Transformada Discreta de Fourier (DFT)

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1 Transformada Discreta de Fourier (DFT) A DFT de uma sequência x n de comprimento finito N é definida como: X k = x n e j2π N kn, 0 k N 1 A DFT mapeia uma sequência de comprimento N, x n, em outra sequência, X k, também de comprimento N, cujas componentes correspondem a amostras igualmente espaçadas no eixo ω da DTFT desta sequência, ou seja: X k = X e jω ω=2πk N, 0 k N 1

2 Transformada Discreta de Fourier (DFT) Em geral, as amostras igualmente espaçadas da DTFT não representam unicamente uma sequência x n quando x n tem duração infinita. As amostras X e jω ω=2πk N representam a DFT de um período (0 n N 1) da sequência periódica: x p (n) = x n ln, l=

3 Transformada Discreta de Fourier (DFT) Definindo W N = e j2π N, a DFT pode ser escrita como: X k = x n W N kn, 0 k N 1 Complexidade da DFT: O cálculo de cada componente da DFT pela expressão acima requer N multiplicações complexas e N 1 somas complexas. O cálculo de todos componentes (0 k N 1) requer N 2 multiplicações e N(N 1) somas. O algoritmo FFT, que será visto mais adiante, requer apenas N log 2 N multiplicações e somas complexas quando N = 2 r, r inteiro.

4 Transformada Discreta de Fourier (DFT) Exemplo 1: A DFT de é x n = X k = δ(n)w N nk 1, n = 0 0, n = 1,2,, N 1 = 1, k = 0,1,, N 1 Exemplo 2: A DFT de é x n = 1, n = 0,1,, N 1 X k = W N nk = 1 W N Nk 1 W N k = N, k = 0 0, k 0

5 Transformada Discreta de Fourier (DFT) Exemplo 3: A DFT de x n = cos 2πrn N, n = 0,1,, N 1 sendo r um inteiro com 0 r N 1, é X k = 1 2 W N rn + W rn nk N W N = W N N(k r) = 1 2 N(k+r) + 1 W N = k r k+r 1 W N 1 W N W N (k r)n + WN (k+r)n N, k = r 2 N, k = N r 2 0, outro k

6 Simetrias da DFT de Sequências Reais Para uma sequência x n real de comprimento N, temos: X k = x n e j2π N kn = x n e j2π N (N k)n = X N k Portanto: X R k = X R N k X I k = X I N k X k = X N k X k = X N k

7 DFT Inversa (IDFT) As componentes de x n podem ser obtidas da sua DFT pela expressão: x n = 1 N k=0 X k W N kn, 0 n N 1

8 Obtenção da DTFT por Interpolação da DFT A DTFT de uma sequência de x n de comprimento N é: X e jω = x(n)e jωn Substituindo x n pela expressão da IDFT, obtemos: = 1 N X e jω = k=0 X k 1 N = 1 N k=0 k=0 X k X k W N kn sen (ωn 2πk) 2 sen (ωn 2πk) 2N j ω 2πk e N e jωn n 2πk ω e j N 2 Através da expressão acima, podemos reconstruir a DTFT X e jω de uma sequência de comprimento N a partir da sua DFT X k.

9 Cálculo Numérico da DTFT A DTFT X e jω de uma sequência x(n) de comprimento N pode ser obtida em um grid denso de frequências ω k = 2πk/M, com M N, definindo: x e n = x n, 0 n N 1 0, N n M 1 Observando que X e e jω = X e jω, a DFT de x e n corresponderá à DTFT de x n para ω k = 2πk, 0 k M 1. M

10 Relações Matriciais As N componentes da DFT podem ser escritas, na forma matricial, em função das N amostras de x n, como: X[0] X[1] X[2] X[N 1] = W N 2 W N W N 1 2 W N 4 W N 2() W N 1 W N 2() W N () W 2 N x[0] x[1] x[2] x[n 1] ou, na forma compacta: X N = W N x N onde W N é chamada de matriz DFT.

11 Relações Matriciais A IDFT também pode ser expressa na forma matricial: x[0] x[1] x[2] x[n 1] = 1 N W N W N () 1 W N 1 1 W N 2 W N 4 W N () 2() W N () W 2 N W N 2() X[0] X[1] X[2] X[N 1] ou, na forma compacta: x N = 1 N W N X N Comparando as expressões da DFT e da IDFT, concluímos que: W N 1 = 1 N W N

12 Operações Circulares Operação m módulo N ou m N : Dados dois números inteiros m e N, seja i o inteiro positivo ou negativo tal que m = in + r, com 0 r N 1 Então: m N = r Exemplos: 13 5 = 3, pois 13 = = 2, pois 27 = = 3, pois 12 =

13 Operações Circulares Deslocamento circular de n 0 amostras de uma sequência x(n) de comprimento N: x C n = x( n n 0 N ) Exemplo:

14 Operações Circulares Convolução circular de duas sequências g n e h(n) de comprimento N: y n = g(m) h( n m N ) m=0 Exemplo: y 0 = g 0 h g 1 h g 2 h 2 4 g 3 h 3 4 = g 0 h 0 + g 1 h 3 + g 2 h 2 + g 3 h 1 = = 10

15 Operações Circulares A convolução circular pode ser escrita na forma matricial como: y[0] y[1] y[n 1] = h[0] h[n 1] h[1] h[0] h[n 1] h N 2 h[1] h[2] h[0] g[0] g[1] g[n 1] No exemplo anterior: y[0] y[1] y[2] y[3] = =

16 Propriedades da DFT Sejam duas sequências de comprimento N, g n G(k) e h(n) H k. Então, as seguintes propriedades são válidas: (i) Linearidade: αg n + βh n αg k + βh(k) (ii) Deslocamento circular no tempo: g n n 0 N W N kn 0 G k (iii) Deslocamento circular na frequência: W N k 0 n g(n) G k k 0 N

17 Propriedades da DFT (iv) Convolução circular: m=0 g(m) h( n m N ) G k H(k) ou seja, a DFT da convolução circular de N amostras de duas sequências é o produto de suas DFTs. (v) Modulação: g n h(n) 1 N l=0 G(l) H( k l N ) ou seja, a DFT do produto de duas sequências é igual à convolução circular de suas DFTs.

18 Computação de Convoluções Lineares Usando DFTs Vimos que a resposta de um sistema LTI é a convolução linear da entrada com a resposta ao impulso. Vimos também que a convolução linear pode ser computada usando DTFTs, ou seja: A motivação para o uso da DFT é a redução da complexidade computacional. Mas, pela propriedade (iv) da DFT, a IDFT do produto de duas DFTs é igual à convolução circular das duas sequências no tempo.

19 Computação de Convoluções Lineares Usando DFTs A convolução linear de sequências de comprimento M e N é uma sequência de comprimento L = M + N 1. A convolução circular entre duas sequências exige que elas tenham o mesmo comprimento. A sequência resultante terá o mesmo comprimento das sequências. Os resultados das convoluções linear e circular serão idênticos se aumentarmos o comprimento de cada sequência com zeros de forma que cada uma delas tenha comprimento L = M + N 1. Portanto, definimos as sequências estendidas: x e n = h e n = x n, 0 n N 1 0, N n L 1 h n, 0 n M 1 0, M n L 1

20 Computação de Convoluções Lineares Usando DFTs A convolução linear pode ser então obtidas usando DFTs conforme ilustrado abaixo: Exemplo: