Processamento de Sinais Multimídia
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- Patrícia Alvarenga Nunes
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1 Processamento de Sinais Multimídia Introdução Mylène Christine Queiroz de Farias Departamento de Ciência da Computação Universidade de Brasília (UnB) Brasília, DF de Março de 2012 Aula 03: Representação Espectral e Sinais Discretos
2 Espectro Espectro: representação de um sinal no domínio da frequência que revela o conteúdo em freqência do sinal; De acordo com a expressão inversa de Euler: x a (t) = A cos(ω 0 t + φ) = A 2 ejω 0t e jφ + A 2 e jω 0t e jφ Esta expressão pode ser interpretada como a soma de doi fasores e representada da seuinte forma {(X /2, F ), (X /2, F )} lembrando que X = Ae jφ e F = ω 0 /(2π) Espectograma: espectro vs. tempo. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
3 Espectro x a (t) = cos(2πf 1 t) + cos(2πf 2 t) F 1 = F c F F 2 = F c + F Frequência central: F c = (F 1 + F 2 )/2 Frequência de desvio: F = (F 2 F 1 )/2 F << F c (1/2, F 1 ), (1/2, F 1 ), (1/2, F 2 ), (1/2, F 2 ) pause { } x a (t) = R e j2πf 1t R {e } j2πf 2t Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
4 Espectro x a (t) = cos(2πf 1 t) + cos(2πf 2 t) { } x a (t) = R e j2πf 1t R {e } j2πf 2t { } = R e j2π(fc F )t R {e } j2π(fc+f )t {e ( )} j2πfct e j2πf t + e j2πf t = R = R { } e j2πfct (2 cos(2πf t)) = 2 cos(2πf c t) cos(πf t) Somar duas senóides com frequências muito parecidas é igual a multiplicar duas senóides com frequências bem distantes! Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
5 Espectro Qual o efeito de multiplicar uma senóide com alta frequência (e.g., 2000 Hz) por uma de baixa (e.g., 20 Hz)? Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
6 Aplicação Modulação x a (t) = v a (t) cos(2πf c t) v a (t): sinal a ser transmitido; cos(2πf c t): sinal da portadora; F c : frequência da portadora. Exemplo: v a (t) = cos(40πt) onde F c = 200Hz Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
7 Aplicação v a (t) = cos(40πt) onde F c = 200Hz. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
8 Exponenciais Complexas Lembrando: N A k cos(ω 0 t + φ k ) = k=1 N k=1 R {A } k e j(ω 0t+φ k ) { N } = R A k e jω0t e jφ k k=1 {( N ) = R A k e jφ k k=1 = R {Ae } jφ e jω 0t = A cos(ω 0 t + φ) e jω 0t } Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
9 Espectro de uma soma de senóides Combinação linear aditiva: constante + N senóides de frequências, fases e amplitudes diferentes. N x(t) = X 0 + A k cos(2πf k t + φ k ) k=1 Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
10 Espectro de uma soma de senóides Combinação linear aditiva: constante + N senóides de frequências, fases e amplitudes diferentes. N x(t) = X 0 + A k cos(2πf k t + φ k ) ou, em termos de fasores: onde X k = A k e jφ. k=1 x(t) = X 0 + N k=1 R {X } k e j2πf kt Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
11 Espectro de uma soma de senóides Combinação linear aditiva: constante + N senóides de frequências, fases e amplitudes diferentes. N x(t) = X 0 + A k cos(2πf k t + φ k ) ou, em termos de fasores: onde X k = A k e jφ. k=1 x(t) = X 0 + N k=1 R {X } k e j2πf kt x(t) = X 0 + { } N Xk k=1 2 e j2πfkt + X k 2 e j2πf kt Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
12 Espectro de uma soma de senóides Logo, x(t) = X 0 + { } N Xk k=1 2 e j2πfkt + X k 2 e j2πf kt Desta expressão vemos que cada senóide se decompõe em dois fasores, um com frequência positiva f k e outro com frequência negativa f k. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
13 Espectro de uma soma de senóides Logo, x(t) = X 0 + { } N Xk k=1 2 e j2πfkt + X k 2 e j2πf kt Desta expressão vemos que cada senóide se decompõe em dois fasores, um com frequência positiva f k e outro com frequência negativa f k. Espectro: {(X 0, 0), (X 1 /2, f 1 ), (X 1 /2, f 1 ),..., (X N /2, f N ), (X N /2, f N)} Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
14 Formas de onda periódicas Mostramos que dois cossenos de mesma frequência quando adicionados resultam em um cosseno de mesma frequência; Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
15 Formas de onda periódicas Mostramos que dois cossenos de mesma frequência quando adicionados resultam em um cosseno de mesma frequência; Mostramos que multiplicar senóides é equivalente a somar componentes em frequências diferentes; Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
16 Formas de onda periódicas Mostramos que dois cossenos de mesma frequência quando adicionados resultam em um cosseno de mesma frequência; Mostramos que multiplicar senóides é equivalente a somar componentes em frequências diferentes; O que acontece quando adicionamos dois ou mais cossenos com frequências relacionadas harmonicamente? Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
17 Formas de onda periódicas Mostramos que dois cossenos de mesma frequência quando adicionados resultam em um cosseno de mesma frequência; Mostramos que multiplicar senóides é equivalente a somar componentes em frequências diferentes; O que acontece quando adicionamos dois ou mais cossenos com frequências relacionadas harmonicamente? N x(t) = X 0 + A k cos(2πkf 0 t + φ k ) f 0 : frequência fundamental; k=1 f k = (k f 0 ): harmônica de f 0. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
18 Formas de onda periódicas Mostramos que dois cossenos de mesma frequência quando adicionados resultam em um cosseno de mesma frequência; Mostramos que multiplicar senóides é equivalente a somar componentes em frequências diferentes; O que acontece quando adicionamos dois ou mais cossenos com frequências relacionadas harmonicamente? N x(t) = X 0 + A k cos(2πkf 0 t + φ k ) f 0 : frequência fundamental; k=1 f k = (k f 0 ): harmônica de f 0. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
19 Formas de onda periódicas N x(t) = X 0 + A k cos(2πkf 0 t + φ k ) k=1 Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
20 Formas de onda periódicas x(t) = X 0 + N A k cos(2πkf 0 t + φ k ) k=1 x(t) = X 0 + onde X 0 = A 0 e X k = A k e jφ. N k=1 Qual a frequência deste sinal composto? R {X } k e j2πkf 0t Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
21 Formas de onda periódicas Exemplo: x(t) = R {X } 2 e j2π2f0t + X 4 e j2π4f0t + X 5 e j2π5f0t + X 1 6e j2π16f0t + X 2 e j2π17f 0t onde f 0 = 100Hz e as amplitudes complexas são dadas por: k f k X k Mag. Fase j , j , j , j , j Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
22 Formas de onda periódicas Components of a synthetic vowel Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
23 Formas de onda periódicas Components of a synthetic vowel Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
24 Formas de onda periódicas Components of a synthetic vowel Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
25 Formas de onda periódicas Components of a synthetic vowel Qual o período a cada vez que adicionamos uma harmônica? Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
26 Formas de onda periódicas As primeiras 2 frequências são múltiplas de 200 Hz, logo o período é 1/200 = 5ms; Ao adicionar a terceira (500 Hz), a frequência fundamental agora é 100 Hz (período = 10 ms); O mesmo é verdade para o restante das formas de onda. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
27 Formas de onda periódicas x(t) = X 0 + N A k cos(2πkf 0 t + φ k ) k=1 x(t) = X 0 + onde X 0 = A 0 e X k = A k e jφ. N k=1 R {X } k e j2πkf 0t Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
28 Formas de onda periódicas x(t) = X 0 + N A k cos(2πkf 0 t + φ k ) k=1 x(t) = X 0 + onde X 0 = A 0 e X k = A k e jφ. N k=1 R {X } k e j2πkf 0t Podemos sintetizar formas de ondas utilizando somas de senóides, contanto que as suas frequências sejam harmonicamente relacionadas. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
29 Formas de onda periódicas x(t) = X 0 + N A k cos(2πkf 0 t + φ k ) k=1 x(t) = X 0 + onde X 0 = A 0 e X k = A k e jφ. N k=1 R {X } k e j2πkf 0t Podemos sintetizar formas de ondas utilizando somas de senóides, contanto que as suas frequências sejam harmonicamente relacionadas. Série de Fourier! x(t) X k (Análise de Fourier) Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
30 Formas de onda periódicas x(t) = X 0 + N k=1 x(t) X k (Análise de Fourier) R {X } k e j2πkf 0t Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
31 Formas de onda periódicas x(t) = X 0 + N k=1 x(t) X k (Análise de Fourier) R {X } k e j2πkf 0t X k = 2 T0 x(t)e j2πkt/t 0 dt T 0 T 0 é a frequência fundamental de x(t). 0 Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
32 Formas de onda periódicas x(t) = X 0 + N k=1 x(t) X k (Análise de Fourier) R {X } k e j2πkf 0t X k = 2 T0 x(t)e j2πkt/t 0 dt T 0 0 T 0 é a frequência fundamental de x(t). A componente DC é obtida através de X 0 = 1 T0 x(t)dt T 0 0 Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
33 Formas de onda periódicas x(t) = X 0 + N k=1 R {X } k e j2πkf 0t Exemplos de ondas periódicas: onda quadrada, onda triangular, etc. Não necessariamente senóides. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
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36 Formas de onda periódicas Exemplos de uma onda não periódica: O que acontece se adicionarmos frequências que não possuem nenhuma relação entre si? Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
37 Formas de onda periódicas Exemplos de uma onda não periódica: O que acontece se adicionarmos frequências que não possuem nenhuma relação entre si? x(t) = A 0 + = X 0 + N A k cos(2πf k t + φ k ) k=1 N k=1 { Ak 2 ejφ k e j2πfkt + A } k 2 e jφ k e j2πf kt Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
38 Formas de onda periódicas Exemplos de uma onda não periódica: O que acontece se adicionarmos frequências que não possuem nenhuma relação entre si? x(t) = A 0 + = X 0 + N A k cos(2πf k t + φ k ) k=1 N k=1 { Ak 2 ejφ k e j2πfkt + A } k 2 e jφ k e j2πf kt A periodicidade está relacionada à presença de frequências harmonicas. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
39 xh (t) = 2 cos(20πt) 2 2 cos(20π(3)t) + cos(20π(5)t) 3 5
40 x 2 (t) = 2 cos(20πt) 2 3 cos(20π( 8)t) cos(20π( 27)t)
41 Modulação em frequência Chirp Sinal cuja frequência muda linearmente de um valor baixo a um valor alto. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
42 Modulação em frequência Chirp Sinal cuja frequência muda linearmente de um valor baixo a um valor alto. Concatenar um conjunto de senóides de frequência constante e crescentes (linearmente). Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
43 Modulação em frequência Chirp Sinal cuja frequência muda linearmente de um valor baixo a um valor alto. Concatenar um conjunto de senóides de frequência constante e crescentes (linearmente). Problema: as mudanças entre as frequências são aparentes. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
44 Modulação em frequência Chirp De para Sinal cuja frequência muda linearmente de um valor baixo a um valor alto. Concatenar um conjunto de senóides de frequência constante e crescentes (linearmente). Problema: as mudanças entre as frequências são aparentes. Solução: modificar a nossa senóide de forma a obter uma frequência variável. x(t) = R {Ae } j(ω 0t+φ) = A cos(ω 0 t + φ) { x(t) = R Ae jψ(t)} = A cos(ψ(t)) Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
45 Chirp Chirp. Demo: Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
46 Modulação em frequência { x(t) = R Ae jψ(t)} = A cos(ψ(t)) Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
47 Modulação em frequência { x(t) = R Ae jψ(t)} = A cos(ψ(t)) Neste caso ψ(t) indica a fase como função do tempo. Por exemplo: ψ(t) = 2πµt 2 + 2πf 0 t + φ. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
48 Modulação em frequência { x(t) = R Ae jψ(t)} = A cos(ψ(t)) Neste caso ψ(t) indica a fase como função do tempo. Por exemplo: ψ(t) = 2πµt 2 + 2πf 0 t + φ. Podemos definir a frequência instantânea para estes sinais como a sua inclinação (i.e. sua derivada): ω i (t) = d dt ψ(t)rad/s. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
49 Modulação em frequência { x(t) = R Ae jψ(t)} = A cos(ψ(t)) Neste caso ψ(t) indica a fase como função do tempo. Por exemplo: ψ(t) = 2πµt 2 + 2πf 0 t + φ. Podemos definir a frequência instantânea para estes sinais como a sua inclinação (i.e. sua derivada): ω i (t) = d dt ψ(t)rad/s. Se dividirmos por 2π obtemos a relação em Hertz: f i (t) = 1 d 2π dt ψ(t)rad/s Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
50 Modulação em frequência { x(t) = R Ae jψ(t)} = A cos(ψ(t)) ψ(t) = 2πµt 2 + 2πf 0 t + φ. f i (t) = 1 d 2π dt ψ(t) = 2µt + f 0 Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
51 Modulação em frequência { x(t) = R Ae jψ(t)} = A cos(ψ(t)) ψ(t) = 2πµt 2 + 2πf 0 t + φ. f i (t) = 1 d 2π dt ψ(t) = 2µt + f 0 Pergunta Vocês sabem o que é isto? Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
52 Modulação em frequência { x(t) = R Ae jψ(t)} = A cos(ψ(t)) ψ(t) = 2πµt 2 + 2πf 0 t + φ. f i (t) = 1 d 2π dt ψ(t) = 2µt + f 0 Pergunta Vocês sabem o que é isto? FM = Frequency Modulation! Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
53 Modulação em frequência Exemplo 1: Intervalo de frequência: f 1 = 220Hz a f 2 = 2320Hz Intervalo de tempo: t = 0 a t = T 2 = 3s; Logo, temos: f i (t) = f 2 f 1 T 2 t + f 1 = t Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
54 Modulação em frequência Exemplo 1: Intervalo de frequência: f 1 = 220Hz a f 2 = 2320Hz Intervalo de tempo: t = 0 a t = T 2 = 3s; Logo, temos: f i (t) = f 2 f 1 T 2 t + f 1 = t Como obtemos ψ(t)? Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
55 Modulação em frequência Integrando f i (ou ω i = 2πf i ) no tempo: ψ(t) = = = t 0 t 0 t 0 ω i (u)du ( π 3 2π (700u + 220) du = 700πt πt + φ ) u du O deslocamento de fase φ é uma constante arbitrária. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
56 Modulação em frequência Exemplo 2: Intervalo de frequência: f 1 = 100Hz a f 2 = 500Hz Intervalo de tempo: t = 0 a t = T 2 = 0.04s; Determine µ e f 0. Lembrando: ψ(t) = 2πµt 2 + 2πf 0 t + φ. f i (t) = 1 d 2π dt ψ(t) = 2µt + f 0 Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
57 Modulação em frequência Exemplo 2: Intervalo de frequência: f 1 = 100Hz a f 2 = 500Hz Intervalo de tempo: t = 0 a t = T 2 = 0.04s; Determine µ e f 0. Lembrando: Do exemplo anterior: ψ(t) = 2πµt 2 + 2πf 0 t + φ. f i (t) = 1 d 2π dt ψ(t) = 2µt + f 0 f i (t) = f 2 f 1 T 2 t + f 1 = t Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
58 Modulação em frequência Vamos comparar senóides com o chirp! Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
59 Modulação em frequência Resumo: { } x(t) = R Ae j(ω 0t+φ) = A cos(ω 0 t + φ) { = R Ae jψ(t)} = A cos(ψ(t)) f i (t) = 1 d 2π dt ψ(t)rad/s Se ψ(t) é constante x(t) a frequência do sinal é zero (constante); Se ψ(t) é função linear x(t) é uma senóide com uma única frequência constante; Se ψ(t) é função quadrática x(t) é um sinal chirp cuja frequência varia linearmente; etc... Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 31
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