Sistemas e Sinais (LEIC) Capítulo 10 Transformadas de Fourier

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1 Sistemas e Sinais (LEIC) Capítulo Transformadas de Fourier Carlos Cardeira Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya), maioritariamente baseados na informação pública disponível em

2 Sinais e Transformadas de Fourier SinaisContínuos->CTFT (Transformada de Fourier para tempo contínuo a definir) SinaisContínuosPeriodicos -> Série de Fourier (que é um sinal discreto) SinaisDiscretos = [Inteiros->Complexos] -> DTFT (tranformada de Fourier para tempo discreto a definir) SinaisDiscretosPeriódicos -> Série de Fourier (que é um sinal discreto)

3 CTFT x SinaisContínuos tempo C CTFT ( x) X SinaisContínuos frequência C jwt t tempo, x( t) X ( w) e dw jwt w frequências, X ( w) x( t) e dt O domínio do sinal x(t) é o tempo que se mede em segundos O domíno da CTFT é a frequência que se mede em rad/s

4 Sinais periódicos x( t p) x( t), w p x() t X e k jkw t Já conhecíamos este resultado do desenvolvimento em série de Fourier

5 Se o período tender para infinito p, w p jkwt jwt x( t) X e X ( w) e dw k -p -p p p -w -w w w

6 Se p tender para infinito, a série de Fourier tende para a CTFT -p -p p p -w -w w w jkwt jwt p, w, x( t) X ke X ( w) e dw p -p p -4w -3w -w -w w -w -3w -4w

7 Se p tender para infinito, a série de Fourier tende para a CTFT Na CTFT todas as frequências estão representadas. Os sinais normais terão um espectro da frequência. Se o sinal for aproximadamente uma sinusoide, o espectro terá amplitude máxima na frequência da sinusoide. Em torno desta frequência, a amplitude da CTFT cai. Se fosse verdadeiramente uma sinousoide pura, a CTFT seria apenas um delta de Dirac nessa frequência. De um modo geral, o área definida pela CTFT entre duas frequências está relacionada com a quantidade de energia do sinal nessa gama de frequências.

8 Exemplo: CTFT de uma exponencial t tempo, x( t) e jw t x( t) X ( w) e jwt dw e jw t X ( w) ( w w ) w

9 Exemplo: CTFT de um coseno t tempo, x( t) cos( w t) jw t jwt e e x( t) X ( w) e dw cos( wt) X ( w) ( w w ) ( w w ) jw t -w w

10 Exemplo: CTFT de um seno t tempo, x( t) sin( w t) jw t jwt e x( t) X ( w) e dw sin( wt) X ( w) ( w w) ( w w) j e j jw t / j) /j) -w w

11 CTFT de sinais reais Se o sinal é real : x t * ( ) x ( t) * * jwt * jwt x ( t) X ( w) e dw X ( w) e dw w * jwt * j t X w e dw X e d ( ) ( ) ( ) * j t X ( ) e d w jwt * jwt X ( w) e dw X ( w) e dw * X ( w) X ( w) Já era um resultado conhecido das séries de Fourier

12 Mudança de escala y( t) x( t) jwt jwt Y ( w) e dw X ( w) e dw w j t X e d w w jwt X e dw w Y ( W ) X

13 Linearidade y ax bx Y( w) ax ( w) bx ( w)

14 Reverse y( t) x( t) y( t) x( t) X ( w) e dw Y ( w) e dw jwt jwt u w Y ( w) e dw X ( u) e du X ( u) e du Y ( w) X ( w) jwt jut jut

15 Delta no domínio do tempo x t e X w w w jwt ( ) ( ) ( ) e se x( t) ( t)? jwt X ( w) x( t) e dt O delta de Dirac tem todas as frequências. Se pegarmos em todas as sinusoides do mundo (e jwt ) e as somarmos, obtemos um delta de Dirac.

16 Delta de Dirac como entrada Como o delta de Dirac representa todas as frequências, quando se excita um sistema com um delta de Dirac obtem-se toda a informação sobre o sistema uma vez que o excitámos com todas as frequências.

17 Sinais Periódicos Relação entre a transformada de Fourier e a Série de Fourier x t X e X w X w kw jkwt ( ) ( ) ( ) k k k k X ( kw ) X k p t -w w w 3w w

18 Exemplo ut () t t y( t) t e u( t) t jwt t jwt ( jw) t Y ( w) e u( t) e dt e e dt e dt e jw ( jw) t ( jw)

19 Exemplo Se fizermos reverse, não é necessário recalcular a Transformada, basta aplicarmos a regra y(t)=x(-t), Y(w)=X(-w) z( t) y( t) e u( t) t Z( w) Y ( w) jw

20 Soma das duas ' t z t e y t y t ( ) ( ) ( ) ' Z w Y w Y w ( ) ( ) ( ) w ( jw) ( jw) jw jw ( jw)( jw)

21 Resposta Impulsiva e Resposta em Frequência h( t) H ( w)? y( t) ( h* x)( t) h( s) x( t s) ds x() t e jwt H ( w) e jwt ( ) h() s e jw t s ds A Resposta em Frequência é a Tranformada de Fourier da Resposta Impulsiva.

22 Exemplo Calcular a resposta impulsiva de y ( t) y( t) x( t) sabendo que a resposta em frequência é H( w) jw Resposta: Como já vimos a transformada de Fourier Inversa de H( w) t é h( t) e u( t) jw

23 Exemplo Calcular a resposta impulsiva de y( t) 3 y ( t) y( t) x( t)

24 Calculando a RF Resposta: H( w)? jwt jwt H ( w)( jw) e 3 H ( w) jw e ( ) H( w) H w e ( jw) 3 jw ( jw)( jw) jwt e jwt

25 Factorizando (um polinómio do º grau pode sempre ser factorizado em dois termos (ver apêndice B)). A B Hw ( ) jw jw ( jw)( jw) A( jw) B( jw) A Ajw B Bjw A B A B A B B ; A Hw ( ) jw jw

26 TF inversa Como já vimos a transformada de Fourier Inversa de H( w) jw jw é h t e e u t t t ( ) ( )

27 Nota Quando se resolvem equações diferenciais sabemos que somos conduzidos a uma resposta livre, a uma resposta forçada, etc. Este método permite resolver qualquer equação diferencial desde que se saibam factorizar polinómios, decompor em fracções parciais e fazer a convolução

28 Mais simetria jwt jwt x( t) X ( w) e dw x( t) X ( w) e dw Mudanças de variável: jsu jsw x( u) X ( s) e ds x( w) X ( s) e ds jwt x( w) X ( t) e dt x( t) X ( w) X ( t) x( w)

29 Exemplos x(t) /a -a a X(w)=?

30 Exemplo a jwt jwt jwt X ( w) x( t) e dt x( t) e dt e dt a a a jwa jwa jwt a jwa jwa e e e e e sin( aw ) a jw a a jw aw j aw a a

31 Exemplo X( w) sin( aw) aw aw= - w= /a aw= - w= - /a w= aw= w= /a aw= w= /a w

32 Exemplo sin( aw) X ( w) sinc aw sin( x) Nota: sinc( x) x a w >> a=; >> w=-pi:pi/:pi; >> X=*pi/a./w.*(sin(a*w)); Warning: Divide by zero. >> plot (w,x)

33 Função sinc sin( aw) X ( w) sinc aw sin( x) Nota: sinc( x) x a w >> %% a função sinc(x) retorna (sin(pi*x))/pi*x pelo que o mesmo gráfico pode ser obtido por: >>>> plot (w,*pi*sinc(a/pi*w))

34 Analogamente 8 x(t) /a 6 4 X(w) -a a Se considerarmos que um sistema tem como resposta impulsiva X(t) então a sua resposta em frequência seria x(w) (a menos uma simetria e um factor pi), pelo que um filtro passa-baixo ideal é não causal (em tempo real É impossível realizar um filtro passa-baixo ideal (sobre os dados de um ficheiro já seria possível)

35 Aproximação usando Delay x(w) /a 8 6 X(w) 4 -a a Se considerarmos atrasarmos o sinal em 3pi/4, e truncarmos o valor da resposta impulsiva para t<, obtemos uma aproximação melhor. Mas há casos em que não se pode fazer um delay, por exemplo, sempre que há feedback.

36 Exemplo Hw ( ) 3jw jw jw Qual a amplitude e fase?

37 Amplitude e fase H( w) 3jw jw jw H( w) 9w w 4w H ( w) arctg(3 w) arctg( w) arctg( w)

38 Qual a equação diferencial que descreve o sistema? H( w) 3 jw 3 jw jw jw 3 jw w y( t) 3 y ( t) y( t) 3 x ( t) x( t)

39 E a resposta impulsiva? H( w) 3jw A B jw jw jw jw A jw B jw 3 jw A B A B jw 3 jw A B B A A B 3 A A 3 A ; B como x( at) w X a a h t e e u t t ( ) t ( )

40 E a resposta a um degrau? xt () t t h t e e u t t ( ) t ( ) y( t) h( s) x( t s) ds h( s) ds Como era de esperar uma vez que o degrau corresponde ao integral de um impulso. Aplicando o integral da entrada obtemos o integral da saída, uma vez que o sistema é linear. t

41 Exemplo simetria Cálculo de integrais que não se saberia calcular x( t) t e u( t) X( w) jw se xt () jt X ( w) w e u( w) jwt w e dt e u( jt w)

42 Mais exemplos de simetria Produto de sinais x y ( t) X ( w) Y ( w) x( t) y( t) X Y ( w)

43 DTFT DTFT InvDTFT : SinaisDiscretos SinaisContínuosPeriódicos : SinaisContínuosPeriódicos SinaisDiscretos n x( n) w X ( w) w R, X ( w) x( n) e jwn jwn t N, x( n) X ( w) e dw

44 Exemplo x(n) jwn X ( w) x( n) e e n n 3 jwn e e jw4 jw

45 X(w) Módulo x(n) X( w) e e jw8 jw w A DTFT tem periodicidade pi

46 DTFT e Série de Fourier X( w) x( n) e n jwn X w x n e X w j ( w ) n ( ) ( ) ( ) n A DTFT é portanto periódica. Se é periódica pode ser representada por uma série de Fourier: x() t k X e k jkw t jkww X( w) e e k k k k k x( k) Por isso, se calcularmos os coeficientes da série de Fourier da DTFT e recuperarmos esse sinal pela serie de Fourier obtemos o sinal que deu origem à DTFT a menos de uma inversão no tempo. jkw

47 DFT DFT InvDFT : SinaisDiscretosPeriódicos SinaisDiscretosPeriódicos : SinaisDiscretosPeriódicos SinaisDiscretos p ', n ( ) k n X n, x( n) p x k e p k X e ' k jnw k jkw n

48 Exemplo x(n) periódico 8 p jwn X ( w) x( n) e e n n 3 jwn e e jw4 jw

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