Fundamentos de sinais e sistemas em tempo discreto

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1 Fundamentos de sinais e sistemas em tempo discreto ENGC33: Sinais e Sistemas II Departamento de Engenharia Elétrica - DEE Universidade Federal da Bahia - UFBA 21 de novembro de 2016 Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 47

2 Sumário 1 Introdução 2 Estrutura do curso 3 Sinais Energia e potência Transformações nas variáveis independentes Classificação de sinais Sinais elementares 4 Sistemas 5 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 2/ 47

4 Introdução Sinais - definições Sinais (Haykin; Van Veen, 2007) Função de uma ou mais variáveis, a qual veicula informação sobre a natureza de um fenômeno físico. Exemplos: Tensão ou corrente (circuitos elétricos); Áudio e imagem (telefone, televisão, computador); Batimentos cardíacos, pressão sanguíneas, glicose (biomédicos); Posição, velocidade, aceleração (sistemas mecânicos); Inflação, PIB, taxa de desemprego (econométricos). Prof. Tito Luís Maia Santos 4/ 47

5 Introdução Sinais - definições Sinais (Haykin; Van Veen, 2007) Função de uma ou mais variáveis, a qual veicula informação sobre a natureza de um fenômeno físico. Exemplos: Tensão ou corrente (circuitos elétricos); Áudio e imagem (telefone, televisão, computador); Batimentos cardíacos, pressão sanguíneas, glicose (biomédicos); Posição, velocidade, aceleração (sistemas mecânicos); Inflação, PIB, taxa de desemprego (econométricos). Prof. Tito Luís Maia Santos 4/ 47

6 Introdução Sinais - definições Sinais (Haykin; Van Veen, 2007) Função de uma ou mais variáveis, o qual veicula informação sobre a natureza de um fenômeno físico. Dependente de uma variável unidimensional; Dependente de mais de uma variável multidimensional. Prof. Tito Luís Maia Santos 5/ 47

7 Introdução Sinais - definições Sinais (Haykin; Van Veen, 2007) Função de uma ou mais variáveis, o qual veicula informação sobre a natureza de um fenômeno físico. Dependente de uma variável unidimensional; Dependente de mais de uma variável multidimensional. Prof. Tito Luís Maia Santos 5/ 47

8 Introdução Sinais - definições Sinais (Haykin; Van Veen, 2007) Função de uma ou mais variáveis, o qual veicula informação sobre a natureza de um fenômeno físico. Unidimensional: exemplo - eletrocardiograma. Prof. Tito Luís Maia Santos 6/ 47

9 Introdução Sinais - definições Sinais (Haykin; Van Veen, 2007) Função de uma ou mais variáveis, o qual veicula informação sobre a natureza de um fenômeno físico. Multidimensional: exemplo - imagem. Prof. Tito Luís Maia Santos 7/ 47

10 Introdução Sinais - definições Sinais (Haykin; Van Veen, 2007) Função de uma ou mais variáveis, o qual veicula informação sobre a natureza de um fenômeno físico. Sinais de tempo contínuo a variável independente é contínua; Sinais de tempo discreto a variável independente assumes apenas valores inteiros. Tempo contínuo Tempo discreto Notação x(t) x[n] Variável independente t R n Z Sinal contínuo pode ser amostrados com período T : x[n] x(nt). Prof. Tito Luís Maia Santos 8/ 47

13 Introdução Sinais amostrados Para um sinal amostrados com período T : x[n] x(nt). 4 Sinal original Permite tratar sinais contínuo através de processamento digital. Prof. Tito Luís Maia Santos 9/ 47

14 Introdução Sinais amostrados Para um sinal amostrados com período T : x[n] x(nt). 4 Sinais original e amostrado Permite tratar sinais contínuo através de processamento digital. Prof. Tito Luís Maia Santos 10/ 47

15 Introdução Sistemas - definições Sistemas (Haykin; Van Veen, 2007) Um sistema é definido como uma entidade que manipula um ou mais sinais para realizar uma função, produzindo novos sinais. Exemplos: Sistemas de comunicação (transmissor, canal, receptor); Sistemas de controle (sensor, controlador, atuador e processo); Sistemas elétricos (transformador, conversor, retificador). Prof. Tito Luís Maia Santos 11/ 47

17 Estrutura do curso Sinais e Sistemas II Introdução à análise de sinais e sistemas em tempo discreto; Análise de sinais de tempo discreto: Série de Fourier de tempo discreto; Transformada de Fourier de tempo discreto; Sistemas lineares de tempo discreto; Amostragem; Análise de sistemas em tempo discreto: Transformada Z; Descrição matemática de sistemas; Solução de equação de estados; Controlabilidade e observabilidade de sistemas lineares; Estabilidade de sistemas lineares Prof. Tito Luís Maia Santos 13/ 47

23 Estrutura do curso Referência Bibliográficas Referências indicadas na ementa: A. V. Oppenheim, A. S. Willsky e S. H. Nawab, Sinais e Sistemas, 2 a edição, Pearson (2010). B. P. Lathi, Sinais e sistemas lineares, 2 a edição, Bookman-Artmed (2006). K. Ogata, Engenharia de controle moderno, 5 a edição, Pearson (2011). C. T. Chen, Linear System Theory and Design, 4 a edição, Oxford University Press (2012). Prof. Tito Luís Maia Santos 14/ 47

25 Sinais Energia e potência Potência instantânea: P i = x(t) 2 P i = x[n] 2 Energia num intervalo de tempo: E = t1 t 0 x(t) 2 dt E = Potência média num intervalo de tempo: P = 1 t1 x(t) 2 dt P = t 1 t 0 t 0 Medida (métrica) do tamanho do sinal. n 1 n 0 x[n] 2 1 n 1 n n 1 n=n 0 x[n] 2 Prof. Tito Luís Maia Santos 16/ 47

26 Sinais Energia e potência Potência instantânea: P i = x(t) 2 P i = x[n] 2 Energia num intervalo de tempo: E = t1 t 0 x(t) 2 dt E = Potência média num intervalo de tempo: P = 1 t1 x(t) 2 dt P = t 1 t 0 t 0 Medida (métrica) do tamanho do sinal. n 1 n 0 x[n] 2 1 n 1 n n 1 n=n 0 x[n] 2 Prof. Tito Luís Maia Santos 16/ 47

27 Transformações nas variáveis independentes Descrição matemática Deslocamento no tempo: x[n n 0 ], Se n 0 > 0 sinal x[n] deslocado para a direita; Se n 0 < 0 sinal x[n] deslocado para a esquerda; Reflexão temporal: x[n] e x[ n]; Escalonamento no tempo: x[αn] 1.5 Degrau 1.5 Degrau 1.5 Degrau 1 x[n+5] 1 x[n] 1 x[n 5] Prof. Tito Luís Maia Santos 17/ 47

28 Transformações nas variáveis independentes Descrição matemática Deslocamento no tempo: x[n n 0 ], Se n 0 > 0 sinal x[n] deslocado para a direita; Se n 0 < 0 sinal x[n] deslocado para a esquerda; Reflexão temporal: x[n] e x[ n]; Escalonamento no tempo: x[αn] 10 x[n] 10 x[ n] Prof. Tito Luís Maia Santos 18/ 47

29 Transformações nas variáveis independentes Descrição matemática Deslocamento no tempo: x[n n 0 ], Se n 0 > 0 sinal x[n] deslocado para a direita; Se n 0 < 0 sinal x[n] deslocado para a esquerda; Reflexão temporal: x[n] e x[ n]; Escalonamento no tempo: x[αn] 1 x[n] 1 x[2n] Prof. Tito Luís Maia Santos 19/ 47

30 Transformações nas variáveis independentes Descrição matemática Deslocamento no tempo: x[n n 0 ], Se n 0 > 0 sinal x[n] deslocado para a direita; Se n 0 < 0 sinal x[n] deslocado para a esquerda; Reflexão temporal: x[n] e x[ n]; Escalonamento no tempo: x[αn] Em caso de múltiplas operações começar pelo deslocamento (CUIDADO! IMPOSIÇÃO DESNECESSÁRIA!). Prof. Tito Luís Maia Santos 20/ 47

31 Classificação de sinais Sinais periódicos - tempo discreto Sinal periódico existe um valor positivo e inteiro N tal que x[n] = x[n+n], n; Se um sinal é periódico, então x[n] = x[n+n] = x[n+2n] = x[n+3n] =..., n; Período fundamental N 0 é o menor valor positivo e inteiro tal que x[n] = x[n+n 0 ], n. Se não existe N 0 > 0 inteiro, o sinal não é periódico. Prof. Tito Luís Maia Santos 21/ 47

32 Classificação de sinais Simetria Um sinal é dito par se x[n] = x[ n]; Um sinal é dito ímpar se x[n] = x[ n]; Note que x[0] = 0 num sinal ímpar; Um sinal x[n] pode ser dividido numa parcela par e numa parcela ímpar: Parcela par: Ev{x[n]} = 0.5(x[n]+x[ n]); Parcela ímpar: Od{x[n]} = 0.5(x[n] x[ n]); x[n] = Ev{x[n]}+Od{x[n]}. Prof. Tito Luís Maia Santos 22/ 47

33 Sinais elementares Exponenciais complexas (tempo discreto) Importante para descrever o comportamento (resposta) de sistemas lineares; Em tempo contínuo: x(t) = C c e βct ; Em tempo discreto: ou alternativamente x[n] = Ce βn x[n] = Cα n α = e β ; C e α não são necessariamente números reais. Prof. Tito Luís Maia Santos 23/ 47

36 Sinais elementares Exponenciais reais (tempo discreto) Casos especiais com C e α reais. x[n] = Cα n Comportamento da magnitude do sinal: Magnitude (módulo) crescente para a > 1, ex.: x[n] = C 1, 1 n ; Magnitude (módulo) decrescente para a < 1, ex. x[n] = C 0, 8 n ; Magnitude (módulo) constante para a = 1 Comportamento do valor do sinal (sinal): Variação uniforme do sinal a > 0, ex.: x[n] = C 1, 1 n ; Variação alternante do sinal a < 0, ex.: x[n] = C ( 1, 1) n ; Prof. Tito Luís Maia Santos 24/ 47

37 Sinais elementares Exponenciais reais (tempo discreto) Exemplo x[n] = α n. 0.8 (a) 20 (b) α=0,8 10 α=1, (c) 20 (d) 0.5 α= 0,8 10 α= 1, Prof. Tito Luís Maia Santos 25/ 47

38 Sinais elementares Sequências senoidais Casos especiais x[n] = Ce j(ω 0n+φ) com C = A R, Ω 0 R e φ R. Sabemos que e jθ = cos(θ)+jsen(θ) de maneira que Ae j(ω0n+φ) = A{cos(Ω 0 n+φ)+jsen(ω 0 n+φ)} Portanto temos que Re{Ae j(ω 0n+φ) } = Acos(Ω 0 n+φ) e Im{Ae j(ω 0n+φ) } = Asen(Ω 0 n+φ). Prof. Tito Luís Maia Santos 26/ 47

39 Sinais elementares Sequências senoidais Casos especiais x[n] = Ce j(ω 0n+φ) com C = A R, Ω 0 R e φ R. Sabemos que e jθ = cos(θ)+jsen(θ) de maneira que Ae j(ω0n+φ) = A{cos(Ω 0 n+φ)+jsen(ω 0 n+φ)} Portanto temos que Re{Ae j(ω 0n+φ) } = Acos(Ω 0 n+φ) e Im{Ae j(ω 0n+φ) } = Asen(Ω 0 n+φ). Prof. Tito Luís Maia Santos 26/ 47

40 Sinais elementares Sequências senoidais Casos especiais x[n] = Ce j(ω 0n+φ) com C = A R, Ω 0 R e φ R. Por outro lado cos(θ) = ejθ + e jθ 2 de maneira que Acos(j(Ω 0 n+φ)) = A 2 ejφ e jω0n + A 2 e jφ e jω0n. Prof. Tito Luís Maia Santos 27/ 47

41 Sinais elementares Sequências senoidais (a) cos(2πn/12) cos(8πn/31) (b) cos(n/6) (c) Prof. Tito Luís Maia Santos 28/ 47

42 Sinais elementares Exponenciais complexas - caso geral Considerem x[n] = Cα n com C = C e jθ e α = α e jω 0, Ω 0 R e θ R. Desta forma obtém-se x[n] = Cα n = C α n e jθ+jω0n = C α n {cos(ω 0 n+θ)+jsen(ω 0 n+θ)} Comportamento das parcelas real e imaginária: Sequencias senoidais para a = 1; Sequencias senoidais multiplicadas por exponenciais crescentes para a > 1; Sequencias senoidais multiplicadas por exponenciais decrescentes para a = 1. Prof. Tito Luís Maia Santos 29/ 47

43 Sinais elementares Exponenciais complexas - caso geral Considerem x[n] = Cα n com C = C e jθ e α = α e jω 0, Ω 0 R e θ R. Desta forma obtém-se x[n] = Cα n = C α n e jθ+jω0n = C α n {cos(ω 0 n+θ)+jsen(ω 0 n+θ)} Comportamento das parcelas real e imaginária: Sequencias senoidais para a = 1; Sequencias senoidais multiplicadas por exponenciais crescentes para a > 1; Sequencias senoidais multiplicadas por exponenciais decrescentes para a = 1. Prof. Tito Luís Maia Santos 29/ 47

44 Sinais elementares Sequências senoidais 5 (a) x[n]=0.9 n cos(2πn/12) (b) 1 x[n]=1.05 n cos(2πn/12) Prof. Tito Luís Maia Santos 30/ 47

45 Sinais elementares Propriedades periódicas de exponenciais complexas em tempo discreto O que ocorre ao aumentar ω 0 em x(t) = e jω 0t? Redução do período fundamental T 0 = 2π w 0. O que ocorre ao aumentar Ω 0 em x[n] = e jω0n? Caso Ω 0 = Ω 0 + 2π, nada ocorre pois e jω 0n = e jω 0 n e j2πn = e jω 0 n, Ω 0 > Ω 0, n Z. Exponencial de tempo discreto não é necessariamente periódica x[n] = x[n+n] e jω0(n+n) = e jω0n e jω0n = 1 assim Ω 0 N = 2πm com m e N sendo números inteiros. Prof. Tito Luís Maia Santos 31/ 47

49 Sinais elementares Propriedades periódicas de exponenciais complexas em tempo discreto Comparação entre as funções y 1 (t) = cos(2πt/4), y 2 (t) = cos(10πt/4), y 1 [n] = cos(2πn/4), y 2 [n] = cos(10πn/4) Prof. Tito Luís Maia Santos 32/ 47

50 Sinais elementares Propriedades periódicas de exponenciais complexas em tempo discreto Exercício: Determinar a frequência fundamental do sinal x[n] = e j(2π/3)n + e j(3π/4)n. Solução: Para que o sinal seja periódico: x[n] = x[n+n] e j(2π/3)n + e j(3π/4)n = e j(2π/3)(n+n) + e j(3π/4)(n+n) ou seja e j(2π/3)n = 1 e e j(3π/4)n = 1. Para ΩN = 2πm temos: N = 3 (m = 1) e N = 8 (m = 3). Para atender as duas condições necessitamos de um múltiplo comum; Período fundamental: N 0 = 24 (menor múltiplo comum); Frequência fundamental: Ω 0 = 2π/24. Prof. Tito Luís Maia Santos 33/ 47

54 Sinais elementares Sequências senoidais (a) cos(2πn/12) cos(8πn/31) (b) cos(n/6) (c) Prof. Tito Luís Maia Santos 34/ 47

55 Sinais elementares Propriedades periódicas de exponenciais complexas em tempo discreto Exponenciais periódicas harmônicas: Função N passos a frente φ k [n] = e jk(2π/n)n, k = 0,±1,±2,... φ k+n [n] = e j(k+n)(2π/n)n = e jk(2π/n)n e jn(2π/n)n = φ k [n] São necessárias apenas N funções para descrever o conjunto de funções harmônicas relacionadas. Prof. Tito Luís Maia Santos 35/ 47

56 Sinais elementares Função impulso unitário e função degrau unitário Função impulso unitário δ[n] = { 0, n 0 1, n = Impulso δ[n] Prof. Tito Luís Maia Santos 36/ 47

57 Sinais elementares Função impulso unitário e função degrau unitário Função impulso unitário δ[n] = { 0, n 0 1, n = Impulso 1.5 Impulso 1.5 Impulso 1 δ[n+1] 1 δ[n] 1 δ[n 1] Prof. Tito Luís Maia Santos 37/ 47

58 Sinais elementares Função impulso unitário e função degrau unitário Função degrau unitário u[n] = { 0, n < 0 1, n Degrau u[n] Prof. Tito Luís Maia Santos 38/ 47

59 Sinais elementares Função impulso unitário e função degrau unitário Função degrau unitário u[n] = { 0, n < 0 1, n Degrau 1.5 Degrau 1.5 Degrau 1 u[n+1] 1 u[n] 1 u[n 1] Prof. Tito Luís Maia Santos 39/ 47

60 Sinais elementares Função impulso unitário e função degrau unitário Função impulso unitário δ[n] = { 0, n 0 1, n = 0 Função degrau unitário u[n] = { 0, n < 0 1, n 0 Observação 1. δ[n] = u[n] u[n 1] Observação 2. 0 u[n] = δ[n k] = δ[n k] k=0 k= Prof. Tito Luís Maia Santos 40/ 47

63 Sinais elementares Função impulso unitário e função degrau unitário Função impulso unitário δ[n] = { 0, n 0 1, n = 0 Função degrau unitário u[n] = { 0, n < 0 1, n 0 Observação 1. Observação 2. δ[n] = u[n] u[n 1] n u[n] = δ[n k] = δ[m] k=0 m= Prof. Tito Luís Maia Santos 41/ 47

64 Sinais elementares Função impulso unitário e função degrau unitário Função impulso unitário δ[n] = { 0, n 0 1, n = 0 Função degrau unitário u[n] = { 0, n < 0 1, n 0 Observação 3. x[n]δ[n] = x[0]δ[n] Observação 4. x[n]δ[n n 0 ] = x[n 0 ]δ[n n 0 ] Prof. Tito Luís Maia Santos 42/ 47

65 Sinais elementares Função impulso unitário e função degrau unitário Função impulso unitário δ[n] = { 0, n 0 1, n = 0 Função degrau unitário u[n] = { 0, n < 0 1, n 0 Observação 3. x[n]δ[n] = x[0]δ[n] Observação 4. x[n]δ[n n 0 ] = x[n 0 ]δ[n n 0 ] Prof. Tito Luís Maia Santos 42/ 47

67 Sistemas I Propriedades básicas de sistemas 1 Sistemas com e sem memória: Um sistema é chamado sem memória se a sua saída, para cada valor da variável independente num dado instante, depende apenas da entrada naquele instante. Ex.: y[n] = (2x[n] x 2 [n]) 2 (sem memória) e y[n] = x[n 1] (com memória). 2 Inversibilidade de sistemas: Um sistema é chamado inversível se entrada distintas levam a saída distintas. Ex: y[n] = 2x[n] (inversível) e y[n] = x[n] 2 (não inversível). 3 Causalidade (não antecipativo): Um sistema é chamado causal se a saída a qualquer instante depende apenas de valores passados e presente da entrada (saída). Ex. y[n] = x[n 1] (causal) e y[n] = x[n] x[n + 1] (não causal) Prof. Tito Luís Maia Santos 44/ 47

68 Sistemas II Propriedades básicas de sistemas 4 Estabilidade: Informalmente, um sistema estável é aquele para o qual entradas pequenas levam a respostas que não divergem. Ex. y[n] = 0.5y[n 1]+x[n] (estável) e y[n] = (n+1)x[n] (instável) 5 Invariância no tempo: Conceitualmente, um sistema é invariante no tempo se o comportamento e as característica do mesmo são as mesmas ao longo do tempo. Ou seja y[n] = f(x[n]) y[n n 0 ] = f(x[n n 0 ]). Ex. y[n] = sen(x[n]) (invariante no tempo) e y[n] = nx[n] (variante no tempo). 6 Linearidade: Um sistema é linear se é válida a propriedade da superposição (aditividade e homogeneidade). Ou seja y 1 [n] = f(x 1 [n]), y 2 [n] = f(x 2 [n]) y 1 [n]+y 2 [n] = f(x 1 [n]+x 2 [n]) e αy 1 [n] = f(αx 1 [n]). Ex. y[n] = x[n] (linear) e y[n] = x 2 [n] (não linear). Prof. Tito Luís Maia Santos 45/ 47

70 Comentários Finais Nesta aula foram apresentadas alguns conceitos e definições: Definição de sinais e sistemas; Definição de energia e potência de sinais; Transformações na variáveis independentes; Alguns sinais elementares; Algumas propriedade básicas de sistemas. Na próxima aula discutiremos sobre: Soma de convolução; Equações a diferença. Prof. Tito Luís Maia Santos 47/ 47