Controle Preditivo de Sistemas com Atraso.

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1 Controle Preditivo de Sistemas com Atraso ENG730: Tópicos Especiais em Eng Elétrica Departamento de Engenharia Elétrica - DEE Universidade Federal da Bahia - UFBA 16 de março de 2016 Prof Tito Luís Maia Santos 1/ 31

2 Sumário 1 Introdução 2 Espaço de Estados 3 GPC - Predições com atraso 4 DMC - Predições com atraso 5 Comentários Finais Prof Tito Luís Maia Santos 2/ 31

4 Introdução Sistemas com atraso Tópicos a serem abordados: Representação do atraso; MPC em espaço de estados para sistemas com atraso; GPC para sistemas com atraso; DMC para sistemas com atraso Referência E F Camacho e C Bordons Model Predictive Control Springer, 2003 J E Normey-Rico e E F Camacho Control of Dead-Time Processes Springer, 2003 T L M Santos Contribuições para o Controle Preditivo com Compensação de Atraso Robusta Tese de Doutorado Universidade Federal de Santa Catarina, 2011 Prof Tito Luís Maia Santos 4/ 31

5 Introdução Representação Seja um sistema SISO, estritamente próprio, descrito nominalmente por: sendo L o tamanho do atraso Y(s) = P(s) = G(s)e sl U(s) Alternativamente, este sistema pode ser descrito por: com G(s) = C(SI A) 1 B ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t L) y(t) = Cx(t) Considera-se um período de amostragem T s Sem perda de generalidade, pode-se decompor o atraso como segue: L = dt s +ǫ, sendo d um número natural, d Z +, e T s > ǫ 0 Prof Tito Luís Maia Santos 5/ 31

6 Introdução Representação Seja um sistema SISO, estritamente próprio, descrito nominalmente por: sendo L o tamanho do atraso Y(s) = P(s) = G(s)e sl U(s) Alternativamente, este sistema pode ser descrito por: com G(s) = C(SI A) 1 B ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t L) y(t) = Cx(t) Considera-se um período de amostragem T s Sem perda de generalidade, pode-se decompor o atraso como segue: L = dt s +ǫ, sendo d um número natural, d Z +, e T s > ǫ 0 Prof Tito Luís Maia Santos 5/ 31

7 Introdução Representação Seja o modelo nominal com atraso dado por: ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t L) y(t) = Cx(t) O controle é realizado utilizando um sustentador de ordem zero de maneira que o sinal de controle é mantido constante até a próxima amostra: u(t) = u(kt s) = u(k), t (kt s,(k + 1)T s) Durante os instantes de amostragem, define-se x(kt s) = x(k) A solução em espaço de estados é dada por: x(t) = e At x(0)+ t 0 e A(t τ) Bu(τ L)dτ Prof Tito Luís Maia Santos 6/ 31

8 Introdução Representação Seja a solução em espaço de estados dada por: x(t) = e At x(0)+ t 0 e A(t τ) Bu(τ L)dτ Para sistemas lineares invariantes no tempo, pode-se definir, sem perda de generalidade: x(0) = x(k) = x(kt s), u(0) = u(k) = u(kt s) x(t) = x(k + 1) = x((k + 1)T s), u(t) = u(k + 1) = u((k + 1)T s) Neste caso, verifica-se: Ts x(k + 1) = e ATs x(k)+ = e ATs x(k)+ 0 ǫ 0 e A(Ts τ) Bu(τ dt s ǫ)dτ Ts e A(Ts τ) Bdτu(k d 1)+ e A(Ts τ) Bdτu(k d) ǫ = A d x(k)+b d0 u(k d)+b d1 u(k d 1) Prof Tito Luís Maia Santos 7/ 31

9 Introdução Representação Seja o modelo nominal com atraso dado por: ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t L) y(t) = Cx(t) Seja a atraso descrito por: Neste caso, verifica-se: L = dt s +ǫ, ǫ Ts x(k + 1) = e ATs x(k)+ e A(Ts τ) Bdτu(k d)+ e A(Ts τ) Bdτu(k d 1) 0 ǫ = A d x(k)+b d0 u(k d)+b d1 u(k d 1) com A d = e ATs, B d0 = T s ǫ e A(Ts τ) Bdτ e B d1 = ǫ 0 ea(ts τ) Bdτ Prof Tito Luís Maia Santos 8/ 31

10 Introdução Representação Seja o modelo nominal com atraso dado por: com L = dt s +ǫ ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t L) y(t) = Cx(t) A representação em tempo discreto é dada por: x(k + 1) = A d x(k)+b d0 u(k d)+b d1 u(k d 1) y(k) = Cx(k) com A d = e ATs, B d0 = T s ǫ e A(Ts τ) Bdτ e B d1 = ǫ 0 ea(ts τ) Bdτ Para ǫ = 0, verifica-se: x(k + 1) = A d x(k)+b d0 u(k d) y(k) = Cx(k) Prof Tito Luís Maia Santos 9/ 31

11 Introdução Representação Seja o modelo nominal com atraso dado por: com L = dt s +ǫ ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t L) y(t) = Cx(t) A representação em tempo discreto é dada por: x(k + 1) = A d x(k)+b d0 u(k d)+b d1 u(k d 1) y(k) = Cx(k) com A d = e ATs, B d0 = T s ǫ e A(Ts τ) Bdτ e B d1 = ǫ 0 ea(ts τ) Bdτ A função de transferência pulsada é dada por: G(z) = C(zI A) 1 (B d0 z + B d1 )z d 1 Prof Tito Luís Maia Santos 10/ 31

12 Introdução Representação Considere um modelo de tempo discreto como segue: x(k + 1) = A d x(k)+b d0 u(k d)+b d1 u(k d 1) y(k) = Cx(k) Este sistema pode ser descrito alternativamente por: [ ] [ ][ ] [ ] x(k + 1) Ad B = d1 x(k) 0 + u(k d) u(k d) 0 0 u(k d 1) I y(k) = Cx(k) sendo z(k) um vetor aumentado dado por: [ ] x(k) z(k) = u(k d 1) Prof Tito Luís Maia Santos 11/ 31

13 Introdução Representação Sem perdas de gerenalidade, assume-se que existe uma representação de tempo discreto como segue: x(k + 1) = Ax(k)+Bu(k d) y(k) = Cx(k) Prof Tito Luís Maia Santos 12/ 31

15 Espaço de Estados Representação aumentada Considerando um sistema linear com atraso x(k + 1) = Ax(k)+Bu(k d); Reescrevendo o modelo numa formulação aumentada η(k + 1) = A ηη(k)+ B ηu(k) x(k) A B u(k d) 0 0 I u(k d + 1) I 0 0 η(k) =, A η =, B η = u(k 2) I 0 u(k 1) I A dimensão da representação depende do atraso Prof Tito Luís Maia Santos 14/ 31

16 Espaço de Estados Predição explícita Seja um modelo dado por x(k + 1) = Ax(k)+Bu(k d) y(k) = Cx(k) A saída predita pode ser obtida como segue x(k + 1 k) = Ax(k)+ Bu(k d), x(k + 2 k)= Ax(k + 1 k)+bu(k d + 1) = A 2 x(k)+abu(k d)+bu(k d + 1), x(k + 3 k)= Ax(k + 2 k)+bu(k d + 2) A 3 x(k)+a 2 Bu(k d)+abu(k d + 1)+Bu(k d + 2), x(k + d k)= A d x(k)+a d 1 Bu(k d)++abu(k 2)+Bu(k 1), Prof Tito Luís Maia Santos 15/ 31

17 Espaço de Estados Predição explícita Seja um modelo dado por x(k + 1) = Ax(k)+Bu(k d) y(k) = Cx(k) A saída predita pode ser obtida como segue x(k + 1 k) = Ax(k)+ Bu(k d), x(k + 2 k) = Ax(k + 1 k)+bu(k d + 1) = A 2 x(k)+abu(k d)+bu(k d + 1), x(k + 3 k)= Ax(k + 2 k)+bu(k d + 2) = A 3 x(k)+a 2 Bu(k d)+abu(k d + 1)+Bu(k d + 2), x(k + d k)= A d x(k)+a d 1 Bu(k d)++abu(k 2)+Bu(k 1), Prof Tito Luís Maia Santos 16/ 31

18 Espaço de Estados Predição explícita Seja um modelo dado por x(k + 1) = Ax(k)+Bu(k d) y(k) = Cx(k) A saída predita pode ser obtida como segue x(k + 1 k) = Ax(k)+Bu(k d), x(k + 2 k) = Ax(k + 1 k)+bu(k d + 1) = A 2 x(k)+abu(k d)+bu(k d + 1), x(k + 3 k) = Ax(k + 2 k)+bu(k d + 2) = A 3 x(k)+a 2 Bu(k d)+abu(k d + 1)+Bu(k d + 2), x(k + d k)= A d x(k)+a d 1 Bu(k d)++abu(k 2)+Bu(k 1), Prof Tito Luís Maia Santos 17/ 31

19 Espaço de Estados Predição explícita Seja um modelo dado por x(k + 1 k) = Ax(k)+Bu(k d) y(k) = Cx(k) A saída predita pode ser obtida como segue x(k + 1 k) = Ax(k)+Bu(k d), x(k + 2 k) = Ax(k + 1 k)+bu(k d + 1) = A 2 x(k)+abu(k d)+bu(k d + 1), x(k + 3 k) = Ax(k + 2 k)+bu(k d + 2) = A 3 x(k)+a 2 Bu(k d)+abu(k d + 1)+Bu(k d + 2), x(k + d k) = A d x(k)+ A d 1 Bu(k d)++abu(k 2)+Bu(k 1), com y(k + d k) = CA d x(k)+c d A j 1 Bu(k j) Prof Tito Luís Maia Santos 18/ 31 j=1

20 Espaço de Estados Ideia principal - predição explícita Neste caso temos x(k + 1) = Ax(k)+Bu(k d) x(k + 1+d k) = Ax(k + d k)+bu(k); Saída do sistema processo+preditor : x(k) x(k+d k) = A d x(k)+a d 1 Bu(k d)++abu(k 2)+Bu(k 1); Modelo de predição sem atraso: x(k + 1 k) = A x(k) + Bu(k) Função Objetivo Restrições w(k) MPC Referencia u(k) z d B z 1 A x(k) x(k) Preditor Prof Tito Luís Maia Santos 19/ 31

22 GPC - Predições com atraso Predição - resposta livre + resposta forçada Modelo de predição: Ã(z 1 )y(k) = z d B(z 1 ) u(k 1)+e(k) Equação Diofantina: 1 = E j (z 1 )Ã(z 1 )+z j F j (z 1 ) Multiplcando o modelo de predição por E j (z 1 )z j : Ã(z 1 )E j (z 1 )y(k + j) = B(z 1 ) u(k + j d 1)+E j (z 1 )e(k + j) Usando a equação Diofantina: (1 z j F j (z 1 ))y(k+j) = E j (z 1 )B(z 1 ) u(k+j d 1)+E j (z 1 )e(k+j), ou alternativamente, y(k+j) = F j (z 1 )y(k)+e j (z 1 )B(z 1 ) u(k+j d 1)+E j (z 1 )e(k+j) Prof Tito Luís Maia Santos 21/ 31

23 GPC - Predições com atraso Predição - resposta livre + resposta forçada Modelo de predição: Ã(z 1 )y(k) = z d B(z 1 ) u(k 1)+e(k) Saída futura em k + j: y(k+j) = F j (z 1 )y(k)+e j (z 1 )B(z 1 ) u(k+j d 1)+E j (z 1 )e(k+j) Saída predita em k + j: ŷ(k + j k) = F j (z 1 )y(k)+e j (z 1 )B(z 1 ) u(k + j d 1) ou alternativamente ŷ(k + j k) = F j (z 1 )y(k) + G j (z 1 ) u(k + j d 1) com G j (z 1 ) = E j (z 1 )B(z 1 ) Prof Tito Luís Maia Santos 22/ 31

24 GPC - Predições com atraso Predição - resposta livre + resposta forçada Considere N 1 = 1+d e N 2 = d + N com ŷ(k + j k) = F j (z 1 )y(k) + G j (z 1 ) u(k + j d 1) com G j (z 1 ) = E j (z 1 )B(z 1 ) Neste caso verifica-se: ŷ(k + d + 1 k) = F d+1 (z 1 )y(k) + G d+1 (z 1 ) u(k) ŷ(k + d + 2 k) = F d+2 (z 1 )y(k) + G d+2 (z 1 ) u(k + 1) = ŷ(k + d + N k) = F d+n (z 1 )y(k)+g d+n (z 1 ) u(k + N) O atraso não interfere nas predições Y(k) = G(z 1 ) u(k 1)+F(z 1 )y(k) + G u(k) }{{}}{{} Resposta Livre Resposta Forçada Prof Tito Luís Maia Santos 23/ 31

25 GPC - Predições com atraso Predição - resposta livre + resposta forçada Vetor de predições: Y(k) = G(z 1 ) u(k 1)+F(z 1 )y(k)+g u(k) = f(k) }{{} + G u(k) }{{} Resposta Livre Resposta Forçada sendo com u(k) = [ u(k k) u(k + 1 k) u(k + N u 1 k) ], Y(k) = [ŷ(k + d + 1 k) ŷ(k + d + 2 k) ŷ(k + d + N k) ], G(z 1 ) = (G d+1 (z 1 ) g 0 )z (G d+2 (z 1 ) g 0 g 1 z 1 )z 2 (G d+n (z 1 ) g 0 g 1 z 1 g N 1 z N+1 )z N F d+1 (z 1 ) g F F(z 1 d+2 (z 1 ) g ) =, G = 1 g 0 0 F d+n (z 1 ) g N 1 g N 2 g N Nu, Prof Tito Luís Maia Santos 24/ 31

27 DMC - Predições com atraso Resposta Livre + Resposta Forçada Separação entre resposta livre e resposta forçada: ŷ(k + j k) = g i u(k + j i)+y(k) g i u(k i) = = j g i u(k + j i)+ + y(k) g i u(k + j i) i=j+1 g i u(k i) j g i u(k + j i) + (g j+i g i ) u(k i)+y(k) } {{ } Resposta Forçada } {{ } Resposta Livre Para sistemas assintotinamente estáveis (g j+i g i 0, i ): j M ŷ(k + j k) = g i u(k + j i) + (g j+i g i ) u(k i)+y(k) }{{} Resposta Forçada Resposta Livre Prof Tito Luís Maia Santos 26/ 31 }{{}

28 DMC - Predições com atraso Predição - resposta livre + resposta forçada Predição para k + j: ŷ(k + j k) = j M g i u(k + j i) + (g j+i g i ) u(k i)+y(k) }{{} Resposta Forçada Cosiderando diversas predições: ŷ(k + 1 k) = g 1 u(k)+ } {{ } Resposta Livre M (g 1+i g 1 ) u(k i)+ y(k) ŷ(k + 2 k) = g 2 u(k)+g 1 u(k + 1)+ ŷ(k + N k) = = i=n M (g 2+i g i ) u(k i)+y(k) j M g i u(k + j i)+ (g N+i g i ) u(k i)+ y(k) Prof Tito Luís Maia Santos 27/ 31

29 DMC - Predições com atraso Predição - resposta livre + resposta forçada Predição para k + j: ŷ(k + j k) = j M g i u(k + j i) + (g j+i g i ) u(k i)+y(k) }{{} Resposta Forçada Cosiderando a notação matricial: Neste caso temos: } {{ } Resposta Livre Y(k) = [y(k + 1 k) y(k + 2 k) y(k + N k) ], u(k) = [ u(k k) u(k + 1 k) u(k + N u 1 k) ] U(k) = [ u(k 1) u(k 2) u(k M) ] Y(k) = G u(k)+ G f U(k)+y(k) = G u(k)+f(k) com g g 2 g 1 g 3 g 2 g M+1 g M g 2 g 1 0 g G =, G 3 g 1 g 4 g 2 g M+2 g M f = g N g N 1 g N Nu+1 g N+1 g 1 g N+2 g 2 g N+M g M Prof Tito Luís Maia Santos 28/ 31

30 DMC - Predições com atraso Predição - resposta livre + resposta forçada Predição para k + j: ŷ(k + j k) = j M g i u(k + j i) + (g j+i g i ) u(k i)+y(k) }{{} Resposta Forçada Cosiderando a notação matricial: Neste caso temos: } {{ } Resposta Livre Ỹ(k) = [y(k + d + 1 k) y(k + d + 2 k) y(k + N k) ], u(k) = [ u(k k) u(k + 1 k) u(k + N u 1 k) ] U(k) = [ u(k 1) u(k 2) u(k M) ] Y(k) = G u(k)+ G f U(k)+y(k) = G u(k)+f(k) com g d 0 0 g d+1 g 1 g d+2 g 2 g d+m g M g d+1 g d 0 g G =, G d+2 g 1 g d+3 g 2 g d+m+1 g M f = g N g N 1 g N Nu+1 g N+1 g 1 g N+2 g 2 g N+M g M Prof Tito Luís Maia Santos 29/ 31

32 Comentários Finais Apresentou-se o efeito do atraso nas predições; Discutiu-se a respeito do tratamento natural do atraso; Outras formas de compensação de atraso podem ser utilizadas de maneira explícita Prof Tito Luís Maia Santos 31/ 31