setembro de 2016 Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 24 de setembro de 2016 1 / 19 1 Transformada Z - Conceito
Análise de Sistemas LTI através das transformadas
Análise de Sistemas LTI através das transformadas Luis Henrique Assumpção Lolis 23 de setembro de 2013 Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 1 Conteúdo 1 Resposta
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS NO DOMÍNIO Z. n +
REPRESETAÇÃO DE SISTEMAS O DOMÍIO Z [ ] x h y h h n RC RC RC X H Y Y H X R R n h n h Z H < < + : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ; ) ( ) ( ) ( Função de Sistema : FUÇÃO DE SISTEMA A PARTIR DA REPRESETAÇÃO POR
Estruturas de Sistemas Discretos
Estruturas de Sistemas Discretos Luís Caldas de Oliveira lco@istutlpt Instituto Superior Técnico Estruturas de Sistemas Discretos p1/43 Resumo Representações gráficas das equações às diferenças Estruturas
Introdução ao Processamento Digital de Sinais Soluções dos Exercícios Propostos Capítulo 1
Introdução ao Soluções dos Exercícios Propostos Capítulo. Dados os sinais x c (t a seguir, encontre as amostras, a representação em somatórios de impulsos deslocados, e trace os gráficos de = x c (nt a
Sinais e Sistemas. Série de Fourier. Renato Dourado Maia. Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros. Fundação Educacional Montes Claros
Sinais e Sistemas Série de Fourier Renato Dourado Maia Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros Fundação Educacional Montes Claros Lembremos da resposta de um sistema LTI discreto a uma exponencial
Introdução aos Circuitos Elétricos
1 / 47 Introdução aos Circuitos Elétricos Séries e Transformadas de Fourier Prof. Roberto Alves Braga Jr. Prof. Bruno Henrique Groenner Barbosa UFLA - Departamento de Engenharia 2 / 47 Séries e Transformadas
Técnicas de Desenho de Filtros Digitais
Técnicas de Desenho de Filtros Digitais Luís Caldas de Oliveira lco@istutlpt Instituto Superior Técnico Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p1/38 Resumo Desenho de filtros discretos com base em filtros
Análise de Sistemas em Tempo Discreto usando a Transformada Z
Análise de Sistemas em Tempo Discreto usando a Transformada Z Edmar José do Nascimento (Análise de Sinais e Sistemas) http://www.univasf.edu.br/ edmar.nascimento Universidade Federal do Vale do São Francisco
Processamento Digital de Sinais. Notas de Aula. Transformada Z. Transformada Z - TZ
Transformada Z Transformada Z 2 Transformada Z - TZ Processamento Digital de Sinais Notas de Aula Transformada Z É uma generalização da Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT) Útil para representação
Transformada Z. Transformada Z Bilateral. Transformada de Fourier e Transformada Z. A transformada de Fourier não converge para todas as sequências.
Transformada Z Luís Caldas de Oliveira Introdução A transformada de Fourier não converge para todas as sequências. A transformada Z abrange uma maior classe de sinais. sumo 1. Definição 2. gião de Convergência
Sistemas Lineares e Invariantes: Tempo Contínuo e Tempo Discreto
Universidade Federal da Paraíba Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Sistemas Lineares e Invariantes: Tempo Contínuo e Tempo Discreto Prof. Juan Moises Mauricio Villanueva [email protected]
Transformada Z. A transformada Z de uma sequência x n é definida como:
Transformada Z Vimos que as DTFTs de algumas sequências não convergem uniformemente para funções contínuas de ω, porque as sequências não são absolutamente somáveis. A transformada Z permitirá a análise
Resumo. Filtragem Adaptativa. Filtros adaptativos. Tarefas desempenhadas pelos filtros
Resumo Filtragem Adaptativa Luís Caldas de Oliveira lco@istutlpt Instituto Superior Técnico Sistemas de filtragem adaptativa Conceitos de filtragem adaptativa Filtro de Wiener Algoritmo steepest descent
2/47. da matemática é ainda de grande importância nas várias áreas da engenharia. Além disso, lado de Napoleão Bonaparte. 1/47
Introdução aos Circuitos Elétricos Séries e Transformadas de Fourier Prof. Roberto Alves Braga Jr. Prof. Bruno Henrique Groenner Barbosa UFLA - Departamento de Engenharia Sinais: conjunto de dados ou informação
O processo de filtragem de sinais pode ser realizado digitalmente, na forma esquematizada pelo diagrama apresentado a seguir:
Sistemas e Sinais O processo de filtragem de sinais pode ser realizado digitalmente, na forma esquematizada pelo diagrama apresentado a seguir: 1 Sistemas e Sinais O bloco conversor A/D converte o sinal
Análise e Processamento de Bio-Sinais. Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica. Sinais e Sistemas. Licenciatura em Engenharia Física
Análise e Processamento de Bio-Sinais Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica Licenciatura em Engenharia Física Faculdade de Ciências e Tecnologia Slide 1 Slide 1 Tópicos: Representação de Sinais por
Análise de Algoritmos Estrutura de Dados II
Centro de Ciências Exatas, Naturais e de Saúde Departamento de Computação Análise de Algoritmos Estrutura de Dados II COM10078 - Estrutura de Dados II Prof. Marcelo Otone Aguiar [email protected]
Complexidade de Algoritmos
Complexidade de Algoritmos! Uma característica importante de qualquer algoritmo é seu tempo de execução! é possível determiná-lo através de métodos empíricos, considerando-se entradas diversas! é também
Sinais e Sistemas. Tempo para Sistemas Lineares Invariantes no Tempo. Representações em Domínio do. Profª Sandra Mara Torres Müller.
Sinais e Sistemas Representações em Domínio do Tempo para Sistemas Lineares Invariantes no Tempo Profª Sandra Mara Torres Müller Aula 7 Representações em Domínio do Tempo para Sistemas Lineares e Invariantes
Processamento Digital de Sinais. Notas de Aula. Análise Espectral Usando a DFT
Análise Espectral Análise Espectral Análise Espectral Usando a DFT Processamento Digital de Sinais Notas de Aula Análise Espectral Usando a DFT Uma das principais aplicações da DFT é a análise do conteúdo
04/04/ :31. Sumário. 2.1 Sistemas LIT de Tempo Discreto 2.2 Sistemas LIT de Tempo Contínuo 2.3 Propriedades dos Sistemas LIT
Sumário 2.1 Sistemas LIT de Tempo Discreto 2.2 Sistemas LIT de Tempo Contínuo 2.3 Propriedades dos Sistemas LIT slide 1 2 Introdução Muitos processos físicos podem ser modelados como sistemas lineares
André Vignatti DINF- UFPR
Notação Assintótica: O André Vignatti DINF- UFPR Notação Assintótica Vamos expressar complexidade através de funções em variáveis que descrevam o tamanho de instâncias do problema. Exemplos: Problemas
Estruturas de Dados, Análise de Algoritmos e Complexidade Estrutural. Carlos Alberto Alonso Sanches
CT-234 Estruturas de Dados, Análise de Algoritmos e Complexidade Estrutural Carlos Alberto Alonso Sanches CT-234 2) Algoritmos recursivos Indução matemática, recursão, recorrências Indução matemática Uma
Processamento Digital de Sinais
Processamento Digital de Sinais Carlos Alexandre Mello Carlos Alexandre Mello [email protected] 1 Sinais Digitais Um sinal pode ser entendido como uma função que carrega uma informação Sinal de voz O sinal
TRANSFORMADA DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO (DTFT) E TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT) Larissa Driemeier
TRANSFORMADA DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO (DTFT) E TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT) Larissa Driemeier LIVRO TEXTO Essa aula é baseada nos livros: [1] [2] INTRODUCTION TO Signal Processing Sophocles
Divisão e conquista. Eficiência de divisão e conquista
Divisão e conquista Divisão: resolver recursivamente problemas mais pequenos (até caso base) Conquista: solução do problema original é formada com as soluções dos subproblemas á divisão quando o algoritmo
Programação 1. Atribuição, operadores aritméticos, entrada de dados. Técnico em Eletrônica Semestre 5 02
Programação 1 Atribuição, operadores aritméticos, entrada de dados Técnico em Eletrônica Semestre 5 02 Armazenando na memória tipo de variável #include #include main() { int ano; Declaração
Resumo. Sinais e Sistemas Transformada de Laplace. Resposta ao Sinal Exponencial
Resumo Sinais e Sistemas Transformada de aplace uís Caldas de Oliveira lco@istutlpt Instituto Superior Técnico Definição da transformada de aplace Região de convergência Propriedades da transformada de
Introdução ao Processamento Digital de Sinais Soluções dos Exercícios Propostos Capítulo 2
Introdução ao Soluções dos Exercícios Propostos Capítulo 2. Verifique se os sinais abaixo têm ou não transformada de Fourier. Em caso positivo, calcule a transformada correspondente: a) x[n] 2δ[n+2]+3δ[n]
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e Computacional
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e Computacional Disciplina: Algoritmos e Estruturas de Dados Professor: Flávio Cardeal Lista de
INF 1010 Estruturas de Dados Avançadas
INF 1010 Estruturas de Dados Avançadas Complexidade de Algoritmos 2012 DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas 2012.2 1 Introdução Complexidade computacional Termo criado por Hartmanis e Stearns (1965)
Sinais e Sistemas - Lista 3 Gabarito
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA, FACULDADE GAMA Sinais e Sistemas - Lista Gabarito 7 de novembro de 05. Calcule a Transformada de Fourier dos seguintes sinais: a) x[n] = ( n ) u[n ] b) x[n] = ( ) n c) x[n] =
Aula 15 Propriedades da TFD
Processamento Digital de Sinais Aula 5 Professor Marcio Eisencraft abril 0 Aula 5 Propriedades da TFD Bibliografia OPPENHEIM, A. V.; SCHAFER. Discrete-time signal processing, 3rd. ed., Prentice-Hall, 00.
1 o Teste Tipo. Sinais e Sistemas (LERC/LEE) 2008/2009. Maio de Respostas
o Teste Tipo Sinais e Sistemas (LERC/LEE) 2008/2009 Maio de 2009 Respostas i Problema. (0,9v) Considere o seguinte integral: + 0 δ(t π/4) cos(t)dt em que t eδ(t) é a função delta de Dirac. O integral vale:
Filtros de tempo discreto
Filtros de tempo discreto ENGC33: Sinais e Sistemas II Departamento de Engenharia Elétrica - DEE Universidade Federal da Bahia - UFBA 25 de março de 2019 Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 28 Sumário 1 Apresentação
MAC121 ALGORITMOS E ESTRUTURAS DE DADOS I 2O. SEMESTRE DE 2017
PROVA 1 MAC121 ALGORITMOS E ESTRUTURAS DE DADOS I 2O. SEMESTRE DE 2017 Nome: Número USP: Instruções: (1 ) Esta prova é individual. (2 ) Não destaque as folhas deste caderno. (3 ) A prova consiste de 6
Transformada z. Carlos Alberto Ynoguti. September 14, / 53
Carlos Alberto Ynoguti September 14, 2007 1 / 53 Introdução Relação entre a DTFT e a convergência Exemplo 3.22 Observação Exemplo 3.23 Alguns pares de transformadas z 2 / 53 Introdução Introdução Relação
LISTA DE EXERCÍCIOS MÊS 04
São José dos Campos, 05 de Junho de 2008 Disciplina: CES 10 Introdução à Computação. Semestre 2008-2º Período Professor: Carlos Henrique Quartucci Forster Estagiária: Michelle de Oliveira Parreira Instituto
3 o Teste (1 a data) Sistemas e Sinais (LEIC-TP) 2008/ de Junho de Respostas
3 o Teste (1 a data) Sistemas e Sinais (LEIC-TP) 2008/2009 12 de Junho de 2009 Respostas i Problema 1. (0,75v) Considere o sinal ( n n, x(n)=cos 8 4) +π Assinale a afirmação correcta x(n) é um sinal periódico
Parte I O teste tem uma parte de resposta múltipla (Parte I) e uma parte de resolução livre (Parte II)
Instituto Superior Técnico Sinais e Sistemas o teste 4 de Novembro de 0 Nome: Número: Duração da prova: horas Parte I O teste tem uma parte de resposta múltipla (Parte I) e uma parte de resolução livre
Introdução ao Processamento Digital de Sinais Soluções dos Exercícios Propostos Capítulo 3
Introdução ao Soluções dos Exercícios Propostos Capítulo 3. Calcule a transformada z, a região de convergência e a localização de pólos e zeros das sequências abaixo a) x[n] 4δ[n ]+3δ[n] δ[n+]+3δ[n+] Solução:
11º ano - Indução matemática
1 O conjunto dos números racionais Q é enumerável, ou seja, é possível atribuir (associar) a cada número racional um número natural Abaixo, os números racionais positivos estão representados na forma de
André Vignatti DINF- UFPR
Notação Assintótica: Ω, Θ André Vignatti DINF- UFPR Limitantes Inferiores Considere o seguinte trecho de código: void main () { /* trecho que le N da entrada padrao */ for (i = 0 ; i< N; i++) puzzle(i);
Licenciatura em Engenharia Biomédica. Faculdade de Ciências e Tecnologia. Universidade de Coimbra. Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Licenciatura em Engenharia Biomédica Faculdade de Ciências e Tecnologia Slide Slide 1 1 Tópicos: Representações de Fourier de Sinais Compostos Introdução Transformada de Fourier de Sinais Periódicos Convolução
Aula 3: Algoritmos: Formalização e Construção
Aula 3: Algoritmos: Formalização e Construção Fernanda Passos Universidade Federal Fluminense Programação de Computadores IV Fernanda Passos (UFF) Algoritmos: Formalização e Pseudo-Código Programação de
Aula 03 Introdução à Java. Disciplina: Fundamentos de Lógica e Algoritmos Prof. Bruno Gomes
Aula 03 Introdução à Java Disciplina: Fundamentos de Lógica e Algoritmos Prof. Bruno Gomes http://www3.ifrn.edu.br/~brunogomes Agenda da Aula Representação de Algoritmos em Pseudocódigo: Tipos de Dados;
Fundamentos de sinais e sistemas em tempo discreto
Fundamentos de sinais e sistemas em tempo discreto ENGC33: Sinais e Sistemas II Departamento de Engenharia Elétrica - DEE Universidade Federal da Bahia - UFBA 21 de novembro de 2016 Prof. Tito Luís Maia
Universidade Federal do ABC Programação Estruturada Fabrício Olivetti França Lista de Exercícios 02
1 Objetivos da lista Universidade Federal do ABC Programação Estruturada Fabrício Olivetti França Lista de Exercícios 02 Esta lista de exercícios tem como objetivo introduzir funções na linguagem C. Como
CIC 111 Análise e Projeto de Algoritmos II
CIC 111 Análise e Projeto de Algoritmos II Prof. Roberto Affonso da Costa Junior Universidade Federal de Itajubá AULA 21 Number theory Primes and factors Modular arithmetic Solving equations Other results
MC102 Algoritmos e Programação de Computadores
MC102 Algoritmos e Programação de Computadores Instituto de Computação UNICAMP Primeiro Semestre de 2014 Roteiro 1 Maior número 2 Soma de n números 3 Fatorial 4 Máximo Divisor Comum (MDC) 5 Números primos
Programação Estruturada
Programação Estruturada Introdução à linguagem C Professores Emílio Francesquini e Carla Negri Lintzmayer 2018.Q3 Centro de Matemática, Computação e Cognição Universidade Federal do ABC Programação estruturada
ESTRUTURAS DE REPETIÇÃO - PARTE 1
AULA 15 ESTRUTURAS DE REPETIÇÃO - PARTE 1 15.1 O comando enquanto-faca- Considere o problema de escrever um algoritmo para ler um número inteiro positivo, n, e escrever todos os números inteiros de 1 a
Complexidade de Algoritmos
Complexidade de Algoritmos Prof. Diego Buchinger [email protected] [email protected] Prof. Cristiano Damiani Vasconcellos [email protected] Algoritmos com Inteiros Grandes
Resumo. Sinais e Sistemas Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo. Resposta ao Impulso. Representação de Sequências
Resumo Sinais e Sistemas Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo [email protected] Instituto Superior Técnico SLITs discretos. O somatório de convolução. SLITs contínuos. A convolução contínua. Propriedades
Quantidade de memória necessária
Tempo de processamento Um algoritmo que realiza uma tarefa em 10 horas é melhor que outro que realiza em 10 dias Quantidade de memória necessária Um algoritmo que usa 1MB de memória RAM é melhor que outro
Projeto e Análise de Algoritmos
Projeto e Análise de Algoritmos A. G. Silva Baseado nos materiais de Souza, Silva, Lee, Rezende, Miyazawa Unicamp Ribeiro FCUP 18 de agosto de 2017 Conteúdo programático Introdução (4 horas/aula) Notação
BCC202 - Estrutura de Dados I
BCC202 - Estrutura de Dados I Aula 13: Ordenação: MergeSort Reinaldo Fortes Universidade Federal de Ouro Preto, UFOP Departamento de Computação, DECOM Website: www.decom.ufop.br/reifortes Email: [email protected]
EEL470 Algoritmos e Estruturas de Dados Prof. Heraldo L. S. Almeida Prova 1 (22/05/2009)
1) Demonstre que, se f(n) Θ(g(n)) e g(n) O(h(n)), então h(n) Ω(f(n)). Valor: 2,0 pontos Se f(n) Θ(g(n)), então existem c 1, c 2 e n 1 tais que c 1 g(n) f(n) c 2 g(n), n n 1 Se g(n) O(h(n)), então existem
Transformada Discreta de Fourier
Processamento Digital de Sinais Transformada Discreta de Fourier Prof. Dr. Carlos Alberto Ynoguti Jean Baptiste Joseph Fourier Nascimento: 21 de março de 1768 em Auxerre, Bourgogne, França Morte: 16 de
Sistemas Lineares e Invariantes
Universidade Federal da Paraíba Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Sistemas Lineares e Invariantes Prof. Juan Moises Mauricio Villanueva [email protected] www.cear.ufpb.br/juan 1 Sistemas
Algoritmos e Programação
Algoritmos e Programação Aula 3 Introdução a Linguagem C Profa. Marina Gomes [email protected] 1 Aula de Hoje - Criar programas simples em C utilizando a estrutura básica; - Declarar variáveis;
Aula 16: Laços aninhados e desvios
Aula 16: Laços aninhados e desvios Introdução a Programação Túlio Toffolo & Puca Huachi http://www.toffolo.com.br BCC201 2019/1 Departamento de Computação UFOP Aula Anterior Comandos de Repetição (Parte
Vetores são estruturas indexadas utilizadas para armazenar dados de um mesmo tipo: int, char, float ou double. Oexemploaseguirédeumvetordeinteiros:
18 Vetores Ronaldo F. Hashimoto e Carlos H. Morimoto Nessa aula vamos introduzir o tipo vetor. Aofinaldessaaulavocêdeverásaber: Descrever o que são vetores na linguagem C. Declarar vetores. Como acessar
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Introdução aos Algoritmos e Estruturas de Dados
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Introdução aos Algoritmos e Estruturas de Dados Ano Lectivo de 2006/2007 2 o Semestre 2 o Teste A - 2 de Julho de 2007 Duração: 2h - O teste é sem consulta. - Para cada questão
Filtro FIR. Processamento Digital de Sinais - ENG de julho de 2016 IFBA. Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30
Filtro FIR Processamento Digital de Sinais - ENG420 Fabrício Simões IFBA 22 de julho de 2016 Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de 2016 1 / 30 1 Método de Projeto Usando Janelas 2 Tipos de Filtros
Aula 03: Análise de algoritmos melhor caso, pior caso e caso médio
Aula 03: Análise de algoritmos melhor caso, pior caso e caso médio David Déharbe Programa de Pós-graduação em Sistemas e Computação Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Ciências Exatas