Sistemas Lineares e Invariantes

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1 Universidade Federal da Paraíba Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Sistemas Lineares e Invariantes Prof. Juan Moises Mauricio Villanueva jmauricio@cear.ufpb.br 1

2 Sistemas Lineares de Tempo Contínuo Um sistema Linear satisfaz o Princípio da Superposição, ou seja, satisfaz as propriedades de: Aditividade e Homogeneidade. Sistema no Tempo Contínuo y1( t) T x1( t) y( t) T x( t) y( t) y ( t) y ( t) T x ( t) x ( t) 1 1 y( t) T x( t) ay( t) T ax( t)

3 Determinar se sistema é Linear? y y a b c u() t t t Aditividade Homogeneidade y1 y1 a b c x 1() t t t y y a b c x () t t t y y a b c x() t t t ( y) ( y) a b c x() t t t ( y1 y) ( y1 y) a b c x 1( t) x( t) t t ( y) ( y) a b c x() t t t É um sistema Não Linear 3

4 Sistemas Invariantes de Tempo Contínuo Um sistema é invariante no tempo se para um deslocamento no tempo do sinal de entrada, este causa um deslocamento no tempo na sinal de saída y( t) T{ x( t)} 0 0 y( t t ) T{ x( t t )} 0 0 Deslocamento na entrada Deslocamento na saída

5 Modelagem do Motor de Corrente Continua 5

6 Aspectos Construtivos de um Motor CC 6

7 Aplicações Típicas de Motor CC Máquinas de Papel Bobinadeiras e desbobinadeiras Laminadores Máquinas de Impressão Extrusoras Prensas Elevadores Movimentação e Elevação de Cargas Moinhos de rolos Indústria de Borracha Mesa de testes de motores 7

8 Modelagem do Motor CC A modelagem do motor de corrente contínua envolve duas etapas: Modelagem elétrica; Modelagem mecânica. 8

9 Modelagem Elétrica Inicialmente é construída o modelo do equivalente elétrico da armadura: A velocidade do motor pode ser controlada pela tensão Vta ou a corrente de armadura Ia 9

10 Parâmetros para simulação Ra= La=17.836e-3 J= e-3 B=.77315e-3 kw= kt= TL = 0 10

11 Resposta ao Degrau e Impulso 1.8 Step Response 6 Impulse Response System: sys Time (seconds): 0.33 Amplitude: Amplitude Time (seconds) Sistema de primeira ordem (aproximadamente) 63%*1,8 = 1, Time (seconds) Resposta ao impulso finito Sistema que depende somente das entradas atuais e passada (causal) 11

12 Magnitude (db) Resposta em Frequência do Sistema System: sys Frequency (rad/s): Magnitude (db):.97 Bode Diagram =-3 db System: sys Frequency (rad/s): 3.07 Magnitude (db): w Phase (deg) Frequency (rad/s) 1

13 Sistemas Invariante de Tempo Discreto Em um sistema invariante de tempo discreto a forma da resposta y[n] depende unicamente da forma da entrada x[n] e não do instante de tempo que é aplicada y[ n] sin( a. x[ n]) n n n Deslocamento na entrada duas unidades de tempo n Deslocamento na saída duas unidades de tempo 13

14 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes Sistemas em tempo discreto podem ser descritos com equações em diferença que relacionam a entrada e a saída. 1 1 y[ n] y[ n 1] y[ n ] x[ n] 6 6 1

15 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes Para saber se um sistema é linear ou invariante no tempo discreto, deve-se considerar que: Os termos que contêm produtos da entrada e/ou saída trazem como consequência a não linearidade do sistema. Um termo constante também torna não linear o sistema. Os coeficientes da entrada ou da saída que são funções explícitas de n tornam o sistema variante no tempo. As entradas ou saídas multiplicadas no tempo por um escalar, por exemplo y[n], também tornam o sistema variante no tempo. 15

16 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes A resposta ao impulso é a resposta de um Sistema Linear a um impulso localizado no instante k [n-k] T { } h k h k [n] n T n k Sendo o sistema invariante no tempo: h k n T n k hn k 16

17 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes Se a entrada x[n] é uma sequência representada por uma somatória de impulsos x[n] T { } y[n] xn xk n k y n T x k n k k y y k n xk T n k k n xk hn k k 17

18 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes Somatoria da Convolução y n x k h n k h k x n k k k yn xnhn h[ n]* x[ n] Conhecida a resposta ao impulso h[n], é possível calcular a resposta a qualquer sinal de entrada, através da somatória da Convolução. 18

19 Características de Sistemas Lineares e Invariantes A representação de um sinal x[n] como uma soma ponderada de impulsos deslocados, é a base para o método de convolução discreta. A representação de um sinal x[n] como uma combinação linear de harmônicas ou exponenciais complexas, é a base da transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT) e a transformada z. 19

20 Transformada de Fourier Discreta (DFT) 0

21 Transformada de Fourier em Tempo Discreto Para um sinal discreta não periódico x[n], de tamanho L: L1 jn X ( ) x[ n] e, k 0,1,,..., L 1 n0 k, k 0,..., L1 L F x[ n] X ( ) 1

22 Sinal amostrada utilizando um conversor Análogo para Digital x(t) x(n) x(n) A/D t 0 1 f s = Frequência de amostragem (sampling) n 0 1 N-1 N = número de amostras n T s = 1/f s = Período de amostragem

23 Exemplo 1: f s = 10k Amostras/s T s = 1/f s = 0.1 ms (Período de amostragem) N = 100 amostras x(n) twindow = (N)*Ts=100*0.1ms = 10 ms x(t) x(n) A/D twindow t 0 1 f s = Frequência de amostragem (sampling) n 0 1 N-1 N = número de amostras n T s = 1/f s = Período de amostragem 3

24 f s = 10k amostras/s T s = 1/f s = 0.1 ms (Período de amostragem) N = 100 amostras twindow = N*Ts=100*0.1ms = 10 ms x(t) x(n) x(n) A/D twindow t f s = Frequência de amostragem (sampling) 0 1 T s = 1/f s = Período de amostragem 0 1 N-1 n N 1 jn X ( ) x[ n] e, n0 DFT k 0,1,,..., N 1, k N n

25 Exemplo de avaliação da DFT k, k 0,..., L1 L L = 5 k = 0,1,,3, k 0 0 X (0) x[ n] n0 k 1 X ( / 5) x[ n] e 5 n0 k X ( / 5) x[ n] e 5 n0 6 k 3 X (6 / 5) x[ n] e 5 n0 8 k X (8 / 5) x[ n] e 5 n0 j n/5 j n/5 j6 n/5 j8 n/5 5

26 Módulo e Fase da DFT k 0 0 X (0) x[ n] X (0) e n0 j n/5 k 1 X ( / 5) x[ n] e X ( / 5) e 5 j n/5 k X ( / 5) x[ n] e X ( / 5) e 5 6 j6 n/5 k 3 X (6 / 5) x[ n] e X (6 / 5) e 5 n0 n0 n0 8 k X x n e X 5 j8 n/5 (8 / 5) [ ] ( n0 j 0 j 1 j j j 8 / 5) e 3 6

27 Resolução da Frequência Digital A resolução da frequência digital é dada como: k 0 0 X (0) e k 1 5 X ( / 5) e k 5 X ( / 5) e k X (6 / 5) e k 8 5 X (8 / 5) e j 0 j 1 j j j 3 Resolução 0 L 7

28 Definição da Transformada de Fourier Discreta A DFT para o sinal x[n], de tamanho N, é definido por: N 1 jn X ( ) x[ n] e, k 0,1,,..., N 1 n0 A DFT inversa é definido por N 1 1 jn x[ n] X ( ) e, n 0,1,,..., N 1 N k 0 k, k 0,..., N1 N Notação: F x[ n] X ( ) 8

29 Atividade Realizar o estudo: Sistemas variantes no tempo características Sistemas não lineares características A DFT para sinais estacionários e não estacionários Potência de um sinal discreto Energia de um sinal discreto teoremas Relação Sinal a Ruído (SNR) Frequência de amostragem vs SNR SNR vs # bits de aquisição 9