Sinais e Sistemas. Tempo para Sistemas Lineares Invariantes no Tempo. Representações em Domínio do. Profª Sandra Mara Torres Müller.

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1 Sinais e Sistemas Representações em Domínio do Tempo para Sistemas Lineares Invariantes no Tempo Profª Sandra Mara Torres Müller Aula 7

2 Representações em Domínio do Tempo para Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LTI) Aqui serão considerados diversos métodos para descrever a relação Entrada x Saída para sistemas LTI. Esses métodos se relacionam e cada um deles oferece a solução mais profunda e direta para um dado problema. Resposta ao impulso; Equação diferencial ou a diferenças; Diagrama de blocos; Variável de estado. Aula 7

3 Convolução: Representação de Resposta ao Impulso para Sistemas LTI A resposta ao impulso caracteriza de maneira completa o comportamento de qualquer sistema LTI e pode ser determinada aplicando um impulso na entrada e observando a saída. A saída para qualquer outra entrada será dada por uma superposição ponderada de respostas ao impulso deslocadas no tempo Sistema discreto soma de convolução Sistema contínuo integral de convolução Aula 7

4 Soma de Convolução Considere o produto do sinal x[n] e da sequência de impulsos: Generalizando, temos que: Onde n é o índice de tempo e k é um determinado instante. Assim, temos que E podemos reescrever x[n] como Aula 7

5 Soma de Convolução Aula 7

6 Soma de Convolução Então a saída do sistema será: Usando a propriedade da linearidade temos: Onde é a resposta a um impulso deslocado no tempo. Aula 7

7 Soma de Convolução Considerando o sistema invariante no tempo temos que h k [n] = h 0 [n-k] e h[n] = h 0 [n]. Assim pode-se escrever: A saída de um sistema LTI é a soma ponderada de respostas ao impulso deslocada no tempo. Isso é definido como soma de convolução: Aula 7

8 Soma de Convolução Na figura a seguir o processo convolução se dá da seguinte forma: A saída do sistema associada com cada entrada p k [n] será: Ou seja, para cada valor de n, somamos os valores ao longo do eixo k indicados no lado direito da figura: Aula 7

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11 Soma de Convolução Para um sinal de duração maior tem-se a alternativa de avaliar a soma de convolução por outra perspectiva. Para um instante fixo n 0 tem-se que: Definindo, a saída para o instante n 0 será: E a saída do sistema será: Aqui k é a variável independente e n é tratado como uma constante Aula 7

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15 Soma de Convolução Sugestão de procedimento para determinar w n [k]: Trace graficamente x[k] e h[n-k]; Inicie com o deslocamento de tempo n grande e negativo; Escreva a forma funcional para w n [k]; Aumente o deslocamento n até que w n [k] se modifique; Repetir até não haver mais modificação; Para cada intervalo de n some os w n [k] para obter y[n]. Aula 7

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22 Soma de Convolução Sistema de média móvel de 4 entradas Aula 7

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26 Integral de Convolução Aplicável a sistema LTI de tempo contínuo Pode-se escrever Definindo. Se o sistema for LTI: E então: Aula 8

27 Integral de Convolução Considere a entrada do sistema representada com uma integral de impulsos ponderados e deslocados no tempo: A saída associada será: E a saída total do sistema será: Aula 8

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29 Integral de Convolução Uma forma alternativa é definindo a variável auxiliar E então a saída será: Aula 8

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31 Integral de Convolução Procedimento para a convolução: Trace x(τ) e h(t-τ); Inicie com o delocamento no tempo t grande e negativo; Escreva a forma funcional para w t (τ); Aumente o deslocamento de tempo t até que w t (τ) se modifique; Repetir até não haver mudança em w t (τ); Para cada intervalo integrar w t (τ) de - a para obter y(t). The Joy of Convolution Aula 8

32 Integral de Convolução Aula 8

40 Propriedades da Representação da Resposta ao Impulso para Sistemas LTI Conexão paralela de sistemas Conexão em cascata de sistemas Sistemas sem memória Sistemas causais Sistemas estáveis Sistemas invertíveis e deconvolução Resposta ao degrau Resposta senoidal em estado estacionário Aula 9

41 Conexão Paralela de Sistemas Considere dois sistemas h 1 (t) e h 2 (t) conectados em paralelo Aula 9

42 Conexão Paralela de Sistemas Isso implica que a convolução possui a propriedade distributiva. Caso contínuo: Caso discreto: Aula 9

43 Conexão em Cascata de Sistemas Considere a conexão em cascata de dois sistemas LTI Aula 9

44 Conexão em Cascata de Sistemas A convolução possui a propriedade associativa Uma outra propriedade é a de ordenação, ou seja, a convolução de h 1 (t) e h 2 (t) pode ser executada em qualquer ordem: Assim, a convolução possui a propriedade comutativa: Aula 9

45 Conexão em Cascata de Sistemas Aula 9

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47 Sistemas sem Memória Um sistema sem memória depende somente da entrada atual. Caso discreto: para que o sistema seja sem memória, y[n] deve depender de x[n] e não de x[n-k], para k 0. Isso implica em h[k] = 0, para k 0. Assim, o sistema será sem memória se, e somente se, h[k] = cδ[k]. Caso contínuo: um sistema de tempo contínuo é sem memória se, e somente se, h(τ) = cδ(τ). Aula 9

48 Sistemas Causais Um sistema causal depende apenas dos valores passados e presentes da entrada. Considere y[n] como: Para que y[n] dependa somente dos valores passados e atuais tem-se que h[k] =0, para k<0: Para o caso contínuo temos: Aula 9

49 Sistemas Estáveis Um sistema é BIBO estável se para uma entrada limitada, a saída também for limitada,. Aqui serão estudadas as condições sobre h[n] que garantam a estabilidade do sistema. Procura-se um limite superior em y[n] que seja uma função do limite superior em x[n] e da resposta ao impulso Aula 9

50 Sistemas Estáveis Supondo a entrada limitada então: Consequentemente a saída é limitada se a resposta ao impulso seja absolutamente somável. Ou seja, se a resposta ao impulso de um sistema estável satisfaz (condição necessária e suficiente): Caso contínuo: Aula 9

51 Sistemas Estáveis Aula 9

52 Sistemas Estáveis Aula 9

53 Sistemas Estáveis É importante ressaltar que um sistema pode ser instável mesmo que a resposta ao impulso tenha valor finito. Exemplo: é finito mas não é absolutamente somável. Portanto, o sistema é instável e a saída não será limitada Aula 9

54 Sistemas Invertíveis e Deconvolução Um sistema é invertível se a entrada no sistema puder ser recuperada na saída. Esse processo de recuperação se chama deconvolução, o inverso da operação de convolução. Exemplo: em um modem de alta velocidade a distorção introduzida pela rede telefônica impõe graves restrições à taxa em que as informações podem ser transmitidas. Assim, é necessário o uso de um equalizador que inverte a distorção da rede telefônica e permite que taxas de dados mais elevadas sejam atingidas. Aula 10

55 Sistemas Invertíveis e Deconvolução Matematicamente temos: O que implica em: Caso discreto: Aula 10

56 Sistemas Invertíveis e Deconvolução Aula 10

57 Sistemas Invertíveis e Deconvolução Em geral determinar o sistema inverso é difícil Aula 10

58 Resposta ao Degrau Caracteriza a velocidade de resposta de um sistema. Considere a resposta ao degrau como s[n], então: Como u[n-k] = 0, para k >n e u[n-k] = 1, para k n, então: Ou seja, a resposta ao degrau é a soma atual da resposta ao impulso. Caso contínuo: Assim, podemos escrever a resposta ao impulso em função da resposta ao degrau Aula 10

59 Resposta ao Degrau Aula 10

60 Resposta ao Degrau Aula 10

61 Resposta Senoidal em Estado Estacionário Caso Discreto Sinais senoidais também são usados para caracterizar um sistema. Aqui é examinada a relação entre a resposta ao impulso e a resposta em estado estacionário de um sistema LTI com uma entrada senoidal complexa. Se x[n] = e jωn, temos: Onde Ou seja, a saída será uma senóide complexa de mesma frequência multiplicada por H(e jω ). Observe que H(e jω ) não é uma função do tempo, mas uma função da frequência Ω e é denominada de resposta em frequência do sistema. Aula 10

62 Resposta Senoidal em Estado Estacionário Caso Contínuo Considere x(t) = e jωt, então: Onde H(jω) é uma função da frequência denominada resposta em frequência. H(jω) é uma função complexa, ou seja, Então: Ou seja, o sistema modifica a entrada em sua amplitude e sua fase. Aula 10

63 Resposta Senoidal em Estado Estacionário Caso Contínuo Dizemos que esta é a resposta em estado estacionário porque a senóide está presente em todos os instantes. Geralmente, a resposta em módulo (db) e em fase são representados em gráficos separados. Aula 10

64 Resposta Senoidal em Estado Estacionário Caso Contínuo Aula 10

65 Resposta Senoidal em Estado Estacionário Aula 10

69 Representações por Equações Diferenciais e a Diferenças para Sistemas LTI Caso contínuo: (equações diferenciais) Caso discreto: (equações a diferenças) N é a ordem da equação e corresponde à derivada mais elevada ou à memória máxima que envolve a saída. A ordem também representa o número de dispositivos de armazenamento de energia do sistema. Aula 11

70 Representações por Equações Diferenciais e a Diferenças para Sistemas LTI Exemplo 1: circuito RLC série (N = 2) Exemplo 2: sistema massa-mola (N = 2) Exemplo 3: processo de dados em um computador (N = 2) Aula 11

71 Representações por Equações Diferenciais e a Diferenças para Sistemas LTI Pode-se relacionar a memória em sistema discreto ao armazenamento de energia em sistema contínuo. Para uma equação a diferenças, é possível reescrevê-la como: Aula 11

72 Representações por Equações Diferenciais e a Diferenças para Sistemas LTI Para o exemplo anterior: Cada valor atual de y depende de seus dois valores passados. Assim, y[-1] e y[-2] são as condições iniciais do sistema. Número de condições iniciais = ordem do sistema. Aula 11

73 Representações por Equações Diferenciais e a Diferenças para Sistemas LTI Aula 11

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78 Representações por Equações Diferenciais e a Diferenças para Sistemas LTI Para resolver equações diferenciais e a diferenças é conveniente expressar a saída como a soma de duas componentes: uma associada com as condições iniciais (resposta natural y (n) ) e outra associada somente à entrada (resposta forçada y (f) ). Resposta natural Caso Contínuo (x(t) = 0) y (n) (t) é a solução da equação: Cuja solução é: Onde r i são as N raízes da equação característica: Aula 11

79 Representações por Equações Diferenciais e a Diferenças para Sistemas LTI Resposta natural Caso Discreto (x[n] = 0) y (n) [n] é a solução da equação: Cuja solução é: Onde r i são as N raízes da equação característica: Se as raízes forem p vezes repetidas, a solução será: Aula 11

80 Representações por Equações Diferenciais e a Diferenças para Sistemas LTI Raízes reais resposta exponencial real. Raízes imaginárias resposta senoidal. Raízes complexas conjugadas senóides exponencialmente amortecidas. Não será cobrado. Aula 11

81 Representações por Equações Diferenciais e a Diferenças para Sistemas LTI O método descrito não pode ser usado para encontrar a resposta ao impulso, mas esta pode ser determinada a partir da manipulação da resposta ao degrau (s(t) ou s[n]): A definição da resposta ao degrau supõe que o sistema esteja em repouso. O tópico Características dos sistemas descritos por equações diferenciais e a diferenças fica como leitura. Aula 11

82 Representações em Diagramas de Blocos Um diagrama de blocos é uma interconexão de operações elementares que agem no sinal de entrada. É uma representação mais detalhada das operações internas. Consiste de três operações elementares: (a) Multiplicação por escalar; (b) Adição; (c) Integração (para sistemas contínuos) ou deslocamento (para sistemas discretos). Aula 12

83 Representações em Diagramas de Blocos É preferível a integração à diferenciação, pois é mais fácil a implementação analógica e porque os integradores suavizam o ruído do sistema. Exemplo: (resolver e encontrar a reposta) Aula 12

84 Representações em Diagramas de Blocos Aula 12

85 Representações em Diagramas de Blocos A descrição em diagramas de blocos não é única. O mesmo exemplo pode ser representado como na figura abaixo. Observe que aqui é usado menos blocos de memória (resolver). Aula 12

86 Representações em Diagramas de Blocos Para o caso contínuo temos Onde: Aula 12

87 Descrições por Variável de Estados para Sistemas LTI Consiste de uma série de equações diferenciais ou a diferenças de 1ª ordem que são associadas para descrever o sistema, e mais outra que relaciona a saída com as variáveis utilizadas. São escritas na forma matricial. O estado pode ser definido como um conjunto de sinais que representam a memória. Aula 13

88 Descrições por Variável de Estados para Sistemas LTI Caso Discreto Os estados, q[n], são escolhidos na saída do operador de deslocamento S; consequentemente sua entrada será q[n+1]. Assim, temos: Aula 13

89 Descrições por Variável de Estados para Sistemas LTI Caso Discreto Sistemas com estruturas diferentes terão A, b, c e D diferentes. A descrição por variáveis de estados é usada quando a estrutura interna do sistema precisa ser considerada. Aula 13

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91 Descrições por Variável de Estados para Sistemas LTI Caso Discreto Aula 13

92 Descrições por Variável de Estados para Sistemas LTI Caso Contínuo Para sistemas contínuos os estados são escolhidos como a saída dos integradores Aula 13

93 Descrições por Variável de Estados para Sistemas LTI Caso Contínuo Aula 13

97 Descrições por Variável de Estados para Sistemas LTI Transformações de Estado Diferentes variáveis de estado podem ser obtidas transformado-se as variáveis de estado. No exemplo 2.23 pode-se definir q 2 (t) = q 1 (t) e q 1 (t) = q 2 (t), ou seja, q 2 (t) é a saída do primeiro integrador e q 1 (t) é a saída do segundo integrador, então: Esse processo é dado por q = Tq, onde T é a matriz de transformação de estados. T deve ser não-singular para ter a sua inversa T -1. Assim, q = T -1 q Aula 13

98 Descrições por Variável de Estados para Sistemas LTI Transformações de Estado Se Então Se definirmos Então, a nova descrição por variáveis de estado será: Não será cobrado. Aula 13