Revisão Análise em frequência e amostragem de sinais. Hilton de Oliveira Mota

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1 Revisão Análise em frequência e amostragem de sinais Hilton de Oliveira Mota

2 Introdução Análise em frequência (análise espectral): Descrição de quais frequências compõem um sinal. Por quê? Senóides são autofunções de x (n)=a sin( 2 π f n T + φ) Discretetime LTI system Problema: ao lidar com senóides, precisamos sistemas das LIT.amplitudes e fases números complexos. y (n)=k x( n)= = K A sin (2 π f n T + φ+θ K ) Portanto, se: a resposta senoidal do sistema for conhecida e; a entrada puder ser decomposta como uma soma de senóides. Então: A saída será a soma das respostas a cada senóide!

3 A transformada de Fourier (FT) Permite decompor sinais de tempo contínuo como uma soma de senóides e cossenóides (exponenciais complexas). Espectro de amplitude. X (ω)= x ( t ) e j ω t dt = X (ω) e j θ (ω) Espectro de fase. O sinal é reconstruído por uma soma ponderada de sinais senoidais. Equação de análise x t = 1 X e j t d A transformação é representada por: ℱ x t X Equação de síntese

4 Exemplo 0,5 t x (t )=e u( t) X(ω) é uma função complexa. X (ω)= x ( t ) e ωt = e 0,5 t j ωt e 0 dt 1 dt = 0,5+ j ω 1 α jω X (ω) = = 2 2 α + jω α +ω = 2 α 2 j 2ω 2 α +ω α +ω X (ω)= 1 α 2 +ω j arctan (ω/ α) 2 e x (t ) ℜ(X (ω)) ℑ( X (ω)) X (ω) θ (ω)

5 A transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT) Extensão da FT para sinais de tempo discreto. X e j =X t =nt = x n T e j n T dt X e j = x [n ]e j n n= O sinal pode ser reconstruído por: 1 x [n]= X e j e j n d 2 A transformação é representada por: ℱ x [n] X e j

6 Exemplo n x (n)=0,5 u(n) jω X (e )= n= 0,5 n u [n]e j ω n 1 = (0,5 e ) = ω 1 α e n=0 1 cos j ℜ(X (ω)) X ℜ e = cos sen j X ℑ e = cos 1 j X e = X (ω) 1 2 cos 2 sen = arctan 1 cos ω n ℑ( X (ω)) θ (ω)

7 A transformada discreta de Fourier (DFT) A DFT é um caso particular da DTFT para sinais de comprimento finito. Pressupõe uma periodização circular do sinal resulta em um espectro de frequências discreto periódico. 1 kn j kn X [k ]= x [n]e n=0 O sinal pode ser reconstruído por: 1 x [n]= 1 X (k )e k=0 A transformação é representada por ℱ x [n] X [n]

8 Exemplo x t =sen t 0.5 sin t 3 / 4 1 f s = khz, T = =125 s fs x [n]=x t t=nt =sen 1000 nt 0.5 sin nt 3 / 4 Para n=0, 1, 2,, 7 x [0]= x [1]= x [2]= x [3]= x [4]= x [5]= x [6]= x [7]=

9 Exemplo 1 0n 1n 2n 3n 4n 5n 6n 7n X [0]= x [n]e n= 0 1 X [1 ]= x [n ]e n =0 1 X [2]= x [n ]e n=0 1 X [3]= x [n]e n=0 1 X [4 ]= x [n ]e n=0 1 X [5 ]= x [n]e n=0 1 X [6]= x [ n]e n= 0 1 X [7 ]= x [n]e =x [0 ]e =x [0 ]e = x [0]e =x [0 ]e =x [0 ]e =x [0]e =x [0 ]e =x [0 ]e x [1]e x [1]e x [1] e x [1]e x [1]e x [1]e x [1]e x [1]e x [7 ]e x [7]e x [7 ]e x [7 ]e x [7 ]e =0 e j 0 =4 e =2 e x [7]e x [7 ]e 4 j =0 e j 0 x [7]e 2 =0 e j0 =0 e j =2 e =4 e j 2 n=0 { X [k ]= 0 e j 0, 4 e 2, 2e j 4, 0 e j0, 0 e j 0, 0 e j0, 2 e 4, 4e j 2 } 4

10 Exemplo { j0 X [k ]= 0 e, 4 e 2, 2e f s j 4 j0 j0 j0, 0e, 0e, 0 e, 2e 4 fs [ k ] = k f [ k ] = k, 4e j 2 } Frequência amostrada.

11 Exemplo Sinal de áudio, fs=22050 Hz, =3276. Valor principal (espectro principal).

12 Espectros de frequência e de energia Energia de um sinal discreto no domínio do tempo: 1 εx [ n]= x ( n) 2 n =0 Energia de um sinal discreto no domínio da frequência: Espectro de densidade de energia. Teorema de Parseval. 1 1 εx [ n]= x ( n) = n =0 2 1 X ( n) 2 n=0 A transformada de Fourier de tempo discreto mantém a energia do sinal transformação ortogonal.

13 Exemplo: espectros de frequência e de energia

14 Representação matricial da DFT 1 X [k ]= x [n]e Transformada direta (análise): [ ][ X (0) X (1) X (2) = X ( 1) e e e e Transformada inversa (síntese): kn = ΦT x X n= e e e ( 1) 0 e e e e ( 1) 1 e ( 1 ) 2 0 ( 1) 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) e e e e 1 T 1 ( x = Φ ) X = Φ X ( 1) ( 1) ][ x(0) x (1) x (2) x ( 1) ]

15 Dicionário de Fourier

16 A transformada de Fourier para sinais 2D Considere um sinal 2D: f (x, y) ℜ M x=0,, M 1, y =0,, 1, A transformada de Fourier de f é dada por: M 1 1 F (u, v ) ℜM = f (x, y)e ux j vy M e x =0 y=0 Retângulo de frequências M 1 1 = f ( x, y )e u=0,, M 1, v=0,, 1 O sinal pode ser reconstruído por: 1 f (x, y)= M M 1 1 F (u, v )e u=0 v=0 ( uxm + vy ), x=0 y=0 A 2D-DFT é ortogonal. j ( uxm + vy )

17 Exemplo Valor principal (espectro principal).

18 DFT-2D e a varredura espacial

19 Sistemas LIT no domínio da frequência Sistemas LIT no domínio do tempo reposta ao impulso soma de convolução. x(n) Sistema LIT y(n) y (n) = x ( n) h (n) = x ( k ) h(n k) k= Sistemas LIT no domínio da frequência resposta de frequência filtragem linear. X(n) Sistema LIT 1 Y(n) H [k ]= h [n]e n=0 kn Y ( n) = X ( n) H ( n) H(n) é a resposta em frequência do sistema LIT. H(n) é a transformada de Fourier da resposta ao impulso.

20 Exemplo Determine a resposta em frequência do sistema LIT definido pela seguinte equação de diferenças: 6 y [n]= α k x [ n k ] k =0 =0.2 x [n ]+0.5 x [ n 1]+ 1.2 x [n 2 ]+0.5 x [n 3 ]+0.2 x [ n 4 ] Resposta ao impulso: x [n]= [n] y [n]=h[n ]= =0.2 [n] 0.5 [n 1 ] 1.2 [n 2 ] 0.5 [n 3] 0.2 [n 4 ] Resposta em frequência: 1 H (k )= h [n ]e n =0 kn = e δ(n) e e δ (n 3) e 0 δ( n 1) e δ (n 2)+ δ(n 4)

21 Exemplo 1 H (k )= h [n ]e n =0 kn = e δ(n) e δ(n 1) e0 δ (n 2) e δ (n 3) e δ(n 4)

22 Resposta em frequência de sistemas LIT Resposta de magnitude Faixa de passagem Faixa de corte Resposta de fase Faixa de transição Faixa de passagem Faixa de corte

23 Exemplo Resposta em frequência de filtros FIR passa faixa e IIR passa-altas.

24 Filtragem linear no domínio da frequência Filtragem linear seleção de frequências. Ex.: passa-baixas, passa-altas, passa-faixa, rejeita-faixa, notch, filtros sintonizados.

25 Exemplo Eliminação de ruídos (denoising) n x [n]=0.1 n e, 0 n 255

26 Processamento digital de sinais de tempo contínuo Composto por: Conversão contínuo discreto: Filtro anti-aliasing. Amostrador e retentor (sampler and holder). Conversor analógico-digital (ADC) quantização, codificação. Processamento em tempo discreto: Filtragem, compressão, extração de características, interpolação, etc... Conversão discreto contínuo: Conversor digital-analógico (DAC). Filtro de reconstrução.

27 Processamento digital de sinais de tempo contínuo

28 Aliasing Conceito: as mesmas amostras podem ser relacionar a infinitos sinais de tempo contínuo. Como garantir processamento sem erros? Criar condições para que cada sinal digital corresponda a um único sinal analógico. Tais condições são desenvolvidas através da análise espectral.

29 Ex.: aliasing no domínio do tempo x (t )=sen(2 π f t ) f =1,2,..., 10 Hz, f s=10 Hz

30 Ex.: aliasing em 2D Aliasing.flv Wagon-wheel effect.flv

31 Análise do aliasing no domínio da frequência Amostragem multiplicação por um trem de pulsos. Multiplicação no tempo convolução na frequência. Se ωs > 2 ωc: x t ℱ t 3T 2T T 0 T 2T 3T c ℱ 1 p t A t 2 s x [n]=x t p t 3T 2T T 0 T 2T 3T ℱ t s * X j c P j fs 0 s A f s 2 s X j P j c c s c c 2 s c 2 s c c s c c 0 c

32 Análise do aliasing no domínio da frequência Se ωs < 2 ωc: x t A ℱ t p t c ℱ 1 T 0 t T x [n]=x t p t T 3 s 2 s s * 0 T t c P j fs 0 ℱ X j s 0 3 s X j P j A f s 3 s 2 s s 2 s s ALIASIG! 2 s 3 s

33 O teorema da amostragem (yquist-shannon) Seja x(t) um sinal de tempo contínuo com espectro de frequências limitado X j = X e j, c c X j =0, c c Então x(t) pode ser completamente reconstruído a partir de sua versão amostrada x[n] se s = 2 f s 2 c Onde fs é a frequência de amostragem, fs= 1 T

34 Reconstrução do sinal de tempo contínuo Filtragem multiplicação por uma resposta em frequência. Multiplicação na frequência convolução no tempo. A f s X j P j 2 c c s c c 2 s c c s c c s c c 0 Filtro passabaixas ideal. s 2 A c 0 c ℱ-1 X j t * s 2 0 3T 2T T 0 T 2T 3T ℱ-1 1 fs ℱ-1 H j x [n]=x (t ) p(t ) x t t

35 Reconstrução do sinal de tempo contínuo sen (2 π f c (t nt )) x (t)= x [nt ] π(t nt ) n= x [n]=x t p t 3T 2T T 0 T 2T 3T * t

36 Amostragem e projeção de sinais Amostragem pode ser entendida como uma projeção sobre uma base biortogonal. x [n]= x (t ), δ(t nt ) = x (t )δ (t nt )dt Reconstrução é realizada utilizando a base dual: sen (2 π f c (t nt )) x (t)= x [nt ] π (t nt ) n= O processo é representado de forma matricial por: H x (n)=φ x ( t) ~ x (t)= Φ x (n)

37 Processamento digital de sinais Outros aspectos não abordados: Erros de quantização. Estratégias de codificação representação da informação. Algoritmos e implementações rápidas. Projeto de filtros lineares. Etc...