1 o Teste Tipo. Sinais e Sistemas (LERC/LEE) 2008/2009. Maio de Respostas

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1 o Teste Tipo Sinais e Sistemas (LERC/LEE) 2008/2009 Maio de 2009 Respostas

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3 Problema. (0,9v) Considere o seguinte integral: + 0 δ(t π/4) cos(t)dt em que t eδ(t) é a função delta de Dirac. O integral vale: 2/2 δ(t) Problema 2. (0,9v) Considere o sinal Assinale a afirmação correcta n, x(n)=e j(π+3)n Nenhuma das restantes respostas está certa x(n) é um sinal periódico com período fundamental 2 x(n) é um sinal periódico com período fundamental 3 x(n) é um sinal periódico com período fundamental 6 Problema 3. (0,9v) Considere um sistema contínuo que para o sinal de entrada x(t) produz na saída o sinal Escolha a afirmação verdadeira: t, y(t)= x(t/2) o sistema não tem memória o sistema não é estável o sistema não é causal

4 Problema 4. (0,9v) Considere o sinal: t, y(t)=u(t) u(t) em que u(t) é a função escalão unitário e significa a operação de convolução. O valor de y(3/2) é: 0 3/2 /2 Problema 5. (0,9v) Considere um sistema linear e invariante no tempo caracterizado pela resposta impulsiva: t, h(t)=u(t ) em que u(t) é a função escalão. Escolha a afirmação verdadeira: o sistema não é causal o sistema é estável o sistema não é estável Problema 6. (0,9v) Considere um sistema continuo, linear e invariante no tempo caracterizado pela equação diferencial: t, dy(t) dt + 2y(t)=4x(t) Sabendo que a entrada do sistema vale x(t)=3e 3t u(t). Qual será a solução particular da equação diferencial: y p (t)=6e 3t y p (t)= 2e 3t y p (t)=2e 3t 2

5 Problema 7. (0,9v) Considere um sistema contínuo em que a entrada é dada por: e a saída: x(t)=a x cos(ω x t+φ x ) y(t)= A y cos(ω y t+φ y ) em que A x, A y,ω x,ω y,φ x,φ y são constantes reais. Indique a resposta verdadeira: Se o sistema for linear e invariante no tempo pode-se garantir queφ x =φ y Se o sistema for linear e invariante no tempo pode-se garantir queφ x =φ y e queω x =ω y Se o sistema for linear e invariante no tempo pode-se garantir queω x =ω y Problema 8. (0,9v) Considere uma sequência periódica real x(n) de período 5 cujos coeficientes da série de Fourier são a k. A sequência y(n) é construída pela expressão: y(n)= x(n) jx(5 n)+ x(0 n)+ jx(n+5) Sendo b k os coeficientes da série de Fourier de y(n), escolha a resposta certa:. b 0 é um número imaginário puro. b k = 2a k. b é um número real. Problema 9. (0,9v) Sendo x(n) um sinal discreto, periódico, real e par, com período N = 5 e coeficientes da série de Fourier a k. Sabendo que: 4 a k 2 = e que x( 2) = e x() =, determine qual das seguintes afirmações é verdadeira: k=0 x(0)= x(5)=0 x(2)= 3

6 Problema 0. (0,9v) Admita que o sinal contínuo x(t), tem como transformada de Fourier X( jω) que é uma função par. Indique qual será a transformada de Fourier de x (t)= x( t a) x(t a): X ( jω)=e j2ω X 2 ( jω) X ( jω)=e j2ω X( jω) X ( jω)=x 2 ( jω) Problema. (0,9v) Considere um filtro ideal, em tempo contínuo, com a seguinte resposta em frequência:, < ω <3 ω, H(ω)= 0, caso contrário Sabendo que à entrada do filtro foi colocado o sinal x(t): t, x(t)=+2 cos(2t)+2 cos(4t) Indique qual das seguintes expressões representa, Y(ω), a transformada de Fourier do sinal de saída do filtro: Y(ω)=2π(δ(ω)+δ(ω 2)+δ(ω+2)) Nenhuma das restantes equações representa Y(ω). Y(ω)=2πδ(ω) Y(ω)=2π(δ(ω 2)+δ(ω+2)) Problema 2. (0,9v) Considere um sistema contínuo, linear e invariante no tempo com a seguinte resposta ao impulso: t, h(t)=e t u(t) Sabendo que à entrada do filtro foi colocado o sinal em tempo contínuo x(t) tal que: t, x(t)=cos(t) Indique qual das seguintes expressões representa, Y(ω), a transformada de Fourier em tempo contínuo do sinal de saída do filtro: Y(ω)= π 2+ j (δ(ω )+δ(ω+)) Nenhuma das restantes equações representa Y(ω). Y(ω)= π 2+ j (δ(ω 2)+δ(ω+2)) Y(ω)= π + j (δ(ω )+δ(ω+)) 4

7 Problema 3. (0,9v) Considere um sistema discreto cuja saída y(n) tem como transformada de Fourier Y(e jω ) que está relacionada com a DTFT da entrada pela equação: Y(e jω )= ω+π/3 ω π/3 X(e jθ )dθ Diga qual das seguintes expressões define y(n) (em que representa a operação de convolução como habitualmente): y(n)= x(n) sin(πn/3) πn y(n)=2x(n) sin(πn/3) n y(n)=3x(n) sin(πn/3) n Problema 4. (0,9v) Considere um sistema discreto, linear e invariante no tempo com a seguinte resposta ao impulso: n, h(n)=δ(n) δ(n 2) Assinale a equação correspondente ao módulo da resposta em frequência deste sistema: H(e jω ) = cos(2ω) Nenhuma das restantes. H(e jω ) =2 cos(ω) H(e jω ) =2 sin(6ω) Problema 5. (0,9v) Considere um sinal discreto y(n) cuja transformada de Fourier em tempo discreto é representada pela expressão: ω, Y(e jω )= Assinale uma expressão válida para y(n): Nenhuma das restantes equações representa y(n). y(n)=3(/2) n u(n) 2(/3) n u(n) y(n)= 3 5 (/2)n u(n)+ 2 5 ( /3)n u(n) y(n)= (/2) n u(n)+ 2( /3) n u(n) ( (/2)e jω )(+(/3)e jω ) 5

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9 Problema 6. (3,25v) Considere a composição em cascata de dois sistemas contínuos lineares e invariantes no tempo: x(t) y(t) S S 2 z(t) Sabe-se que o sistema S 2 tem como resposta em frequência:, ω <5π H 2 ( jω)= 0, caso contrário. Sabendo que no sistema S a entrada x e a saída y se relacionam pela equação diferencial: dy(t) + y(t)=4x(t) 0π dt determine H ( jω), a resposta em frequência do sistema S. 2. Considere que a entrada x é o sinal periódico x(t) = cos(0πt) + sin(20πt). Determine o período deste sinal e os coeficientes da sua série de Fourier. 3. Determine o sinal z à saída da composição dos dois sistemas quando a entrada for o sinal da alínea anterior (se não resolveu a primeira alínea considere H ( jω)= j ω 0π ) Resposta:. Uma vez que se trata de um SLIT: x(t)=e jωt y(t)=h (ω)e jωt aplicando as propriedades da CTFT: 0π ( jω)h (ω)e jωt + H (ω)e jωt = 4e jωt H (ω)= 4 + j ω 0π 2. O sinal é periódico com período T= 0,2 s eω 0 = 0π. Pela fórmula de Euler: x(t)= 2 e j0πt + 2 e j0πt + 2 j e j20πt j20πt e 2 j é fácil concluir: 2, k = 2 j X k =, k= 2 2 j, k= 2 0, caso contrário 3. A série de Fourier da saída será z(t)= 2 k= 2 H(k0π)X k e jk0πt como H(ω)=H (ω)h 2 (ω)= H 2 (ω)h (ω) e H(20π)= H 2 (20π)=0 H(0π)= H (0π) 4 = + j 0π 0π = 2 2e jπ/4 = 2( j) então 7 z(t)= 2e jπ/4 2 e j0πt + 2e jπ/4 j0πt e 2 = 2 2 cos(0πt π/4)

10 Problema 7. (3,25v) Considere um sistema discreto linear e invariante no tempo caracterizado pela seguinte resposta em frequência: jω e H(e jω )= 3e jω. Determine a equação às diferenças que relaciona x(n), o sinal de entrada do sistema, com o sinal de saída y(n). 2. Determine a resposta do sistema ao sinal x (n)= ( ) n u(n) 2 3. Usando o resultado da alínea anterior calcule a resposta do sistema ao sinal: ( ) n x 2 (n)= [u(n) u(n 4)] 2 Resposta:. 2. y(n) y(n )= x(n) x(n ) 3 X (ω)= 2e jω Y (ω) = e jω ( 3 e jω )( 2 e jω ) 4 = e jω 2 e jω y (n)=4 ( ) n ( ) n u(n) 3 u(n) x 2 (n)= x (n) ( )( ) n 4 u(n 4)= x (n) x (n 4) y 2 (n)=y (n) 6 y (n 4) 8