A TRANSFORMADA Z. Métodos Matemáticos I C. Prof. Hélio Magalhães de Oliveira, Texto por R. Menezes Campello de Souza

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1 A TRANSFORMADA Z Métodos Matemáticos I C Prof. Hélio Magalhães de Oliveira, Texto por R. Menezes Campello de Souza

2 Notação x(t) é o sinal analógico x(nt) = x[n], n inteiro, é a seqüência T é o período de amostragem f s = 1/T é a freqüência de amostragem

3 I - SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO I.1. Introdução Um Sistema em Tempo Discreto é uma transformação ou um operador que mapeia uma seqüência de entrada x[n] em uma seqüência de saída y[n], isto é, x[n] T {.} y[n] = T{x[n]}

4 I.2 - Tipos de Sistemas i) Sistemas sem memória Quando a saída y[n] em cada instante só depende da entrada x[n] no mesmo instante. Ex : y[n] = (x[n])2 ii) Sistemas com memória Quando a saída y[n] em cada instante n depende da entrada x[n] em instantes anteriores a n. Ex : y[n] = 1/3 ( x[n] + x[n-1] + x[n-2] ).

5 Tipos de Sistemas iii) Sistemas lineares São aqueles que obedecem ao princípio da superposição, isto é, se : então: T{x 1 [n]} = y 1 [n] e T{x 2 [n]} = y 2 [n], T{a 1 x 1 [n]+a 2 x 2 [n]} = a 1 T{x 1 [n]}+a 2 T{x 2 [n]} = a 1 y 1 [n]+a 2 y 2 [n]

6 Tipos de Sistemas iv) Sistemas invariantes no tempo Quando a entrada x 1 [n] = x[n-n d ] resulta na saída y 1 [n] = y[n-n d ], ou seja, quando T{x[n]} = y[n] e T{x[n - n d ]} = y[n - n d ]

7 I.3 - A Transformada de Fourier em Tempo Discreto Definição - A Transformada de Fourier em Tempo Discreto (TFTD) da seqüência x[n] é X(e jω ) = x[n] e K=- - jωn X(e jω ) é, em geral, complexa, sendo periódica de período p = 2π.

8 A TFTD inversa de X(e jω ) é dada por (prove!) x[n] = 1 2 π π -π X(e jω ) e jω n dω Notação : X(e jω ) = F{x[n]} x[n] X(e jω )

9 Note que: H(e K=- j( ω+ 2π) ) = - j( ω+ 2π)n h[n] e K =- j( ω+ 2π) -j2πn -jωn jω H(e ) = e h[n]e H(e e portanto a RF é periódica em freqüência com período igual a 2π.. = )

10 Alguns exemplos 1. x[n] = δ[n]. 2. x[n] = a n u[n]. 3. X(e j ω ) = 2πδ2 πδ(ω)

11 Propriedades da TFTD P1 - Linearidade a 1 x 1 [n] + a 2 x 2 [n] a 1 X 1 (e jω ) + a 2 X 2 (e jω ) P2 - Deslocamento no tempo x[n - n d ] e -jωn d X(e jω )...

12 Propriedades da TFTD P5 - Relação de Parseval E = x[n] 1 2π n = - -π 2 = π X(e jω ) 2 dω

13 II. - A TRANSFORMADA Z II.1. Introdução A Transformada de Fourier de Tempo Discreto (TFTD) desempenha um papel relevante na representação e análise de sinais e sistemas discretos. A Transformada Z é uma generalização da TFTD.

14 II.1 - A TRANSFORMADA Z A TZ está para os sinais discretos assim como a Transformada de Laplace está para os sinais analógicos e ambas estão relacionadas com a TF correspondente. A TFTD não existe para todas as seqüências e é importante ter uma generalização que engloba uma classe mais ampla de sinais. A TZ proporciona a utilização da teoria de variáveis complexas em questões de Processamento Digital de Sinais.

15 II.1 - A TRANSFORMADA Z Definição - A Transformada Z da seqüência x[n] é X(Z) = n=- x[n] Z -n onde Z é uma variável complexa.

16 II.1 - A TRANSFORMADA Z Note que a TFTD pode ser obtida da TZ simplesmente fazendo-se ou seja, X(e Z = e jω jω ) = X(Z) Esta é a razão para a notação X(e jw ) para a TFTD. Assim, quando a TFTD existe, ela é obtida de X(Z) fazendo-se Z = e jw. Portanto, quando Z = 1, a TZ corresponde a TFTD. Z=e jω

17 II.1 - A TRANSFORMADA Z Notação : X(Z) = Z {x[n]} (TZ direta) x[n] = Z -1 {X(Z)} (TZ inversa) x[n] X(Z)

18 II.2 - A Região de Convergência Sendo a TZ uma função de variável complexa, é conveniente representa-la no plano Z complexo. Neste, plano, a região Z = 1 corresponde ao círculo de raio unitário. Os valores de Z para os quais a TZ existe (ou a série converge) definem uma região chamada Região de Convergência (ROC).

19 Pólos e Zeros A TZ é muito útil quando a série infinita tem uma forma fechada do tipo X(Z) = P(Z) Q(Z) onde P(Z) e Q(Z) são polinômios em Z. As raízes de P(Z) e Q(Z) são chamadas, respectivamente, de ZEROS e PÓLOS de X(Z).

20 Exemplos 1- Encontrar a TZ da seqüência x[n] = δ[n]. 2- Encontrar a TZ da seqüência x[n] = δ[n-m]. 3 - Encontrar a TZ da seqüência x[n] = a n u[n]. 4- Encontrar a TZ da seqüência x[n] = -a n u[-n-1].

21 Propriedades da Região de Convergência R1. A ROC no plano Z é um anel centrado na origem (setor circular) 0 R a < Z < R b R2. A TFTD de x[n] converge se e só se a ROC da TZ de x[n] inclui o círculo unitário. R3. A ROC não contém pólos.

22 Propriedades da Região de Convergência R4. Se x[n] é uma seqüência de duração finita, então a ROC é todo o plano Z, exceto possivelmente Z = 0 ou Z =. R5. Se x[n] é uma seqüência a direita (isto é, x[n] = 0 para n < N 1 finito), a ROC se estende afastando-se da origem, desde o pólo de maior amplitude em X(Z) até Z = (possivelmente incluindo Z = ).

23 Propriedades da Região de Convergência R6. Se x[n] é uma seqüência a esquerda (isto é, x[n] = 0 para n > N 1 finito), a ROC se estende na direção da origem, desde o pólo não nulo de menor amplitude em X(Z) até Z = 0 (possivelmente incluindo Z = 0). R7. Se x[n] é uma seqüência bilateral, a ROC é um anel, limitado no interior e exterior por dois pólos e sem conter pólos (R3). R8. A ROC é uma região conectada.

24 II.3 - Propriedades da Transformada Z Notação: x[n] X(Z), ROC = R x x 1 [n] X 1 (Z), ROC = R x 1 x 2 [n] X 2 (Z), ROC = R x 2

25 Propriedades da Transformada Z T1. Linearidade a x 1[n]+a2 x2[n] a1 X 1[Z]+a 2 X 2[Z]. 1 com ROC ( R x R ) 1 x 2

26 Propriedades da Transformada Z T2. Deslocamento no Tempo x[n-n o ] Z -n o X(Z), ROC= R x ( ± 0, ) Ex.: Encontre x[n] para -1 Z X(Z) = Z, Z > 2

27 Propriedades da Transformada Z T3. Multiplicação por uma Seqüência Exponencial Z ( ) 0, ROC = Z0 x n 0 x[n] X Z/Z R A notação ROC = Z 0 R x significa que a ROC é R x escalonada por Z 0, isto é, se X(Z) tem um pólo em Z = Z 1, então X(Z/Z 0 ) tem um pólo em Z = Z 0 Z 1.

28 Propriedades da Transformada Z T4. Diferenciação na Freqüência dx(z) nx[n] -Z, ROC = R x ( ± 0, ) dz

29 Propriedades da Transformada Z T5. Inversão no Tempo x [ n] X(1/ Z), ROC = 1/R x

30 Propriedades da Transformada Z T6. Convolução x1[n] x 2[n] X1(Z)X 2 (Z), ROC (R x 1 R x 2 )

31 Propriedades da Transformada Z T7. Valor Inicial: Se x[n] é causal x[0] = limz X(Z)

32 II.4 - A Transformada Z Inversa Inspeção Séries Expansão em Frações Parciais Fórmula de inversão

33 II.4 - A Transformada Z Inversa Inspeção X(Z) 1 = 1 1 Z 2 1, Z > 1/2

34 II.4 - A Transformada Z Inversa Séries X(Z) = Z (1 Z )(1 + Z )(1 Z )

35 II.4 - A Transformada Z Inversa Expansão em Frações Parciais X(Z) = P(Z) Q(Z) = M k = 0 N k = 0 b a k k Z Z k k = b a M 0 k = 1 N 0 k = 1 (1 (1 c d k k Z Z 1 1 ) ) X(Z) = N A k= 11 d k i k k Z 1 + M N B Z r= 0 r r + s Cm = 1(1 d Z m i 1 ) m

36 II.4 - A Transformada Z Inversa O coeficiente A k é dado por = 1 A k (1 dkz )X(Z) Z= d k e B r é obtido da divisão P(Z)/Q(Z). Se M<N o 2 0 somatório não existe. Se X(Z) só tem pólos simples, o 3 0 somatório não existe.

37 II.4 - A Transformada Z Inversa Exemplo: Transformada Z inversa de Z + Z X(Z) = (3/2)Z + (1/2)Z Z > 1

38 II.4 - Cálculo da Saída Através da TZ Para um sistema discreto LIT x[n] LIT y[n] = T{x[n] tem-se y[n]=x[n] h[n] de modo que, da propriedade da convolução Y(Z) = X(Z)H(Z)

39 Bibliografia 1 - A. V. Oppenheim e R. W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, Prentice Hall,, 1999.