Teoria de Sistemas Lineares I

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1 Teoria de Sistemas Lineares I Prof. Aguinaldo S.e Silva, Universidade Federal de Santa Catarina

2 Observabilidade Conceito dual à controlabilidade. Considere a equação dinâmica de dimensão n, p entradas e q saídas ẋ y = Ax + Bu = Cx + Du com A R n n, B R n p, C R q n e D R q p Definição: A equação de estado acima ou o par (A,C) é observável se, para qualquer estado inicial x(), existir um tempo finito t 1 tal que o conhecimento da entrada u e da saída y no intervalo [,t 1 ] seja suficiente para se determinar de maneira única x().

3 Exemplo i + u + 1 Ω x + 1 Ω y 1 Ω C 1 Ω Se a entrada é zero, a saída y é sempre zero independentemente da tensão inicial no capacitor. O sistema não é observável.

4 Exemplo L x 1 u R 1 R 2 C + x 2 + y Variáveis de estado: corrente no indutor x 1 e tensão no capacitor x 2 Se u =, x 1 () = x 1 e x 2 () =, a saída y = x 2 é igual a zero. Qualquer condição inicial x() = [ a ] com u = produz a mesma saída y =. Não é possível determinar o estado inicial (não observável).

5 A saída do sistema para uma condição inicial x() e uma entrada u(t) é da dada por y(t) = C exp(at)x() + C t exp[a(t τ)]bu(τ)dτ + Du(t) Assumindo y e u conhecidos, a única incógnita é x(). Portanto C exp(at)x() = ȳ ȳ y(t) C t t exp[a(t τ)]bu(τ)dτ Du(t)

6 Estudar o observabilidade resume-se a obter x() a partir de u(t) e y(t). Se u, a saída ȳ(t) reduz-se a (resposta à entrada nula) y(t) = C exp(at)x() Um sistema é observável se e somente se o estado inicial x() pode ser determinado de maneira única a partir da resposta à entrada nula durante um intervalo de tempo. Note que para um t fixo, com q < n, a matriz C exp(at) tem rank no máximo igual a q e, conseqüentemente, nulidade n q ou maior, e as soluções não são únicas.

7 Teorema O sistema é observável se e somente se a matriz n n W o (t) = t exp(a τ)c C exp(aτ)dτ for não singular para qualquer t >. Prova: Pré-multiplicando C exp(at)x() = ȳ(t) por exp(a t)c e integrando no intervalo [,t 1 ] tem-se ( t1 ) t1 exp(a t)c C exp(at)dt x() = exp(a t)c ȳ(t)dt Se W o (t 1 ) é não singular, x() único é dado por t1 x() = Wo 1 (t 1 ) exp(a t)c ȳ(t)dt

8 Isso mostra que se W o (t) é não singular para qualquer t > então o sistema é observável. Agora, mostra-se que se W o (t 1 ) é singular (ou, equivalentemente, semidefinda positiva) para todo t 1 >, então o sistema não é observável. Se W o (t 1 ) é semidefinda positiva, existe v R n 1 não nulo tal que v W o (t 1 )v = = t1 t1 v exp(a t)c C exp(at)vdt C exp(at)v 2 dt = o que implica C exp(at)v para todo t [,t 1 ].

9 Se u, as condições iniciais x 1 () = v e x 2 () = produzem a mesma saída y(t) = C exp(at)x 1 () = C exp(at)x 2 () e portanto o sistema não é observável.

10 Teorema (Dualidade) O par (A,B) é controlável se e somente se o par (A,B ) for observável. Prova: (A,B) controlável se e somente se W c (t) = t exp(aτ)bb exp(a τ)dτ for não singular para qualquer t >. O par (A,B ) é observável se e somente se, trocando A por A e C por B W o (t) = t for não singular para qualquer t >. exp(aτ)bb exp(a τ)dτ

11 Teorema As afirmações abaixo são equivalentes. 1) O par (A,C) é observável. 2) A matriz n n W o (t) = t exp(a τ)c C exp(aτ)dτ é não-singular t >. 3) A matriz de observabilidade nq n (comando obsv no Matlab) O = C CA. CA n 1 tem rank n (rank completo de colunas)

12 4) A matriz (n + q) n [ λi A C tem rank n (rank completo de colunas) para todo autovalor λ de A. 5) Se todos os autovalores de A têm parte real negativa, então ] A W o + W o A = C C tem solução única e é definida positiva. Essa solução é chamada de Gramiano de observabilidade e pode ser expressa como W o = exp(a τ)c C exp(aτ)dτ

13 Índices de Observabilidade Índices de Observabilidade Considere A R n n e C R q n com C de rank completo de linhas (se não for o caso, alguma linha redundante pode ser eliminada). Se (A,C) for observável, a matriz de observabilidade O tem rank n e, conseqüentemente, n linhas linearmente independentes (de um total de nq linhas). Seja c i a i-ésima linha de C. De maneira dual à controlabilidade, se uma linha associada a c m torna-se linearmente dependente, todas as demais linhas subseqüentes também o serão. Seja ν m o númerod e linhas LI associadas a c m. Se O tem rank n, ν 1 + ν ν q = n e {ν 1,ν 2,...,ν p } são índices de observabilidade e ν = max {ν 1,ν 2,...,ν p } é o índice de observabilidade de (A,C).

14 Índices de Observabilidade (A,C) observável = o índice de observabilidade ν é o menor inteiro tal que C CA ρ(o ν ) = ρ(. ) = n CA ν 1 O intervalo para ν é dado por n/q ν min ( n,n q + 1) sendo n o grau do polinômio mínimo de A. q = rank (C)

15 Índices de Observabilidade Corolário O par (A,C) com A R n n e ρ(c) = q é observável se e somente se a matriz C CA O n q+1 =. CA n q tiver rank n

16 Índices de Observabilidade Teorema A observabilidade é invariante sob qualquer transformação de equivalência.

17 Índices de Observabilidade Teorema O conjunto de índices de observabilidade do par (A,C) é invariante sob qualquer transformação de equivalência e para qualquer re-ordenamento das linhas de C. Diferenciando C exp(at)x() = ȳ(t) e tomando t =, tem-se C CA. CA ν 1 x() = O νx() = ỹ() ȳ() ȳ(). ȳ (ν 1) ()

18 Índices de Observabilidade Uma solução x() existe se ỹ() estiver no range de O ν. Se (A,C) é observável, O ν tem rank completo de colunas e a solução é única. x() = [O O] 1 O ỹ() Note que para a determinação do vetor ỹ() (contendo as derivadas) é necessário o conhecimento de ȳ(t) na vizinhança de t =.

19 Sistemas Equivalentes Sistemas Equivalentes Considere o sistema ẋ = Ax + Bu y = Cx + Du Seja x = Px com P não singular. Então x = Ā x + Bu y = C x + Du Ā = PAP 1 ; B = PB ; C = CP 1 ; D = D é um sistema equivalente.

20 Sistemas Equivalentes (A,B) controlável (Ā, B) controlável (A,C) observável (Ā, C) observável Todas as propriedades (estabilidade, controlabilidade e observabilidade) são preservadas pela transformação de equivalência. As matrizes de controlabilidade e de observabilidade se relacionam da seguinte forma C = PC ; Ō = OP 1

21 Decomposição Canônica Decomposição Canônica Teorema: Considere um sistema de dimensão n com ρ(c) = ρ( [ B AB e forme a matriz n n A n 1 B ] = n 1 < n P 1 [ q 1 q n1 q n ] cujas primeiras n 1 colunas são quaisquer n 1 colunas LI de C e as demais são escolhidas arbitrariamente de modo que P seja não singular.

22 Decomposição Canônica Então, a transformação de equivalência x = Px transforma o sistema em [ ] [ x c Āc Ā = 12 x c Ā c y = [ Cc ][ xc x c C c ] [ x c x c com Ā c R n 1 n 1 e Ā c R (n n 1) (n n 1 ). A sub-equação de dimensão n 1 ] [ Bc + ] + Du ] u x c = Āc x c + B c u ȳ = C c x c + Du é controlável e tem a mesma matriz de transferência do sistema original.

23 Decomposição Canônica Prova A transformação x = P 1 x realiza uma mudança de representação do estado da base ortonormal para a base Q P 1 = {q 1,...,q n1,...,q n }. A i-ésima coluna de Ā é a representação de Aq i na base {q 1,...,q n1,...,q n }. Para i = 1,...,n 1, os vetores Aq i são LD no conjunto {q 1,...,q n1 } e são LI em {q n1 +1,...,q n }, o que explica a forma da matriz Ā. As colunas de B são a representação das colunas de B em relação à base {q 1,...,q n1,...,q n }. Mas as colunas de B dependem apenas de {q 1,...,q n1 }, o que explica a forma de B. Note que se B R n p tem rank p e se suas colunas são escolhidas como as primeiras p colunas de P 1, então a parte superior de B será a matriz identidade de ordem p.

24 Decomposição Canônica Seja C a matriz de controlabilidade de (A,B). Então, tem-se ρ(c) = ρ( C) = n 1 e pode-se verificar que [ Bc Ā C = c Bc Ā n 1 B c c Āc n 1 ] B c [ C = c Ā n 1 B c c Āc n 1 B c ] } n 1 linhas } n n 1 linhas sendo C c a matriz de controlabilidade do par (Āc, B c ). Como as colunas de Āk c B c, para k n 1, são LD das colunas de C c, a condição ρ(c) = n 1 implica ρ( C) = n 1 e portanto a equação de dimensão n 1 é controlável.

25 Decomposição Canônica Resta mostrar que a equação de dimensão n 1 tem a mesma função de transferência do sistema original. Como a transformação de equivalência não altera a função de transferência, basta mostrar que a função de transferência do sistema de dimensão n 1 é igual à do sistema transformado. Note que [ ] [ 1 (si ) ] 1 si Āc Ā 12 Āc M = ( ) si 1 Ā c si Ā c com M = ( ) 1 ( ) 1 si Āc Ā 12 si Ā c

26 Decomposição Canônica Portanto a matriz de transferência do sistema transformado é [ Cc C c ] [ si Āc Ā12 si Ā c ] 1 [ Bc ] + D = [ ] [ ( ) ] 1 [ si Ā C c M Bc c C c ( ) 1 si Ā c ] + D = C c ( si Āc ) 1 B c + D

27 Decomposição Canônica Decomposição do espaço de estados não-controlável; dimensão n n 1 [ xc x c ] = [ xc ] + [ x c ] controlável; dimensão n 1

28 Decomposição Canônica Exemplo ẋ = 1 x rank (B) = 2 C 2 = [ B AB ] ρ(c 2 ) = ρ x = Px ; Ā = u ; y = [ ] x = 2 < 3 ; P 1 = Q = ; B = ; ; C = [ ]

29 Decomposição Canônica Sistema de dimensão n 1 = 2 x c = [ ] [ 1 x c + 1 ] u ; y = [ 1 2 ] x A função ctrbf transforma o sistema para a forma canônica controlável, mas com as colunas de P 1 na ordem inversa, resultando [ ] [ ] Ā c ; Bc Ā 21 Ā c

30 Decomposição Canônica Teorema: Decomposição Canônica Forma Dual Considere um sistema de dimensão n com C CA ρ(o) = ρ. = n 2 < n CA n 1 e forme a matriz n np cujas primeiras n 2 linhas são quaisquer n 2 linhas LI de O e as demais são escolhidas arbitrariamente de modo que P seja não singular. p 1. p n2. p n

31 Decomposição Canônica Então, x = Px transforma o sistema em [ ] [ ][ ] [ x o Āo xo Bo = + xō Ā 21 Āō xō Bō y = [ Co ][ ] x o + Du xō ] u Ā o R n 2 n 2 e Āō R (n n 2) (n n 2 ). A sub-equação de dimensão n 2 x o = Ā o x o + B o u ȳ = C o x o + Du é observável e tem a mesma matriz de transferência. Matlab: obsvf

32 Decomposição de Kalman Teorema (Decomposição de Kalman) Toda equação de estado pode ser transformada na forma canônica equivalente x co x cō x co x cō = Ā co Ā 21 Ā cō Ā 13 Ā 23 Ā 24 Ā co Ā 43 Ā cō x co x cō x co x cō + B co B cō u y = [ Cco C co Z ] x + Du x co : controlável e observável x cō : controlável e não observável x co : não controlável e observável x cō : não controlável e não observável

33 Decomposição de Kalman Equivalente (para estado inicial nulo) à equação de estado controlável e observável x co = Āco x co + B co u com a matriz de transferência y = C co x co + Du G(s) = C co (si Ā co ) 1 B co + D

34 Decomposição de Kalman CŌ u CO y CO C CŌ

35 Decomposição de Kalman descrição por função de transferência não é necessariamente equivalente à descrição por equações de estado Matlab: minreal

36 Decomposição de Kalman Exemplo 2 F 1 Ω + x 1 u x 2 1 H 1 H 1 Ω 1 Ω 2 F + x 1 Ω 3 1 Ω x 4 + y

37 Decomposição de Kalman Eliminando as variáveis de estado que não são controláveis e/ou não são observáveis: 1 Ω 1 Ω + u y 1 Ω 1 Ω

38 Decomposição de Kalman Função de transferência: y = u Equação de estado do circuito original (forma canônica controlável) ẋ = x + y = [ 1 ] x + u.5 u Parte controlável ẋ c = [.5 1 ] [.5 x c + ] u y = [ ] x c + u

39 Decomposição de Kalman Exemplo (Kailath, p. 145) Considere o sistema (satélite em órbita equatorial linearizado) ẋ = Ax + Bu ; x = [ r ṙ θ θ ] Estados: posição & velocidade em coordenadas polares ω velocidade angular A = 1 3ω 2 2ω 1 2ω u 1 : jato radial da turbina u 2 : jato tangencial da turbina ; B = 1 1 ; u = [ u1 u 2 ]

40 Decomposição de Kalman Determine se o sistema é controlável: - Apenas com u 1 - Apenas com u 2 Transforme a realização na forma não controlável padrão, quando apropriado.

41 Decomposição de Kalman Matriz de controlabilidade C = 1 ω 2 1 ω 2 2ω 2ω 2ω 3 coluna 4 = ( ω 2 ) coluna 2 ρ(c) = 3 Construindo a matriz de transformação equivalente T T = [ b 1 Ab 1 A 2 b 1 t ] t : arbitrário, escolhido para garantir T inversível (por exemplo, ortogonal)

42 Decomposição de Kalman T 1 = T = 1 2ω + 8ω 3 1 2ω 1 ω 2 2ω 2ω 1 1 ω 2 4ω 4 2ω 4ω 2 1 4ω 2 4ω 2 2ω

43 Decomposição de Kalman Ā = T 1 AT = 6ω 3 + 3ω/2 1 ω 2 1 (1/2ω) ; b = Polinômio característico de Ā: s2 (s 2 + ω 2 ), autovalores:, e ±jω 1

44 Decomposição de Kalman Maneira alternativa de construir uma transformação de similaridade T: impor T 1 A = [ Ac A 12 λ ] [ T 1, T 1 bc b = ] λ : autovalor não-controlável Chamando t n a última linha de T 1, tem-se t n A = λt n, t n b = Por exemplo: t n = [ 2ω 1 ] As demais linhas podem ser arbitradas:

45 Decomposição de Kalman T 1 = ω 1 1 Ā 1 = T 1 AT = ω 2 2ω 2ω 1, b1 = T 1 b = Autovalor não controlável: λ = forma canônicas não são únicas Para u 1 = (apenas propulsão tangencial), o sistema é controlável. 1