Sinais e Sistemas. A Transformada de Fourier de Tempo Contínuo. Renato Dourado Maia. Universidade Estadual de Montes Claros. Engenharia de Sistemas

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1 Sinais e Sistemas A Transformada de Fourier de Tempo Contínuo Renato Dourado Maia Universidade Estadual de Montes Claros Engenharia de Sistemas

2 Introdução Nas últimas aulas, desenvolvemos a representação de sinais periódicos como combinação linear de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas, e utilizamos essa representação para estudar sistemas LTI. MAS O QUE FAZER PARA SINAIS APERIÓDICOS? 2/24

3 Introdução Em seu trabalho, Fourier utilizou o fato de que um sinal aperiódico pode ser interpretado como um sinal periódico de período infinito. Se lembrarmos da representação em FS, perceberemos que, conforme o período aumenta, a frequência fundamental diminui, e, na frequência, as componentes harmônicas ficam cada vez mais próximas... 3/24

4 Introdução xt () T T T T Ta k T t 4T 2 2 a k 2 sen( k T ) k T Ta k T 8T Ta k 2 sen( T ) k 4 Ta k 4 T 6T 8 8 4/24

5 O Par Transformada de Fourier jt xt () X( j) e d 2 X( j) x() t e jt dt Transformada Inversa de Fourier Equação de Síntese Transformada (ou Integral) de Fourier Equação de Análise CONVERGÊNCIA? 5/24

6 Convergência da Assim como para sinais periódicos, as condições de Dirichlet garantem que um sinal é igual à sua representação em, exceto em valores isolados de tempo para os quais o sinal é descontínuo (Fenômeno Gibbs). As condições são:. O sinal deve absolutamente integrável. 2. O sinal deve possuir um número finito de máximos e mínimos num período. 3. O sinal deve possuir um número finito de descontinuidades num período. 6/24

7 Transformada de Fourier () Exemplo at xt () e ut (), a at jt ( aj) t ( ), X j e e dt e a a j a j O QUE ACONTECERIA SE a? 7/24

8 Transformada de Fourier () Exemplo at xt () e ut (), a at jt ( aj) t ( ), X j e e dt e a a j a j Escrevendo na Forma Módulo/Fase: X( j) a 2 2 X( j) tan a 8/24

9 Transformada de Fourier () Exemplo X( j) a a 2 2 X( j) tan a 2 ( a 2) a 4 4 a a a 2 9/24

10 Transformada de Fourier () Exemplo 2 xt (),, t t T T T jt jt jt jt ( ) ( ) X j e dt e e e j j T j T j T 2j e e 2 X( j) sen( T ) 2T j 2j T T sen( T ) T /24

11 Transformada de Fourier () Exemplo 2 xt () X( j) 2 T t T π T T T /24

12 Transformada de Fourier () Exemplo 3 X( j),, W W W W jt jt W sen( Wt) xt ( ) e d e sen( Wt) 2 2j t Wt W W DUALIDADE? LEIAM NO LIVRO!!! 2/24

13 Transformada de Fourier () Exemplo 4 Determinar a do impulso jt X( j) () t e dt Exemplo 5 Determinar a inversa do impulso na Frequência jt xt () ( ) e d 2 2 3/24

14 Transformada de Fourier () Existe para sinais periódicos? 4/24

15 para Sinais Periódicos Exemplo 6 X( j) ( ) jt 2 2 xt () ( ) e d e j t PERIÓDICO!!! Então: j t e 2 ( ) ENERGIA CONCENTRADA Generalizando: NUNA ÚNICA FREQUÊNCIA jk t k k k k xt ae X j a k () ( ) 2 ( ) 5/24

16 para Sinais Periódicos xt ( ) cos( t) Exemplo 7 Euler xt () e e 2 2 X( j) ( ) ( ) X( j) j t j t 6/24

17 Algumas Propriedades da Linearidade xt () X( j) yt () Y( j) zt () Axt () Byt () Z( j) AX( j) BY( j) Deslocamento no Tempo xt () X( j) ( t ) ( ) jt xt e X j Magnitude se mantém, e há atraso de fase 7/24

18 Algumas Propriedades da t Diferenciação no Tempo xt () X( j) dx() t dt jx( j) Integração no Tempo xt () X( j) x( ) d X( j) X() ( ) j 8/24

19 Algumas Propriedades da Diferenciação na Frequência xt () X( j) d tx() t j X( j) d Deslocamento na Frequência j t xt () X( j) e xt X j ( ) ( ( )) 9/24

20 Algumas Propriedades da Mudança de Escala no Tempo xt () X( j) j x( at) X a a Relação de Parseval 2 2 x() t dt X( j) d 2 2/24

21 Algumas Propriedades da Se o sinal é real Conjugado xt () X( j) x () t X j Xj Xj X j X j Re Re Im Xj Im Xj Xj Xj Par X j X j Ímpar Par Ímpar 2/24

22 Algumas Propriedades da Se o sinal é real e par, a será também real e par. Se o sinal é real e ímpar, a será puramente imaginária e ímpar. Lembrando que um sinal pode ser decomposto em uma soma de partes par e ímpar, pode-se concluir que, para um sinal real: xt () X( j) X( j) Re X( j) j Im X( j) xt () Par xt () Ímpar xt () xt X j Par ( ) Re ( ) xtj X j Ímpar ( ) Im ( ) 22/24

23 Exercícios Exercício 4. Signals and Systems Determine a para cada um dos sinais a seguir, e desenhe os gráficos de magnitude: xt = e ut 2( t ) ( ) ( ) a) b) xt () = e 2t Exercício 4.2 Signals and Systems Determine a para cada um dos sinais a seguir, e desenhe os gráficos de magnitude: xt ( ) = δ( t+ ) + δ( t ) d { u ( 2 t + ut ( 2)) } dt a) b) 23/24

24 Exercícios Exercício 4.3 Signals and Systems Determine a para cada um dos sinais periódicos a seguir: xt ( ) sen(2 t ) xt ( ) cos(6 t ) 4 8 a) b) Determine a I: Exercício 4.4 Signals and Systems X ( j ) 2 ( ) ( 4 ) ( 4 ) a) b) X 2 2 ( j) /24