Revisão - Controlabilidade e observabilidade - SLIT.

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1 Revisão - Controlabilidade e observabilidade - SLIT. ENGC65: Sistemas de Controle III Departamento de Engenharia Elétrica - DEE Universidade Federal da Bahia - UFBA 12 de maio de 2014 Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 18

2 Sumário 1 Apresentação 2 Controlabilidade 3 Observabilidade Prof. Tito Luís Maia Santos 2/ 18

3 Sumário 1 Apresentação 2 Controlabilidade 3 Observabilidade Prof. Tito Luís Maia Santos 3/ 18

4 Apresentação Objetivos da aula de hoje: Revisar os conceitos de controlabilidade e observabilidade de sistemas lineares invariantes no tempo; Revisar métodos de verificação de controlabilidade e observabilidade de sistemas lineares invariantes no tempo. Prof. Tito Luís Maia Santos 4/ 18

5 Sumário 1 Apresentação 2 Controlabilidade 3 Observabilidade Prof. Tito Luís Maia Santos 5/ 18

6 Controlabilidade Definição Considere um sistema linear invariante no tempo com n estados e q entradas descrito por: com A R n n e B R n q. Definição ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) A equação de estado acima ou o par (A, B) é controlável, se para qualquer estado inicial x(0) = x 0 e para qualquer estado final x(t f ) = x f, existir uma entrada u(t) finita que transfere o estado de x 0 para x f em tempo finito. A controlabilidade é uma propriedade que depende da relação da entrada u(t) com os estados x(t). Prof. Tito Luís Maia Santos 6/ 18

7 Controlabilidade Definição Considere um sistema linear invariante no tempo com n estados e q entradas descrito por: com A R n n e B R n q. Definição ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) A equação de estado acima ou o par (A, B) é controlável, se para qualquer estado inicial x(0) = x 0 e para qualquer estado final x(t f ) = x f, existir uma entrada u(t) finita que transfere o estado de x 0 para x f em tempo finito. A controlabilidade é uma propriedade que depende da relação da entrada u(t) com os estados x(t). Prof. Tito Luís Maia Santos 6/ 18

8 Controlabilidade Verificação da controlabilidade Considere um sistema linear invariante no tempo com n estados e q entradas descrito por: com A R n n e B R n q. ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) A solução deste sistema é dada por x(t) = e At x(0)+ Para atingir x(t f ) = x f temos x f e At f x(0) = ˆ t 0 ˆ tf 0 e A(t τ) Bu(τ)dτ. e A(t f τ) Bu(τ)dτ. Desta forma faz-se necessário que todas as linhas da matriz M c = e A(t f τ) B = e At B sejam linearmente independentes. Prof. Tito Luís Maia Santos 7/ 18

9 Controlabilidade Verificação da controlabilidade Considerem a matriz M c na forma a seguir M c = e At B. Do teorema de Cayley-Hamilton, sabemos que e At = α 0 (t )I +α 1 (t )A+α 2 (t )A α n 1 (t )A n 1. Assim temos e At B = α 0 (t )B +α 1 (t )AB +α 2 (t )A 2 B +...+α n 1 (t )A n 1 B α 0 (t ) α 1 (t ) = [B AB A 2 B... A n 1 B] α 2 (t ).. α n 1 (t ) Portanto, faz-se necessário que todas as n linhas da matriz U = [B AB A 2 B... A n 1 B] sejam linearmente independentes. Prof. Tito Luís Maia Santos 8/ 18

10 Controlabilidade Observações A matriz U = [B AB A 2 B... A n 1 B] é chamada de matriz de controlabilidade. O sistema é controlável se o posto de U é igual ao número de estados n (ρ(u) = n). Se o sistema tem apenas uma entrada (q = 1), a matriz U é quadrada, e a condição de controlabilidade recai na condição det(u) 0. A controlabilidade é invariante sob a transformação de equivalência A = PAP 1, B = PB: U = [B AB A 2 B... A n 1 B] = [PB } PAP {{ 1 }}{{} PB } PAP {{ 1 }} PAP {{ 1 }}{{} PB A B A A B = [PB PAB PA 2 B... PA n 1 B] = P[B AB A 2 B... A n 1 B] = PU.... PA n 1 B] Prof. Tito Luís Maia Santos 9/ 18

11 Controlabilidade Caso discreto Considere um sistema linear invariante no tempo com n estados e q entradas descrito por: com A R n n e B R n q. x[k + 1] = Ax[k]+Bu[k] A solução deste sistema é dada por x[k] = A k x[0]+a k 1 Bu[0]+A k 2 Bu[1]+...+ABu[k 2]+Bu[k 1] Caso possível, necessitamos de apenas n de passos para atingir x f. Neste caso k = k f = n x f A n x[0] = A n 1 Bu[0]+A n 2 Bu[1]+...+ABu[n 2]+Bu[n 1]. que é um sistema linear com n equações e n q incógnitas. Prof. Tito Luís Maia Santos 10/ 18

12 Controlabilidade Caso discreto O problema abaixo x f A n x[0] = A n 1 Bu[0]+A n 2 Bu[1]+...+ABu[n 2]+Bu[n 1] pode ser reescrito na forma matricial a seguir: u[n 1] u[n 2] x f A n x[0] = [B AB... A n 2 B A n 1 B].. u[1] u[0] Assim como no caso contínuo, o sistema é controlável se todas as n linhas da matriz U = [B AB... A n 2 B A n 1 B] são linearmente independentes. Em resumo, o sistema é controlável se ρ([b AB... A n 1 B]) = n. Prof. Tito Luís Maia Santos 11/ 18

13 Sumário 1 Apresentação 2 Controlabilidade 3 Observabilidade Prof. Tito Luís Maia Santos 12/ 18

14 Observabilidade Definição Considere um sistema linear invariante no tempo com n estados, q entradas e p saídas descrito por: ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) y(t) = Cx(t)+Du(t) com A R n n, B R n q, C R p n e B R p q. Definição A equação de estado acima ou o par (A, C) é observável, se para qualquer estado inicial x(0), existir um tempo finito t tal que o conhecimento da entrada u(t) e da saída y(t) no intervalo [0, t 1 ] seja suficiente para se determinar x(0). A observabilidade é uma propriedade que depende da relação da saída y(t) com os estados x(t). Prof. Tito Luís Maia Santos 13/ 18

15 Observabilidade Verificação da Observabilidade Considere um sistema linear invariante no tempo com n estados, q entradas e p saídas descrito por: ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) y(t) = Cx(t)+Du(t). A solução deste sistema é dada por y(t) = Ce At x(0)+ ˆ t 0 Ce A(t τ) Bu(τ)dτ + Du(u). Como o sinal de controle é conhecido, temos y(t) ˆ t 0 Ce A(t τ) Bu(τ)dτ Du(u) = y(t) = Ce At x(0). Desta forma faz-se necessário que todas as colunas da matriz M o = Ce At sejam linearmente independentes. Prof. Tito Luís Maia Santos 14/ 18

16 Observabilidade Verificação da Observabilidade Considerem a matriz M o na forma a seguir M o = Ce At. Do teorema de Cayley-Hamilton, sabemos que Assim temos V = e At = α 0 (t)i +α 1 (t)a+α 2 (t)a α n 1 (t)a n 1. Ce At = α 0 (t)c +α 1 (t)ca+α 2 (t)ca α n 1 (t)ca n 1 C CA = [α 0 (t) α 1 (t) α 2 (t)... α n 1 (t)] CA 2.. CA n 1 Portanto, faz-se necessário que todas as n colunas da matriz C CA CA 2. CA n 1 sejam linearmente independentes. Prof. Tito Luís Maia Santos 15/ 18

17 Observabilidade Observações A matriz V = C CA. CA n 1 é chamada de matriz de observabilidade. O sistema é observável se o posto de V é igual ao número de estados n (ρ(v) = n). Se o sistema tem apenas uma saída (p = 1), a matriz V é quadrada, e a condição de observabilidade recai na condição det(v) 0. A observabilidade é invariante sob a transformação de equivalência A = PAP 1, B = PB, C = CP 1 pois V = VP 1. Prof. Tito Luís Maia Santos 16/ 18

18 Observabilidade Caso discreto Considere um sistema linear invariante no tempo com n estados, q entradas e p saídas descrito por: x[k + 1] = Ax[k]+Bu[k] y[k] = Cx[k]+Du[k] com A R n n, B R n q, C R p n e B R p q. A solução deste sistema é dada por y[k] = C(A k x[0]+a k 1 Bu[0]+A k 2 Bu[1]+...+ABu[k 2]+Bu[k 1])+Du[k] ou alternativamente y[k] C(A k 1 Bu[0]+A k 2 Bu[1]+...+Bu[k 1]) Du[k] = CA k x[0]. }{{} y(k) Caso possível, necessitamos de apenas n passos para determinar x[0]. Considerando as informações dos instantes k = 0 até k = n 1, temos: y[0] = Cx[0], y[1] = CAx[0], y[2] = CAx[2],..., y[n 1] = CAx[n 1]. Prof. Tito Luís Maia Santos 17/ 18

19 Observabilidade Caso discreto O problema de obter x[0] a partir de y[0] = Cx[0], y[1] = CAx[0], y[2] = CAx[2],..., y[n 1] = CAx[n 1]. pode ser reescrito na forma matricial a seguir: y[0] y[1] y[2]. y[n 1] = C CA CA 2. CA n 1 x[0]. Assim como no caso contínuo, se ρ(v) = n podemos determinar x[0] através de um sistema de equações lineares. Prof. Tito Luís Maia Santos 18/ 18