FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CAMPUS

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1 FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA Princípios de Comunicações Aulas 7 e 8 Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE)

2 3. Série de Fourier (SF) 3.. SF em sua forma exponencial comlexa Dado um sinal x t definido no intervalo (t 0, t 0 + T 0 ), com a definição ω 0 = 2πf 0 = 2π, definimos a Série exponencial complexa de Fourier T 0 (SF) como: Onde: x t = n= X n e nω 0t, t 0 t t 0 + T 0 X n = t 0 +T 0x න t e nω 0 t dt T 0 t 0 Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE) 2

3 Ex. - Encontrar a série exponencial complexa de Fourier para o sinal abaixo. Neste caso, T = π, portanto, ω 0 = 2π T = 2 rad/s x t = n= X n e nω 0t φ t = X n e 2nt n= Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE) 3

4 X n = T 0 න X n = π න 0 0 π T φ t e 2nt dt e t 2 e 2nt dt X n = π න v π e 2 +2n t dt X n = π 2 + 2n e X n = 0, n 2 +2n t π 0 Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE) 4

5 Assim temos: E, portanto, ( t) 0,504 φ t = n= X n e 2nt = φ t = 0,504 e 4 e 8 n= n= 0, n e2nt + 4n e2nt e 2 2t 4t 6t... 2t 4t 6t e 4 e 8 e 2... Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE) 5

6 Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE) 6 3. ANÁLISE DE FOURIER ,504 ) ( t t t e e e t t t t e e e Esta função pode ser interpretada como uma função discreta da frequência angular ω = 2πf, que assume valores apenas para ω = 0, ±ω 0, ±2ω 0, ±3ω 0, ±4ω 0, etc., valores esses correspondentes aos coeficientes da série de Fourier. Esta representação é designada por espectro do sinal x t. Ao representar um sinal periódico contínuo através da sua SF, estamos decompondo o sinal nas suas várias componentes de frequência.

7 Espectro da série exponencial complexa No espectro exponencial, plota-se os coeficientes X n como uma função de ω 0 (ou f 0 ). Uma vez que X n é complexo, em geral, necessita-se de plotar a parte real e a parte imaginária dex n, ou a amplitude e a fase das correspondentes componentes da série de Fourier. Plota-se X n x ω e X n x ω. Isto requer que os coeficientes seam expressos na forma polar como X n e X n. X 0 0,504 0,504 75,96º X 0,22e 4 0,504 75,96º X 0,22e X 0,222 X 4 0,504 82,87º X 0,0625e X 2 0,0625 X 2 8 0,504 82,87º X 0,0625e X 2 0,0625 X 2 8 X 0,222 X 75,96º 75,96º 82,87º 2 82,87º 2 Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE) 7

8 A figura abaixo mostra o espectro de frequência (amplitude e fase) da série exponencial de Fourier para a função periódica em estudo. Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE) 8

9 3..2 SF em sua forma trigonométrica Da SF em sua forma exponencial complexa observamos que: X n = X n e X n = X n Portanto, podemos reagrupar a SF em sua forma exponencial complexa em pares de termos da forma: X n e nω 0t + X n e nω 0t = X n e nω 0t+ X n + X n e (nω 0t+ X n ) = 2 X n cos(nω 0 t + X n ) Assim, o sinal x t = σ n= X n e nω0t pode ser escrito em sua forma trigonométrica equivalente por: x t = X X n cos(nω 0 t + X n ) n= Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE) 9

10 x t = X X n cos(nω 0 t + X n ) n= Expandindo o cosseno na equação acima, vamos obter outra série equivalente, na forma: Onde: x t = X 0 + A n cos(nω 0 t) + B n sen(nω 0 t) n= n= A n = 2 X n cos X n B n = 2 X n sen X n = 2 t 0 +T 0x න t cos nω0 t T 0 t 0 = 2 t 0 +T 0x න t sen nω0 t T 0 t 0 dt dt Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE) 0

11 x t = X 0 + n= A n cos(nω 0 t) + n= O termo X 0 na série acima é dado pela equação: X 0 = t 0 +T 0x න t dt T 0 t 0 B n sen(nω 0 t) O termo X 0 é o valor médio de x t no intervalo (t 0, t 0 +T 0 ). Assim, X 0 é a componente DC na série de x t neste intervalo. A principal tarefa é a determinação dos coeficientes de Fourier: X 0, A n e B n. O processo de determinação dos coeficientes é chamado Analise de Fourier. Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE)

12 Integrais úteis na análise de Fourier T න sen nω 0 t dt = 0 0 T න cos mω 0 t dt = 0 0 T න sen nω 0 t cos mω 0 t dt = 0 0 T න sen nω 0 t sen mω 0 t dt = 0 0 T න cos nω 0 t cos mω 0 t dt = 0 0 (m n) (m n) T න sen² nω 0 t dt = T 0 2 T න cos² nω 0 t dt = T 0 2 න cos at dt = a sen at න t cos at dt = a² cos at + a t sen at න sen at dt = a cos at න t sen at dt = a² sen at t cos at a Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE) 2

13 Valores de cosseno, seno e funções exponenciais cos 2nπ = sen 2nπ = 0 cos nπ = ( ) n sen nπ = 0 cos nπ 2 = ( )n/2 se n for impar e cos nπ 2 = 0 se n for par sen nπ 2 = ( )(n )/2 se n for impar e sen nπ 2 = 0 se n for par e 2nπ = e nπ = ( ) n e nπ 2 = ( ) n 2 se n for impar e e nπ 2 = ( ) (n ) 2 se n for par Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE) 3

14 Espectro da SF em sua forma trigonométrica Espectro de frequência de um sinal consiste em plotar a amplitude e as fases das harmônicas versus a frequência. A amplitude é dada por: A fase é dada por: E, Amp n = A n 2 + B n 2 φ n = tan B n A n Amp n φ n = A n B n Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE) 4

15 Ex. 2 - Encontrar a série trigonométrica de Fourier para o sinal abaixo no intervalo (0, ). Obter o espectro de amplitude e fase. Observe que x t = At 0 < t <, o intervalo T = e ω 0 = 2π T = 2π rad s. Devemos escolher t 0= 0. x t = X 0 + n= A n cos(nω 0 t) + n= B n sen(nω 0 t) Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE) 5

16 Devemos, então calcular os coeficientes X 0, A n, B n. X 0 = t 0 +T 0x න t dt X 0 = T 0 න At dt = t 0 0 A 2 A n = 2 t 0 +T 0x න t cos nω0 t dt A T n = 2 0 t 0 න Atcos2πnt dt 0 A n = A 2π 2 cos2πnt + 2πnt sen 2πnt = 0 n2 0 B n = 2 t 0 +T 0x න t sen nω0 t dt B n = 2 T 0 න Atsen2πnt dt t 0 0 A B n = 2π 2 n 2 sen 2πnt 2πnt cos 2πnt = A 0 πn Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE) 6

17 Uma vez que A n = 0 para todos os valores de n, todos os termos em cosseno na série de Fourier são zero. Os coeficientes dos termos em seno são dados por A πn. A série pode ser expressa, agora como: x t = A 2 A π sen2πt A 2π sen4πt A 3π sen6πt - A nπ sen2πnt x t = A 2 A sen(2πnt) π 0 < t < n n= Assim, expressamos x t em termos das suas componentes no intervalo 0,. Pela equação acima, é evidente x t tem uma componente DC A 2. Além disso, x t tem componentes de funções senoidais sen2πt, sen4πt, etc. com magnitudes A π, A 2π, etc. Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE) 7

18 Espectro de amplitude e frequência do sinal A amplitude é dada por: Amp n = A n 2 + B n 2 Onde: A n = 0 e B n = A πn Amp n = A n 2 + B n 2 = B n = A πn A fase é dada por: φ n = tan B n A n φ n = tan B n A n = 90º Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE) 8

19 A Família Fourier A análise de Fourier é uma família de técnicas matemáticas, todas elas baseadas na decomposição de sinais em senóides. A Transformada Discreta de Fourier (Discrete Fourier Transform - DFT) é o membro da família utilizado para sinais digitalizados. Os sinais podem ser classificados em: (sinais contínuos ou discretos e sinais periódicos ou aperiódicos Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE) 9

20 Estes dois critérios levam aos quatro elementos da família de transformadas de Fourier: Sinais contínuos e aperiódicos: Transformada de Fourier Sinais contínuos e periódicos: Série de Fourier Sinais discretos e aperiódicos: Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT) Sinais discretos e periódicos: Transformada Discreta de Fourier (DFT) Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE) 20

21 Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE) 2

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23 O que funciona na prática Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE) 23