Controlabilidade. Uma representação (ou realização) de um sistema dinâmico no espaço de estados:

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1 Controlabilidade Uma representação (ou realização) de um sistema dinâmico no espaço de estados: x Ax Bu ou equivalentemente o par (A, B), é dito controlável (completamente controlável, de estado controlável) se, para qualquer estado inicial x 0, qualquer tempo t 1 > 0 e qualquer estado final x 1, existe uma entrada u(t) tal que x 0 seja levado a x 1 em t 1. Caso contrário o sistema é não-controlável (não é completamente controlável, é de estado não-controlável).

2 Controlabilidade (cont.) Se um sistema é controlável, então é possível levá-lo de qualquer estado inicial para qualquer estado final em tempo finito usando suas entradas. Se um sistema é controlável, então é possível alocar arbitrariamente os polos do sistema através de realimentação de estado. Obs: dependendo da posição relativa dos novos polos, os ganhos podem ser demasiadamente elevados e a precisão necessária pode tornar a alocação impraticável.

3 Controlabilidade (cont.) O par (A, B) é controlável se e só se a matriz de controlabilidade: Pc B AB A B A B 2 n 1 [ ] tiver pleno posto de linhas.

4 Sistema Estabilizável Um sistema, ou representação (ou realização) de um sistema no espaço de estados: x Ax Bu ou equivalentemente o par (A, B), é dito estabilizável se todos os modos não-controláveis do sistema forem estáveis. Isto é, se os polos que não podem ser alocados através da realimentação de estado forem estáveis.

5 Observabilidade Um sistema (representação, realização) x Ax Bu, ycx Du ou equivalentemente o par (A, C), é dito observável se, para todo tempo t 1 > 0 o estado inicial puder ser determinado a partir dos históricos da entrada u(t), e da saída y(t) no intervalo [0, t 1 ]. Caso contrário o sistema é nãoobservável.

6 Observabilidade (cont.) Se um sistema é observável, então é (teoricamente) possível obter o histórico de estado a partir das medidas de y(t) e u(t) para algum período de tempo dado. Se um sistema é observável, então é possível alocar arbitrariamente os polos da dinâmica do erro de um observador de estado., Obs: dependendo da posição dos polos, os ganhos do observador podem ser demasiadamente elevados e a precisão necessária pode tornar a alocação impraticável

7 Observabilidade (cont.) O par (A, C) é observável se e só se a matriz de observabilidade Po C CA n 1 CA tiver pleno posto de colunas.

8 Sistema Detectável Um sistema (representação, realização) x Ax Bu, ycx Du ou equivalentemente o par (A, C), é dito detectável se todos os modos não-obseráveis do sistema forem estáveis. Isto é, se os polos que não podem ser alocados através, dos ganhos do observador de estado forem estáveis

9 Observador de Estado: Polos da dinâmica de estimação/erro = autovalores de A LC

10 Observador de Estado Diagrama de blocos para D=0

11 Observador de Estado Diagrama de blocos para D=0

12 Observador de Estado Diagrama de blocos para D=0

13 Observador de Estado Diagrama de blocos para D=0

14 Observador de estado det(si-a+lc) = polinômio característico desejado det(m)=det(m T ) det(si-m)=det([si-m] T )=det(si-m T ) autovalores M = autovalores de M T Queremos autovalores de A-LC = polos desejados Ou autovalores de [A-LC] T = polos desejados Autovalores de A T -C T L T = polos desejados Que é idêntico ao problema de alocação de polos com realimentação de estado: Autovalores de A-BK = polos desejados

15 Observador de estado A dinâmica do observador deve ser mais rápida do que aquela desejada para a planta. Ou seja a parte real dos autovalores de A-LC (que precisa ser negativa para que o observador seja estável) precisa ser maior (em módulo) do que a parte real dos polos desejados para a dinâmica do sistema. Em geral a parte real dos polos do observador deve ser de 2 a 6 vezes a parte real do polo mais rápido do sistema. Observadores com dinâmica muito rápida são sensíveis a ruídos de medição que podem comprometer as estimativas.

16 Observador de estado (exemplo) Δ Odes (s) = (s+5)(s+10)

17 Observador de estado (exemplo, cont.)

18 Realimentação de estado com observador

19 Realimentação de estado com observador Escrevendo a dinâmica em função de x e e:

20 Realimentação de estado com observador A equação de estado é a seguinte (estados: x e e): Autovalores do observador e da planta são alocados independentemente ( princípio da separação ).

21 Realimentação de estado com observador (exemplo) azul: saída da planta c/ observador verde: saída do observador vermelho: saída da planta s/ observador