Controlabilidade. Uma representação (ou realização) de um sistema dinâmico no espaço de estados:

Transcrição

1 Controlabilidade Uma representação (ou realização) de um sistema dinâmico no espaço de estados: x = Ax + Bu ou equivalentemente o par (A, B), é dito controlável (completamente controlável, de estado controlável) se, para qualquer estado inicial x 0, qualquer tempo t 1 > 0 e qualquer estado final x 1, existe uma entrada u(t) tal que x 0 seja levado a x 1 em t 1. Caso contrário o sistema é nãocontrolável (não é completamente controlável, é de estado não-controlável).

2 Controlabilidade (cont.) Se um sistema é controlável, então é possível levá-lo de qualquer estado inicial para qualquer estado final em tempo finito usando suas entradas. Se um sistema é controlável, então é possível alocar arbitrariamente os polos do sistema através de realimentação de estado. Obs: dependendo da posição relativa dos novos polos, os ganhos podem ser demasiadamente elevados e a precisão necessária pode tornar a alocação impraticável.

3 Controlabilidade (cont.) O par (A, B) é controlável se e só se a matriz de controlabilidade: Pc = B AB A B K A B 2 n 1 [ ] tiver pleno posto de linhas.

4 Sistema Estabilizável Um sistema, ou representação (ou realização) de um sistema no espaço de estados: x = Ax + Bu ou equivalentemente o par (A, B), é dito estabilizável se todos os modos não-controláveis do sistema forem estáveis. Isto é, se os polos que não podem ser alocados através da realimentação de estado forem estáveis.

5 Observabilidade Um sistema (representação, realização) x = Ax + Bu, y = Cx + Du ou equivalentemente o par (A, C), é dito observável se, para todo tempo t 1 > 0 o estado inicial puder ser determinado a partir dos históricos da entrada u(t), e da saída y(t) no intervalo [0, t 1 ]. Caso contrário o sistema é nãoobservável.

6 Observabilidade (cont.) Se um sistema é observável, então é (teoricamente) possível obter o histórico de estado a partir das medidas de y(t) e u(t) para algum período de tempo dado. Se um sistema é observável, então é possível alocar arbitrariamente os polos da dinâmica do erro de um observador de estado., Obs: dependendo da posição dos polos, os ganhos do observador podem ser demasiadamente elevados e a precisão necessária pode tornar a alocação impraticável

7 Observabilidade (cont.) O par (A, C) é observável se e só se a matriz de observabilidade C CA Po = M n 1 CA tiver pleno posto de colunas.

8 Sistema Detectável Um sistema (representação, realização) x = Ax + Bu, y = Cx + Du ou equivalentemente o par (A, C), é dito detectável se todos os modos não-obseráveis do sistema forem estáveis. Isto é, se os polos que não podem ser alocados através, dos ganhos do observador de estado forem estáveis

9 Realimentação de Estados Sistema Original (MA) Sistema com realimentação de estados (MF) Polos do sistema em MF = autovalores de A BK

10 Problema O que fazer se o estado x não está disponível? Por exemplo, se a saída y contiver apenas a primeira componente do vetor de estado? (C=[ ]) x = [posição velocidade aceleração] T y = posição Solução: estimar o estado a partir das informações disponíveis.

11 1 a Tentativa Copiar a dinâmica u Sistema y Observador x Problema: Estimativa do estado inicial

12 Análise do erro Erro: Dinâmica do erro: A dinâmica do erro é igual à dinâmica do sistema original

13 2 a Tentativa: realimentação da saída u Sistema y Observador x

14 Análise do erro Erro: Dinâmica do erro:

15 Observador de Estado: Polos da dinâmica do erro = autovalores de A LC

16 Observador de Estado Diagrama de blocos para D=0

17 Observador de Estado Diagrama de blocos para D=0

18 Observador de Estado Diagrama de blocos para D=0

19 Observador de Estado Diagrama de blocos para D=0

20 Observador de estado O projeto pode ser feito usando qualquer método que permita a obtenção de L tal que [A-LC] seja estável. Alocação de polos: det(si-a+lc) = polinômio característico desejado Projeto de realimentação de estado com A = A T e B = C T Solução: L = K T

21 Observador de estado det(m)=det(m T ) det(si-m)=det([si-m] T )=det(si-m T ) autovalores M = autovalores de M T No projeto de realimentação de estado obtemos o vetor k tal que autovalores de A-Bk = P Desejamos autovalores de A-LC = P O Ou autovalores de [A-LC] T = P O Autovalores de A T -C T L T = P O

22 Observador de estado A dinâmica do observador deve ser mais rápida do que aquela desejada para a planta. Ou seja a parte real dos autovalores de A-LC (que precisa ser negativa para que o observador seja estável) precisa ser maior (em módulo) do que a parte real dos polos desejados para a dinâmica do sistema. Em geral a parte real dos polos do observador deve ser de 2 a 6 vezes a parte real do polo mais rápido do sistema. Observadores com dinâmica muito rápida são sensíveis a ruídos de medição que podem comprometer as estimativas.

23 Realimentação de estado com observador

24 Realimentação de estado com observador Escrevendo a dinâmica em função de x e e:

25 Realimentação de estado com observador A equação de estado é a seguinte (estados: x e e): Autovalores do observador e da planta são alocados independentemente ( princípio da separação ).

26 Observador de ordem reduzida Seja o sistema da forma: Por que estimar o estado x 1 se ele já está disponível? (y=x 1 )

27 Observador de ordem reduzida Exemplo para sistema de segunda ordem: Observador de ordem plena:?

28 Observador de ordem reduzida Mas: Usar:

29 Observador de ordem reduzida Por que?

30 Observador de ordem reduzida Observador de ordem reduzida Análise do erro

31 Observador de ordem reduzida Problema: como obter? Da dinâmica do sistema temos que:

32 Observador de ordem reduzida Chegamos então a: estimação saída entrada Mas se o sinal de saída for ruidoso? A derivada será um problema...

33 Usando: Observador de ordem reduzida

34 Observador de ordem reduzida

35 Observador de ordem reduzida Generalizando para M+O variáveis de estado:

36 Observador de ordem reduzida Polos da dinâmica do erro = autovalores de a bb L b a ab Projeto com A = a bb T e B = a ab T L b = k T

37 Comentários A dinâmica do observador deve ser mais rápida do que aquela desejada para a planta. A dinâmica do observador não afeta o desempenho (passado o transitório inicial). A dinâmica do observador afeta a qualidade da estabilidade. Um remédio é o uso de métodos especiais de projeto de observadores (tópico de outras disciplinas).