Transformada de Fourier Discreta (DFT)

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA Transformada de Fourier Discreta (DFT) Prof. Juan Moises Mauricio Villanueva 1

2 Transformada de Fourier em Tempo Discreto Para um sinal discreta não periódico x[n], de tamanho L: L1 jn X ( ) x[ n] e, k,1, 2,..., L 1 n 2k, k,..., L 1 L F x[ n] X ( ) 2

3 Sinal amostrada utilizando um conversor Análogo para Digital x(t) x(n) x(n) A/D t 1 f s = Frequência de amostragem (sampling) n 1 N-1 N = número de amostras n T s = 1/f s = Período de amostragem 3

4 Exemplo 1: f s = 1k Amostras/s T s = 1/f s =.1 ms (Período de amostragem) N = 1 amostras x(n) twindow = (N)*Ts=1*.1ms = 1 ms x(t) x(n) A/D twindow t 1 f s = Frequência de amostragem (sampling) n 1 N-1 N = número de amostras n T s = 1/f s = Período de amostragem 4

5 f s = 1k amostras/s T s = 1/f s =.1 ms (Período de amostragem) N = 1 amostras twindow = N*Ts=1*.1ms = 1 ms x(t) x(n) x(n) A/D twindow t f s = Frequência de amostragem (sampling) 1 T s = 1/f s = Período de amostragem 1 N-1 n N 1 jn X ( ) x[ n] e, n DFT k,1,2,..., N 1, 2k N n

6 Exemplo de avaliação da DFT 2k, k,..., L 1 L L = k =,1,2,3,4 k X () x[ n] 4 n 4 2 k 1 X (2 / ) x[ n] e n 4 4 k 2 X (4 / ) x[ n] e n 4 6 k 3 X (6 / ) x[ n] e n 4 8 k 4 X (8 / ) x[ n] e n j 2 n/ j 4 n/ j6 n/ j8 n/ 6

7 Módulo e Fase da DFT k X () x[ n] X () e 4 n 4 2 j 2 n / k 1 X (2 / ) x[ n] e X (2 / ) e 4 4 j 4 n / k 2 X (4 / ) x[ n] e X (4 / ) e 4 6 j6 n/ k 3 X (6 / ) x[ n] e X (6 / ) e n n n 8 k X x n e X 4 j8 n/ 4 (8 / ) [ ] ( n j j 1 j j j 4 8 / ) e 3 2 7

8 Resolução da Frequência Digital A resolução da frequência digital é dada como: k X () e k 1 2 X (2 / ) e k 2 4 X (4 / ) e k 3 6 X (6 / ) e k 4 8 X (8 / ) e j j 1 j j j Resolução 2 L 8

9 Definição da Transformada de Fourier Discreta A DFT para o sinal x[n], de tamanho N, é definido por: N 1 jn X ( ) x[ n] e, k,1, 2,..., N 1 n A DFT inversa é definido por N 1 1 jn x[ n] X ( ) e, n,1, 2,..., N 1 N k 2k, k,..., N 1 N Notação: F x[ n] X ( ) 9

10 Linearidade F X x n 1 1 F x n X 2 2 Propriedades da DFT Deslocamento no tempo F ax n bx n ax bx F jn x n n e X 1

11 Propriedades da DFT Deslocamento na frequência j e n x n F X o Convolução x[n] h[n] y[n] y n x n h n x k h n k k F y n x n h n Y X H 11

12 Exemplo 2 Para um sinal Sinusoidal s(t)=sin(2πft) Frequência do sinal f= Hz Frequência de amostragem fs=1 Amostras/s Tamanho do sinal L = 2 amostras

13 Exemplo 2 Incrementando 1 zeros 1 señal+ruido zeros O novo tamanho do sinal é N = 12 amostras -1 2 amostras

14 Exemplo 2 Aplicando a Transformada de Fourier Discreta 199 jn X ( ) x[ n] e, k,1,2,...,199 n Resolução: 2 2 N 12 DFT rad/s 14

15 Exemplo 2 Transformação de escala (rad) x (Hz) A Transformada de Fourier Discreta é Períodica 2 f 1 f s f fs ( Hz) 1

16 Exemplo 2 Aplicando a Transformada de Fourier Discreta (escala em Hz) DFT Hertz Frequência do sinal f=hz 16

17 Exemplo 2 Simetria da Transformada de Fourier Discreta DFT Hertz Simetria 17

18 Exemplo 2 Considerações na Avaliação da DFT A adição de zeros não proporciona nenhuma informação adicional acerca do espectro de X() da sequencia x[n]. Ao preencher a sequencia x[n] com (N-L) zeros e avaliar a DFT de N pontos, se obtém uma melhor representação gráfica, devido principalmente à melhora na resolução da DFT. 18

19 Propriedades da DFT Simetria e Periodicidade 19

20 Propriedades da DFT 2

21 Propriedades da DFT 21

22 Simetria Período igual a 2* Exemplo 3 N 1 jn X ( ) x[ n] e, n k,1,2,..., N 1, Espectro de x(n) 2k N x(n) DFT FFT n N=1 fs=1k Amostras/s fo = 1 khz omega (rad)

23 Transformação de escalas de (rad) para frequência em Hertz 4 4 Espectro de x(n) 2 f s f ( Hz) 3 FFT f (Hz) fs/2 fs f ( Hz) 2 f s omega (rad) 23

24 Realizando a Transformação 4 Espectro de x(n) Simetria com respeito a fs/2 4 3 Período igual a fs 3 FFT fo fs/2 fs A Largura de Banda de interesse é igual ao intervalo [, fs/2] f(hz) BW = [, fs/2]=[, khz]] 24

25 DFT de um sinal ruído branco Gaussiano Valor médio = Desvio padrão = r = +.1*randn(1,1); figure,hist(r,1)

26 A DFT do ruído branco Gaussiano 6 Espectro de x(n) 4 FFT 3 2 DFT do ruído f(hz) 26

27 DFT de 2 sinais sinusoidais fs = 1 khz (Frequência de amostragem) Frequência dos sinais f =1 khz e f 1 =3 khz 6 Espectro de x(n) 4 FFT f(hz) 27

28 Que acontece se a frequência do sinal de entrada f 1 é superior a fs/2 = Hz? Por exemplo, para fo = 1 Hz e f 1 = 6 Hz Sendo que a largura de banda vá de [, ]Hz, o espectro do sinal de 6 Hz produzirá um espectro espelhado com frequência de 4 Hz. Por tanto, tem-se um espectro de frequência errado. 6 fo Simetria de f1 Espectro de x(n) f1 Simetria de fo 4 FFT f(hz) 28

29 Com a finalidade de garantir que a análise de espectros seja realizado respeitando a largura de banda de interesse [, fs/2], deve-se colocar na entrada do sistema de processamento do sinal um filtro passa baixo com frequência de corte fs/2. Este filtro limitara a largura de banda dos sinais de entrada. x(t) Filtro Passa Baixo x(n) A/D twindow t fc=fs/2 1 n 1 N-1 n DFT N 1 jn X ( ) x[ n] e, n k,1,2,..., N 1, 2k N 29

30 Análise em Frequencia usando Janelas Se realiza o truncamiento da resposta ao impulso ideal h[n] por uma janela w[n]: Multiplicação em tempo discreto Convolução na Frequência h [ ] [ ] [ ] w n h n w n H ( ) ( ) ( ) w F H F W F 3

31 Análise em Frequencia usando Janelas Características das Funções que caracterizam Janelas JANELAS M n M Boxcar Blackman Barlett Hanning Hamming w[ n] 1 n 2n w[ n].42. cos.8 cos M M n w[ n] 1 M n w[ n].. cos M n w[ n].4.46 cos M 31