Resumo. Sinais e Sistemas Amostragem. Introdução. Amostragem Periódica

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1 Resumo Sinais e Sistemas Amostragem lco@ist.utl.pt Instituto Superior écnico Representação da Amostragem no Domínio da Frequência Reconstrução do Sinal Amostrado Processamento em empo Discreto de Sinais Contínuos Conversão A/D e D/A Sinais e Sistemas p./25 Sinais e Sistemas p.2/25 Introdução Amostragem Periódica Os sinais discretos são muitas vezes representações de sinais contínuos. Sob certas condições é possível reconstruir sem erros o sinal contínuo a partir da sua representação discreta. Veremos que é possível realizar sistemas contínuos processando a sua representação em tempo discreto da entrada e reconstruindo o resultado. x(n)= x c (n), <n< em que é o período de amostragem s(t)= δ(t n) C/D x(n) s(t) Sinais e Sistemas p.3/25 Sinais e Sistemas p.4/25

2 ransformada de Fourier (CF) Representação em Frequência Equação de análise:, X()= Equação de síntese: + x(t)e jt dt x s (t)= x c (t)s(t)= x c (n)δ(t n) s(t) pode ser representado numa série de Fourier: /2 t, x(t)= 2π + X()e jt d em que s = 2π. S k = /2 s(t)e jsk = Sinais e Sistemas p.5/25 Sinais e Sistemas p.6/25 Representação em Frequência (cont.) Representação em Frequência (cont.) x s (t)= x c (t)s(t)= x c (t) e j sk Aplicando a propriedade do deslocamento em frequência: em que s = 2π. X s ()= + k= X c ( k s ) N N S( ) 2π/Τ 2 s s 0 s 2 s X s( ) /Τ N N /Τ X c ( ) ( s N) s Sinais e Sistemas p.7/25 Sinais e Sistemas p.8/25

3 Distorção de Aliasing Reconstrução do Sinal Contínuo Se x c (t) for um sinal de banda limitada: X c ()=0, > N x s(t) Η r() x r (t) Não haverá sobreposição das réplicas de X c () resultantes da convolução com S () se: s(t) s N > N, ou seja s > 2 N No caso contrário, a sobreposição produz uma distorção denominada de aliasing. rη() c c Sinais e Sistemas p.9/25 Sinais e Sistemas p.0/25 Reconstrução em Frequência eorema da Amostragem X c( ) Se x c (t) for um sinal de banda limitada com: N N S( ) 2π/Τ 2 s s 0 s 2 s X s( ) /Τ N N H Τ r( ) X c ()=0 para N Então, x c (t) é univocamente representado pelas suas amostras x(n)= x c (n), n=0,±,±2,..., se s = 2π > 2 N c c X r( ) N N Sinais e Sistemas p./25 Sinais e Sistemas p.2/25

4 Sinal de Banda Limitada Sinal de Banda Limitada (cont.) O sinal reconstruído resulta da convolução da sequência de impulsos com a resposta impulsiva de um filtro h r (t): x r (t)= em que + x c (n)h r (t n) c H Τ r( ) h r(t) c n h r (t)= c sin( c t) π c t 3Τ Τ Τ 3Τ t n Sinais e Sistemas p.3/25 Sinais e Sistemas p.4/25 Filtro de Reconstrução Amostragem por Retenção ou seja, c =π/: x r (t)= H r ()= + {, <π/ 0, >π/ x c (n) sen(π(t n)/) π(t n)/ A amostragem com um trem de impulsos demonstra a unicidade da representação do sinal pelas suas amostras. Não é possível produzir na prática um trem de impulsos com as características desejadas. A amostragem é muitas vezes realizadas com recurso a um retentor de ordem zero que amostra e mantém o valor do sinal de entrada até ao instante de amostragem seguinte. A contrário do trem de impulsos, o retentor de ordem zero não tem espectro plano. Sinais e Sistemas p.5/25 Sinais e Sistemas p.6/25

5 Retentor de Ordem Zero Compensação do Retentor Retentor (sample and hold) de ordem zero: Neste caso: h 0 (t)= x 0 (t)=h 0 (t) {, 0<t< 0, no caso contrário + x c (n)δ(t n) ^ x(n) escalamento para X m Conversão para impulsos Conversor D/A Sample and Hold D Filtro de reconstrução H r(j ) O Filtro de reconstrução pode compensar a resposta em frequência do retentor H 0 (): H 0 ()= 2sen(/2) e j/2 H r ()= y (t) r { /2 sen(/2), <π/ 0, >π/ j/2 2 sin(/2) H 0 ()=e Sinais e Sistemas p.7/25 Sinais e Sistemas p.8/25 Exemplo Considere que o sinal sinusoidal: ( s ) t, x(t)=cos 2 t+φ é amostrado com intervalo de amostragem = 2π/ s. Determine o sinal resultante x r (t) em função do valor deφ. Solução: esta amostragem não cumpre os requisitos do teorema da amostragem, que exige que a frequência de amostragem seja maior do que o dobro da frequência máxima do sinal. Paraφ=0obtém-se uma reconstrução perfeita do sinal, enquanto que paraφ=π/2 x r (t)=0. A amplitude de x r (t) depende do valor deφ. x s (t)= Conversão Contínuo-Discreto s(t) x c (n)δ(t n) Aplicando a CF: X s ()= x c (n)e jn s C/D x (n) d x d (n)= x c (n) Aplicando a DF: X d (Ω)= X d (Ω)=X s (/) x c (n)e jωn Sinais e Sistemas p.9/25 Sinais e Sistemas p.20/25

6 Processamento de Sinais Contínuos Sinais Contínuos C/D x(n) Sistema discreto Sendo H() a função de transferência do sistema discreto: Y r () = H r ()H() = y(n) + k= D/C { H()Xc (), <π/ 0, π/ y (t) r ( X c 2πk ) c H aa( Ω) Filtro anti aliasing ^ x(n) a Conversor D/A Sample and Hold Sistema discreto Η() y (t) D 0 ^ y(n) Filtro de reconstrução H r ( Ω ) Conversor A/D y (t) r ~ Sinais e Sistemas p.2/25 Sinais e Sistemas p.22/25 Filtro Anti-Aliasing Conversão A/D: Quantificação H aa ()= {, <c <π/ 0, no caso contrário Apesar do filtro real não poder ser de banda limitada, pode-se tornar H aa () pequeno para >π/ minimizando a distorção de aliasing. Erro de quantificação: ˆx(n)=Q{x(n)} e(n)= ˆx(n) x(n) Se o quantificador tiver uma amplitude máxima de X m e utilizar B bits: = X m 2 B arredondamento simétrico: /2 < e(n) /2 Sinais e Sistemas p.23/25 Sinais e Sistemas p.24/25

7 Conclusões O processo de amostragem faz a ponte entre o domínio do tempo contínuo e do tempo discreto. O teorema da amostragem diz-nos que é possível fazer uma reconstrução exacta de um sinal de banda limitada se a amostragem se realizar a um ritmo superior ao do dobro da frequência máxima do sinal. Quando o teorema de amostragem não é respeitado, o sinal reconstruído sofre um distorção denominada de aliasing. O processo de amostragem é usado em diversas aplicações de onde se destaca a utilização de sistemas discretos para o processamento de sinais contínuos. Sinais e Sistemas p.25/25